Karteikarten: Géométrie, probabilités et analyse — 83 Karten

Qu'est-ce qu'un ensemble fini de cardinal n ?

Un ensemble avec n éléments numérotés de 1 à n, chacun unique.

Que contient l'intersection A∩B de deux ensembles ?

Les éléments communs à A et B.

Que contient la réunion A∪B de deux ensembles ?

Les éléments appartenant à au moins l'un des deux ensembles.

Quelle est la formule pour card(A∪B) en fonction de card(A), card(B) et card(A∩B) ?

card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).

Quelle est la formule de card(E×F) pour deux ensembles finis E et F ?

card(E×F)=card(E)×card(F).

Combien de parties possède un ensemble à n éléments ?

2^n parties.

Comment calcule-t-on le nombre d'arrangements de k éléments parmi n ?

n!/(n-k)!

Quelle est la formule du nombre de combinaisons de k éléments parmi n ?

n!/[k!(n-k)!].

Qu'impose la croissance d'une suite (u_n) pour tout n∈N ?

u_{n+1}≥u_n

Quelle relation vérifie une suite arithmétique de raison r ?

u_{n+1}=u_n+r

Quelle est la formule du terme général d'une suite arithmétique ?

u_n=u_0+nr

Comment s'exprime la somme des termes d'une suite arithmétique ?

(u_0+u_1+…+u_n)=(n+1)(u_0+u_n)/2

Quelle relation vérifie une suite géométrique de raison q ?

u_{n+1}=u_nq

Quelle est la formule du terme général d'une suite géométrique ?

u_n=u_0q^n

Quelle formule donne la somme des termes d'une suite géométrique pour q≠1 ?

u_0+…+u_n=u_0(1-q^{n+1})/(1-q)

Quelles étapes sont nécessaires pour démontrer P_n par récurrence à partir de n_0 ?

Initialiser P_{n_0} puis montrer que P_k implique P_{k+1} pour k≥n_0

Qu'est-ce que signifie que deux vecteurs sont colinéaires ?

Ils sont liés par un réel k tel qu'u⃗=kv⃗ ou v⃗=ku⃗.

Par quoi est caractérisée une droite dans l’espace ?

Par un point et un vecteur directeur non nul.

Quelle condition vérifient les points d'une droite caractérisée par un vecteur directeur u⃗ ?

Les points M vérifient AM⃗ = x u⃗ pour un réel x.

Quand dit-on que trois vecteurs sont coplanaires ?

Quand les points obtenus en les représentant depuis un même point sont coplanaires.

Quelle est la condition pour qu’un point M appartienne au plan défini par deux vecteurs non colinéaires u⃗ et v⃗ ?

AM⃗ = x u⃗ + y v⃗ pour deux réels x et y.

Que forment trois vecteurs non coplanaires dans l’espace ?

Ils forment une base de l’espace.

Qu’est-ce qu’un repère de l’espace ?

Un point O et trois vecteurs i⃗, j⃗, k⃗ non coplanaires.

Comment s’écrit le vecteur OM⃗ dans un repère de l’espace ?

OM⃗ = x i⃗ + y j⃗ + z k⃗ avec des coordonnées uniques.

Qu'impose un plan contenant deux droites sécantes parallèles à un autre plan ?

Les deux plans sont parallèles.

Que se passe-t-il si une droite est parallèle à un plan et qu'un autre plan la contient et coupe ce plan ?

Le plan coupe l'autre selon une droite parallèle à cette droite.

Dans le théorème du toit, que vaut la troisième droite d'intersection de trois plans deux à deux sécants ?

Elle est parallèle aux deux droites parallèles dans un même plan.

Quelles sont les coordonnées du point K défini par SK = 1/3 SD dans le repère (O ; OB, OC, OS) ?

Les coordonnées de K sont (-1/3 ; 0 ; 2/3).

Comment montrer que trois vecteurs sont coplanaires ?

Il suffit d'exprimer l'un comme combinaison linéaire des deux autres.

Qu'est-ce qu'un univers probabilisé ?

Un univers fini Ω avec une probabilité P telle que la somme des probabilités vaut 1.

Comment se construit l'univers des possibles pour des épreuves indépendantes ?

C'est le produit cartésien Ω1 × Ω2 × … × Ωn.

Comment se calcule la probabilité d'une issue composée d'épreuves indépendantes ?

C'est le produit des probabilités de ses composantes.

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?

Une fonction qui associe un nombre réel à chaque éventualité d'une expérience aléatoire.

Quelles sont les issues d'une épreuve de Bernoulli ?

Succès et échec.

Quelle valeur prend la variable de Bernoulli en cas de succès ?

Elle vaut 1.

Quelle est la formule de P(X=k) pour une loi binomiale B(n,p) ?

P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k) pour 0 ≤ k ≤ n.

Quelle est l'espérance d'une variable suivant une loi binomiale B(n,p) ?

E(X)=np.

Que signifie f(x) tend vers l quand x tend vers +∞ ou −∞ ?

f(x) appartient à tout intervalle ouvert contenant l dès que x est suffisamment éloigné.

Quelle est la limite de x^k quand x tend vers +∞ pour k naturel non nul ?

La limite est +∞.

Quelle est la limite de 1/x^k quand x tend vers ±∞ pour k naturel non nul ?

La limite est 0.

Pourquoi 1/x^k avec k impair n’a-t-elle pas de limite en 0 ?

Parce que ses limites à gauche et à droite sont −∞ et +∞.

