Lernzettel: Géométrie des Droites dans le Plan

📋 Plan du Cours

1. Vecteur directeur et colinéarité
2. Appartenance d’un point à une droite
3. Équation cartésienne et déterminant
4. Vecteur directeur depuis l’équation
5. Équation réduite et coefficient directeur
6. Droites verticales et parallélisme

📖 1. Vecteur directeur et colinéarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : Vecteur directeur : vecteur colinéaire à tous les vecteurs reliant deux points de la droite, et qui décrit sa direction.
• Colinéarité : Colinéarité : relation entre deux vecteurs qui sont portés par la même direction (l’un est un multiple de l’autre).

📝 Points essentiels

• Si A(1;2) et B(4;7), alors AB=(4−1;7−2)=(3;5) et (3;5) est un vecteur directeur.
• Tous les vecteurs colinéaires à un vecteur directeur sont aussi des vecteurs directeurs de la même droite.
• Un vecteur directeur n’est pas unique : on peut le multiplier par un réel non nul sans changer la direction.
• La direction d’une droite est définie par la famille de vecteurs colinéaires à un vecteur directeur.

💡 Astuce mémo

Direction = vecteur “même sens” : tout multiple de (3;5) reste directeur.

📖 2. Appartenance d’un point à une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Appartenance d’un point : Appartenance d’un point : propriété d’un point M d’être situé sur la droite passant par deux points A et B.
• Déterminant de deux vecteurs : Déterminant de deux vecteurs : test algébrique qui vaut 0 lorsque les deux vecteurs sont colinéaires.

📝 Points essentiels

• Un point M appartient à la droite (AB) si et seulement si les vecteurs AB et AM sont colinéaires.
• Pour vérifier la colinéarité, on calcule det(AB,AM) et on impose det(AB,AM)=0.
• La méthode d’appartenance repose sur le déterminant, pas sur une lecture graphique.
• Le déterminant nul caractérise la colinéarité des vecteurs AB et AM.

💡 Astuce mémo

M sur (AB) ⇔ AB et AM “même ligne” ⇔ déterminant nul.

📖 3. Équation cartésienne et déterminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation cartésienne : Équation cartésienne : écriture générale d’une droite sous la forme ax+by+c=0.
• Déterminant : Déterminant : outil de calcul qui permet de tester la colinéarité de deux vecteurs via det(AB,AM)=0.

📝 Points essentiels

• Toute droite peut s’écrire sous la forme ax+by+c=0.
• Exemple : 2x−3y+6=0 est une équation cartésienne.
• Le déterminant sert à établir une condition de colinéarité entre deux vecteurs issus de points.
• Cette condition (déterminant nul) est utilisée pour trouver l’équation d’une droite.

💡 Astuce mémo

Cartésienne = ax+by+c=0 ; déterminant = test de colinéarité.

📖 4. Vecteur directeur depuis l’équation

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur depuis l’équation : Vecteur directeur depuis l’équation : vecteur associé à une droite écrite en ax+by+c=0, obtenu directement à partir de a et b.
• Forme ax+by+c=0 : Forme ax+by+c=0 : forme cartésienne où a et b déterminent le vecteur directeur (−b;a).

📝 Points essentiels

• Si la droite a pour équation ax+by+c=0, alors un vecteur directeur est (−b;a).
• Pour 2x−3y+6=0, on a a=2 et b=−3.
• Avec a=2 et b=−3, un vecteur directeur est (−(−3);2)=(3;2).
• Le vecteur directeur obtenu est cohérent avec la direction de la droite, même si d’autres vecteurs colinéaires conviennent aussi.

💡 Astuce mémo

Dans ax+by+c=0 : on “échange” et on “change le signe” de b → (−b;a).

📖 5. Équation réduite et coefficient directeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation réduite : Équation réduite : écriture d’une droite non verticale sous la forme y=mx+p.
• Coefficient directeur : Coefficient directeur m : nombre qui mesure la pente de la droite dans l’équation réduite y=mx+p.
• Ordonnée à l’origine : Ordonnée à l’origine p : valeur de y quand x=0, donnée par l’équation réduite y=mx+p.

📝 Points essentiels

• Si la droite n’est pas verticale, elle s’écrit y=mx+p.
• m est le coefficient directeur et p est l’ordonnée à l’origine.
• Si m>0, la droite monte ; si m<0, elle descend ; si m=0, elle est horizontale.
• Exemple : y=2x+1 a un coefficient directeur m=2 et quand x augmente de 1, y augmente de 2.
• Dans y=mx+p, l’ordonnée à l’origine correspond au point où la droite coupe l’axe des ordonnées.

💡 Astuce mémo

Signe de m = sens : + monte, − descend, 0 horizontal.

📖 6. Droites verticales et parallélisme

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite verticale : Droite verticale : droite dont l’équation est de la forme x=k et qui n’a pas de coefficient directeur.
• Parallélisme de droites : Parallélisme : propriété de deux droites d’avoir la même direction, traduite par l’égalité de leurs coefficients directeurs.

📝 Points essentiels

• Une droite verticale ne peut pas s’écrire sous la forme y=mx+p.
• L’équation d’une droite verticale est x=k, où k est une constante.
• Exemple : x=4 est la droite verticale d’abscisse constante 4.
• Deux droites y=ax+b et y=a′x+b′ sont parallèles si et seulement si a=a′.
• Une droite verticale n’a pas de coefficient directeur, donc on ne l’utilise pas dans le critère a=a′.

💡 Astuce mémo

Verticale = x constant (pas de m). Parallèles = mêmes m.

📊 Tableaux de synthèse

Parallélisme : critère sur les coefficients

Droites	Condition	Conclusion
y=ax+b et y=a′x+b′	a=a′	droites parallèles
y=mx+p (non verticale)	m identique	même pente donc parallèles
droite verticale x=k	pas de m	critère a=a′ non applicable

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre colinéarité des vecteurs et appartenance : M appartient à (AB) seulement si AB et AM sont colinéaires (déterminant nul).
2. Croire qu’une droite verticale peut s’écrire y=mx+p : c’est impossible, son équation est x=k.
3. Prendre le mauvais vecteur directeur depuis ax+by+c=0 : il faut (−b;a), pas (b;−a).
4. Se tromper sur le signe de m : m>0 monte, m<0 descend, m=0 est horizontale.
5. Utiliser le critère de parallélisme a=a′ avec une droite verticale : la verticale n’a pas de coefficient directeur.

✅ Checklist Examen

1. Savoir calculer un vecteur directeur à partir de deux points A et B (AB=(xB−xA;yB−yA)).
2. Savoir utiliser la colinéarité via det(AB,AM)=0 pour décider si M appartient à la droite (AB).
3. Savoir reconnaître et écrire une équation cartésienne ax+by+c=0.
4. Savoir obtenir un vecteur directeur à partir de ax+by+c=0 : (−b;a).
5. Savoir écrire l’équation réduite y=mx+p pour une droite non verticale et interpréter m et p.
6. Savoir déterminer le coefficient directeur m à partir de deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) : m=(xB−xA)/(yB−yA).
7. Savoir identifier une droite verticale et écrire son équation x=k.
8. Savoir conclure le parallélisme de deux droites y=ax+b et y=a′x+b′ à partir de l’égalité des coefficients directeurs a=a′.