Lernzettel: Fonctions du second degré et paraboles

📋 Plan du Cours

1. Définition des fonctions du second degré
2. Parabole et représentation graphique
3. Variations selon le signe de a
4. Sommet et extremum de la parabole
5. Exercices d’application

📖 1. Définition des fonctions du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction définie sur ℝ de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Coefficient a : Le coefficient $a$ est le réel devant $x^2$ dans la forme $ax^2+bx+c$ et il doit être non nul pour que le degré soit 2.
• Fonction carré : La fonction carré est le cas particulier $f(x)=x^2$, correspondant à $a=1$, $b=0$ et $c=0$.

📝 Points essentiels

• Les fonctions du second degré s’écrivent $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ et $a,b,c$ réels.
• La courbe d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole.
• Les exemples donnés incluent $f(x)=5x^2-4x+9$ et $g(x)=-x^2+4x$ (avec $c=0$).
• La calculatrice graphique sert à tracer la parabole pour étudier la fonction.

💡 Astuce mémo

Degré 2 : sur $x^2$, on a absolument un coefficient non nul $a\neq 0$.

📖 2. Parabole et représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Une parabole est la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré dans un repère.
• Calculatrice graphique : La calculatrice graphique est l’outil pour tracer la courbe représentative d’une fonction polynôme en s’appuyant sur l’expression de $f(x)$.
• Repère : Un repère est le système d’axes dans lequel on trace la courbe d’une fonction pour lire les variations et l’extremum.

📝 Points essentiels

• Le tracé d’une fonction polynôme de degré 2 donne une parabole.
• La parabole représente le comportement de la fonction et permet de vérifier un tableau de variations.
• Les exercices demandent fréquemment de tracer d’abord avec la calculatrice puis d’en déduire les variations.

📖 3. Variations selon le signe de a

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de variations : Un tableau de variations résume comment la fonction évolue (croît ou décroît) sur des intervalles.
• Signe de a : Le signe de $a$ (positif ou négatif) détermine le sens d’ouverture de la parabole et donc les variations de la fonction.

📝 Points essentiels

• Si $a>0$, la fonction est d’abord décroissante puis croissante.
• Si $a<0$, la fonction est d’abord croissante puis décroissante.
• Les exercices portent sur l’interprétation de variations grâce à des tableaux de variations de fonctions du second degré.

💡 Astuce mémo

$a>0$ : “fond” donc on descend puis on remonte ; $a<0$ : “toit” donc on monte puis on redescend.

📖 4. Sommet et extremum de la parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet de la parabole : Le sommet est le point de la parabole qui correspond au maximum ou au minimum de la fonction.
• Extremum : Un extremum est la valeur maximale ou minimale atteinte par une fonction sur sa courbe.
• Axe de symétrie : L’axe de symétrie d’une parabole est une droite parallèle à l’axe des ordonnées qui passe par le sommet.

📝 Points essentiels

• Une parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées.
• Le point du maximum ou du minimum est appelé sommet.
• Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, la valeur de $x$ au sommet est $x=-\dfrac{b}{2a}$.
• Pour $f(x)=2x^2-12x+23$, le minimum est atteint en $x=3$ et vaut $5$, donc le point du minimum est $(3;5)$.

💡 Astuce mémo

Sommet : $x=-\dfrac{b}{2a}$ (la coordonnée “abscisse du sommet”).

📖 5. Exercices d’application

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du second degré : Une fonction est du second degré si elle peut s’écrire sous la forme $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Solutions d’une équation quadratique : Chercher les solutions de $ax^2+bx+c=0$ revient à déterminer les valeurs de $x$ qui rendent la fonction nulle.
• Maximum ou minimum : Dans les exercices, préciser le type d’extremum revient à dire si la parabole est ouverte vers le bas (maximum) ou vers le haut (minimum).

📝 Points essentiels

• Exercice 1 : identifier lesquelles des fonctions proposées sont bien de la forme avec un terme en $x^2$ et un coefficient non nul.
• Exercice 3 : tracer avec la calculatrice les fonctions de l’exercice 2 puis en déduire le tableau de variations.
• Exercice 4 : repérer celles dont les variations sont d’abord croissantes puis décroissantes.
• Exercice 9-11 : on demande de conjecturer le nombre de solutions de $f(x)=0$ et une valeur approchée des solutions.
• Exercice 14-20 : pour chaque fonction, déterminer (avec justification via calculatrice) la nature de l’extremum et sa valeur approchée, puis utiliser le tableau de variations.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la condition $a\neq 0$ : une expression avec $x^2$ n’est pas du second degré si le coefficient devant $x^2$ vaut 0.
2. Inverser le sens des variations : $a>0$ ne donne pas “croissante puis décroissante”, mais décroissante puis croissante.
3. Oublier la formule du sommet : chercher l’extremum sans utiliser $x=-\dfrac{b}{2a}$ conduit à des erreurs d’abscisse.
4. Confondre sommet et extremum : le sommet est le point de la courbe correspondant à la valeur maximale/minimale, pas seulement la valeur numérique.
5. Mauvaise déduction de la nature (maximum/minimum) : elle dépend du signe de $a$ (parabole ouverte vers le haut ou vers le bas).
6. Lire un tableau de variations à l’envers par rapport au sens demandé (croissante puis décroissante vs l’inverse).

✅ Checklist Examen

1. Savoir reconnaître une fonction du second degré et écrire $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
2. Savoir dire que la représentation graphique d’une fonction du second degré est une parabole.
3. Savoir donner le sens des variations à partir du signe de $a$ (pour $a>0$ puis pour $a<0$).
4. Savoir caractériser le sommet : c’est le point du maximum ou du minimum sur la parabole.
5. Savoir calculer l’abscisse du sommet $x=-\dfrac{b}{2a}$ pour $f(x)=ax^2+bx+c$.
6. Savoir déterminer si l’extrémum est un maximum ou un minimum à partir du signe de $a$.
7. Savoir relier tableau de variations et courbe : vérifier les variations en traçant la parabole avec une calculatrice.
8. Savoir déduire les coordonnées du sommet (point du maximum/minimum) et en donner la valeur correspondante $f(x)$.
9. Savoir conjecturer le nombre de solutions de l’équation $f(x)=0$ et proposer des valeurs approchées en utilisant la courbe ou la calculatrice.