Quelle est la limite de 1/x^k avec k pair en 0 ?

La limite est +∞ des deux côtés.

Qu’est-ce qu’une asymptote horizontale à la courbe de f ?

C’est la droite y=L si lim f(x) = L quand x tend vers ±∞.

Que dit le théorème des gendarmes sur f si u(x) ≤ f(x) ≤ v(x) et u,v tendent vers L ?

Alors f tend aussi vers L.

Quelle est la formule du produit scalaire dans un repère orthonormé en 3D ?

u·v = xx' + yy' + zz' pour u=(x,y,z) et v=(x',y',z').

Comment exprime-t-on le produit scalaire avec les normes et le cosinus ?

u·v = ||u|| ||v|| cos(u;v).

Comment calcule-t-on cos(u;v) à partir du produit scalaire ?

cos(u;v) = (u·v) / (||u|| ||v||).

Quand deux vecteurs sont-ils orthogonaux ?

Quand leur produit scalaire est nul.

Que signifie l'orthogonalité pour deux vecteurs non nuls ?

Ils forment un angle droit.

Quand un vecteur non nul est-il normal à un plan ?

S'il est orthogonal à tous les vecteurs du plan.

Quelle condition rend une droite orthogonale à un plan ?

Son vecteur directeur est normal au plan.

Comment est défini le projeté orthogonal M' d'un point M sur un plan P ?

M' appartient à P et le segment MM' est orthogonal à P.

Quelle est la formule de la dérivée de g(x)=f(ax+b) ?

g'(x)=a f'(ax+b) lorsque f est dérivable en ax+b.

Comment s'exprime la dérivée d'une composée g=f∘u ?

g'(x)=u'(x)f'(u(x)).

Qu'est-ce que la dérivée seconde d'une fonction ?

C'est la dérivée de sa dérivée.

Quand une fonction est-elle convexe sur un intervalle ?

Quand sa courbe est au-dessous de chacune de ses sécantes.

Quelle condition caractérise la convexité d'une fonction dérivable ?

Sa dérivée est croissante.

Quelle condition caractérise la concavité d'une fonction dérivable ?

Sa dérivée est décroissante.

Quelle condition caractérise la convexité d'une fonction deux fois dérivable ?

Sa dérivée seconde est positive.

Quelle condition caractérise la concavité d'une fonction deux fois dérivable ?

Sa dérivée seconde est négative.

Qu'impose la courbe d'une fonction convexe par rapport à ses tangentes ?

Elle est au-dessus de chacune de ses tangentes.

Qu'impose la courbe d'une fonction concave par rapport à ses tangentes ?

Elle est au-dessous de chacune de ses tangentes.

Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?

Un point où la courbe traverse sa tangente et où la convexité change.

Quelle condition sur la dérivée seconde caractérise un point d'inflexion ?

La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en ce point.

Que devient le point (a,f(a)) si la dérivée seconde change de signe en a ?

C'est un point d'inflexion.

Sur quels intervalles la fonction f(x)=x³ est-elle concave et convexe ?

Concave sur ]−∞;0] et convexe sur [0;+∞[.

Pourquoi l'origine O(0;0) est-elle un point d'inflexion pour f(x)=x³ ?

Parce que la convexité change en 0 et la courbe traverse sa tangente.

Qu'est-ce que la somme de deux variables aléatoires X et Y ?

C'est la variable aléatoire associant à ω le réel X(ω)+Y(ω).

Quelle est la formule de l'espérance d'une variable aléatoire X ?

E(X)=∑ᵢ₌₁ⁿ pᵢxᵢ où xᵢ sont les valeurs et pᵢ leurs probabilités.

Quelle propriété linéaire vérifie l'espérance ?

E(X+Y)=E(X)+E(Y) et E(aX)=aE(X) pour tout réel a.

Comment s'exprime la variance V(X) d'une variable aléatoire X ?

V(X)=E((X−E(X))²)=E(X²)−E(X)².

Quelle relation existe entre la variance de X+Y et celles de X et Y si X et Y sont indépendantes ?

V(X+Y)=V(X)+V(Y).

Comment varie la variance quand on ajoute une constante b à X ?

V(X+b)=V(X) pour toute constante b.

Comment se calculent la variance et l'écart-type de aX ?

V(aX)=a²V(X) et σ(aX)=|a|σ(X).

Quelle est l'espérance d'une variable binomiale de paramètres n et p ?

E(X)=np.

Qu'est-ce que la fonction logarithme népérien ln ?

C'est la bijection réciproque de la fonction exponentielle de ]0;+∞[ vers R.

Quelle équation caractérise ln(x) pour x>0 et y réel ?

ln(x)=y si et seulement si x=eʸ.

Que vaut ln(eˣ) pour tout réel x ?

ln(eˣ)=x.

Quelle est la formule de ln(ab) pour a,b>0 ?

ln(ab)=ln(a)+ln(b).

Comment s'exprime la dérivée de ln sur ]0;+∞[ ?

La dérivée de ln est ln′(x)=1/x.

Quelles sont les limites de ln(x) en 0⁺ et en +∞ ?

ln(x) tend vers −∞ en 0⁺ et vers +∞ en +∞.

Quelle condition impose-t-on pour résoudre ln(A(x))=ln(B(x)) ?

Il faut qu'A(x)>0 et B(x)>0.

Comment calcule-t-on la dérivée de ln(u) si u est dérivable et strictement positive ?

(ln(u))′=u′/u.