Lernzettel: Fractions : multiplication et division

📋 Plan du Cours

1. Multiplier deux fractions
2. Calculer une fraction de quantité
3. Utiliser les produits en croix
4. Comprendre l’inverse d’une fraction
5. Diviser des fractions

📖 1. Multiplier deux fractions

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $b\neq 0$ et $d\neq 0$, on a $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$.

• Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, avec des dénominateurs non nuls.

Compléments

• Pour calculer efficacement un produit de fractions, on détermine d’abord le signe du résultat, puis on cherche les facteurs communs, on simplifie et enfin on calcule.

• Le produit $\frac{3\times29}{6}\times\frac{7\times3\times2\times13\times3}{14\times2\times3\times2\times5\times8}$ se simplifie en $-\frac{1}{176}$.

📖 2. Calculer une fraction de quantité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction d’une quantité : Se calcule en multipliant cette fraction par la quantité considérée.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour calculer une fraction $\frac{a}{b}$ d’une quantité $q$, on calcule $\frac{a}{b}\times q$.

• Dans une classe de 28 élèves, les deux septièmes ont choisi le latin, soit $\frac{2}{7}\times28=8$ élèves.

📖 3. Utiliser les produits en croix

★ À maîtriser

📌 Si $b\neq0$ et $d\neq0$, l’égalité $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ entraîne l’égalité des produits en croix $a\times d=b\times c$.

• Pour déterminer un nombre inconnu dans une égalité de fractions, on écrit les produits en croix, puis on isole l’inconnue.

Compléments

📌 Si $b\neq0$ et $d\neq0$, l’égalité $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ permet aussi d’écrire $\frac{b}{c}=\frac{a}{d}$ lorsque les divisions utilisées sont définies.

• La solution de $\frac{364}{156}=\frac{x}{33}$ est $x=\frac{364\times33}{156}=77$.

• Les fractions $\frac{86}{104}$ et $\frac{129}{156}$ sont égales car $86\times156=13\,416$ et $104\times129=13\,416$.

📖 4. Comprendre l’inverse d’une fraction

🔑 Notions clés & Définitions

• Inverse d’un nombre : Non nul $x$ est le nombre $\frac{1}{x}$, noté $x^{-1}$.
• Inverse d’une fraction : L’inverse de la fraction $\frac{b}{a}$, avec $a\neq0$ et $b\neq0$, est la fraction $\frac{a}{b}$.

★ À maîtriser

• Une fraction non nulle et son inverse ont pour produit 1, car $\frac{b}{a}\times\frac{a}{b}=1$.

Compléments

• L’inverse de $\frac{5}{13}$ est $\frac{13}{5}$.

📖 5. Diviser des fractions

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $b\neq0$, $c\neq0$ et $d\neq0$, on a $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{a\times d}{b\times c}$.

📌 Pour diviser une fraction non nulle par un nombre non nul, il faut multiplier cette fraction par l’inverse du diviseur.

Compléments

• Le quotient $\frac{8}{7}\div\frac{5}{3}$ vaut $\frac{8}{7}\times\frac{3}{5}=\frac{24}{35}$.

• Le quotient $\frac{32}{48}\div\frac{35}{48}$ se simplifie en $\frac{10}{9}$.

📊 Tableaux de synthèse

Opérations sur les fractions

Opération	Transformation	Résultat général
Multiplication	Multiplier les numérateurs et les dénominateurs	$\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$
Division	Multiplier par l’inverse du diviseur	$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$