Lernzettel: Formules de trigonométrie

📋 Plan du Cours

1. Angles associés et rapports trigonométriques
2. Formules d’addition et de transformation
3. Linéarisation et duplication
4. Dérivées et primitives trigonométriques
5. Valeurs trigonométriques remarquables

📖 1. Angles associés et rapports trigonométriques

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout angle x, cos(π−x)=−cos(x) et sin(π−x)=sin(x).

📐 Formule — La tangente vérifie tan(x)=sin(x)/cos(x), lorsque cos(x) est non nul.

📐 Formule — Dans un triangle rectangle, cosinus = côté adjacent/hypoténuse, sinus = côté opposé/hypoténuse et tangente = côté opposé/côté adjacent.

📐 Formule — Pour tout angle a, cos²(a)+sin²(a)=1.

💡 Astuce mémo

π conserve ou change les signes ; π/2 échange sinus et cosinus

📖 2. Formules d’addition et de transformation

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — cos(a+b)=cos(a)cos(b)−sin(a)sin(b).

📐 Formule — cos(a−b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b).

📐 Formule — sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b).

📐 Formule — sin(a−b)=sin(a)cos(b)−cos(a)sin(b).

📐 Formule — cos(p)+cos(q)=2cos((p+q)/2)cos((p−q)/2) et sin(p)+sin(q)=2sin((p+q)/2)cos((p−q)/2).

📐 Formule — cos(a)cos(b)=1/2[cos(a−b)+cos(a+b)].

📐 Formule — sin(a)sin(b)=1/2[cos(a−b)−cos(a+b)].

Compléments

📐 Formule — tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1−tan(a)tan(b)).

📐 Formule — tan(a−b)=(tan(a)−tan(b))/(1+tan(a)tan(b)).

📐 Formule — sin(a)cos(b)=1/2[sin(a−b)+sin(a+b)].

📐 Formule — tan(p)+tan(q)=sin(p+q)/(cos(p)cos(q)) et tan(p)−tan(q)=sin(p−q)/(cos(p)cos(q)).

📖 3. Linéarisation et duplication

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — cos²(a)=(1+cos(2a))/2 et sin²(a)=(1−cos(2a))/2.

📐 Formule — cos(2a)=cos²(a)−sin²(a)=2cos²(a)−1=1−2sin²(a).

📐 Formule — sin(2a)=2sin(a)cos(a).

📐 Formule — tan(2a)=2tan(a)/(1−tan²(a)).

Compléments

📐 Formule — tan²(a)=(1−cos(2a))/(1+cos(2a)).

💡 Astuce mémo

Dupliquer l’angle ou réduire les carrés

📖 4. Dérivées et primitives trigonométriques

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — La dérivée de cos(x) est −sin(x), et la dérivée de sin(x) est cos(x).

📐 Formule — La dérivée de cos(u) est −u′sin(u), et celle de sin(u) est u′cos(u).

📐 Formule — ∫cos(x)dx=sin(x)+C et ∫sin(x)dx=−cos(x)+C.

Compléments

📐 Formule — ∫cos(nx)dx=sin(nx)/n+C et ∫sin(nx)dx=−cos(nx)/n+C.

💡 Astuce mémo

Dérivée : cos→−sin, sin→cos ; primitive : sin→−cos

📖 5. Valeurs trigonométriques remarquables

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

• Pour les angles 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π et 2π, les valeurs de cosinus sont respectivement 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0, −1 et 1.

• Pour les angles 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π et 2π, les valeurs de sinus sont respectivement 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1, 0 et 0.

• Pour les angles 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π et 2π, les valeurs de tangente sont respectivement 0, √3/3, 1, √3, non définie, 0 et 0.

Compléments

• Les angles remarquables 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180° et 360° correspondent respectivement à 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π et 2π radians.

💡 Astuce mémo

0, 30, 45, 60, 90

📊 Tableaux de synthèse

Valeurs des angles remarquables

Angle	Radians	cos	sin
0°	0	1	0
30°	π/6	√3/2	1/2
45°	π/4	√2/2	√2/2
60°	π/3	1/2	√3/2
90°	π/2	0	1
180°	π	−1	0

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. La tangente n’est pas définie lorsque le cosinus est nul.
2. Le signe devant le produit des sinus s’inverse entre une somme et une différence.
3. Le signe devant cos(2a) est positif pour cos² et négatif pour sin².
4. Le signe négatif concerne la dérivée du cosinus.
5. La tangente est non définie en π/2 car cos(π/2)=0.
6. La tangente utilise les deux côtés de l’angle, sans l’hypoténuse.
7. Le dénominateur est 1−tan(a)tan(b), et non 1+tan(a)tan(b).