Lernzettel: Équations fonctions et statistiques

📋 Plan du Cours

1. Équations du premier degré
2. Inéquations et signes
3. Fonctions du premier degré
4. Systèmes d’équations
5. Indicateurs statistiques

📖 1. Équations du premier degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du premier degré : Une égalité dans laquelle on cherche la valeur de x qui rend les deux membres égaux.

★ À maîtriser

• Dans une équation, on peut ajouter, soustraire ou multiplier les deux membres par un même nombre, et les diviser par un même nombre non nul.

• Pour résoudre une équation du premier degré, on transforme progressivement l’égalité afin d’isoler x, puis on vérifie la valeur obtenue dans l’équation initiale.

Compléments

• L’équation $3x+5=17$ se résout ainsi : $3x=12$, puis $x=4$.

• Dans le langage courant, « passer » un terme de l’autre côté revient à effectuer l’opération opposée sur les deux membres, ce qui change son signe.

💡 Astuce mémo

Isoler x, puis vérifier

📖 2. Inéquations et signes

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation du premier degré : Une comparaison contenant x et utilisant l’un des signes <, >, ≤ ou ≥.

★ À maîtriser

📌 Lorsqu’on multiplie ou divise une inéquation par un nombre négatif, le sens du signe s’inverse.

• L’inéquation $-2x<6$ devient $x>-3$ après division par -2, car le signe s’inverse.

📌 Les signes < et > indiquent que la borne n’est pas comprise, tandis que les signes ≤ et ≥ indiquent que la borne est comprise.

Compléments

• L’inéquation $2x+3<11$ se résout par $2x<8$, puis $x<4$.

📖 3. Fonctions du premier degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du premier degré : S’écrit sous la forme $f(x)=ax+b$, où a est le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine.
• Fonction linéaire : Une fonction de la forme $f(x)=ax$ dont la droite représentative passe par l’origine de coordonnées $(0;0)$.

★ À maîtriser

• Pour calculer l’image d’une valeur par une fonction, on remplace x par cette valeur dans l’expression de f.

• Pour trouver l’antécédent d’une valeur, on résout l’équation $f(x)=\text{valeur}$.

📌 La représentation graphique d’une fonction du premier degré est une droite : elle est croissante si $a>0$, décroissante si $a<0$ et constante si $a=0$.

Compléments

• Pour $f(x)=3x+2$, l’image de 4 est $f(4)=3\times4+2=14$.

📖 4. Systèmes d’équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Système d’équations : Du premier degré demande de trouver les valeurs de x et y qui vérifient simultanément les deux équations.

★ À maîtriser

• Dans le système $x+y=10$ et $x-y=2$, l’addition des deux équations donne $2x=12$, donc $x=6$ puis $y=4$.

• Graphiquement, deux droites sécantes donnent une solution, deux droites parallèles donnent aucune solution et deux droites confondues donnent une infinité de solutions.

Compléments

• La solution du système $\{x+y=10;\ x-y=2\}$ est le couple $(x;y)=(6;4)$.

📖 5. Indicateurs statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Effectif : D’une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série.
• Médiane : La valeur centrale d’une série rangée dans l’ordre ; si l’effectif est pair, elle est la moyenne des deux valeurs centrales.
• Étendue : D’une série est la différence entre sa valeur maximale et sa valeur minimale, soit $\text{étendue}=\text{maximum}-\text{minimum}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La fréquence se calcule par $\text{fréquence}=\frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$, et elle est multipliée par 100 pour obtenir un pourcentage.

📐 Formule — La moyenne d’une série se calcule par $\text{moyenne}=\frac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$.

Compléments

• Avec des effectifs, la moyenne se calcule en divisant la somme des produits valeur × effectif par l’effectif total $N$.