Lernzettel: Géométrie Vectorielle en 3D

📋 Plan du Cours

1. Monde virtuel et géométrie vectorielle
2. Repères et coordonnées 3D
3. Bases de l'espace et décomposition
4. Translations et colinéarité
5. Combinaisons linéaires et interpolation
6. Éclairage, profondeur et projection

📖 1. Monde virtuel et géométrie vectorielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points : Un nuage de points décrit les éléments d’une scène 3D comme un ensemble de coordonnées numériques.
• Maillage polygonal : Un maillage polygonal relie des points en surfaces, souvent via de nombreux triangles, pour approcher une forme réelle.
• Repère mathématique : Un repère sert à donner des coordonnées cohérentes à tous les objets et permet de situer les éléments entre eux.

📝 Points essentiels

• Un personnage 3D est modélisé par des points de l’espace repérés par leurs coordonnées $(x,y,z)$ plutôt que par une image directe.
• Un maillage polygonal utilise des connexions entre points, souvent sous forme de milliers de triangles, pour rendre des formes organiques plus réalistes.
• Sans structure de repérage, l’ordinateur ne peut pas déterminer les positions relatives des objets et donc pas construire un monde cohérent.

📖 2. Repères et coordonnées 3D

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur non nul : Un vecteur non nul représente une direction utilisable pour décrire un mouvement ou une trajectoire.
• Vecteurs non colinéaires : Deux vecteurs non colinéaires ne sont pas dans la même direction, ce qui permet de définir une orientation de plan.
• Vecteurs non coplanaires : Trois vecteurs non coplanaires déterminent une base de l’espace pour repérer tout élément 3D.
• Repère orthonormé : Un repère orthonormé associe trois axes perpendiculaires et de même longueur pour construire une grille de calcul.
• Décomposition vectorielle : La décomposition d’un vecteur $w$ exprime $w$ comme combinaison de base sous la forme $w=\alpha u+\beta v+\gamma k$.

📝 Points essentiels

• Un vecteur non nul donne une direction, par exemple pour tracer la trajectoire d’une flèche.
• Deux vecteurs non colinéaires fixent une direction de plan utile pour modéliser des surfaces comme le sol ou un mur.
• Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l’espace, ce qui permet de repérer les positions dans 3D.
• Avec un repère orthonormé, la décomposition $w=\alpha u+\beta v+\gamma k$ donne une écriture unique du vecteur $w$ dans la scène.

📖 3. Bases de l'espace et décomposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Base de l’espace : Une base de l’espace est un ensemble de trois vecteurs qui permet d’exprimer n’importe quel vecteur 3D par combinaison linéaire.
• Coordonnées $(\alpha,\beta,\gamma)$ : Les coefficients de la décomposition sont des nombres réels indiquant comment combiner les vecteurs de base pour former $w$.

📝 Points essentiels

• Sans une hiérarchie de base et une décomposition unique, l’ordinateur ne peut pas situer les objets les uns par rapport aux autres.
• La base de l’espace sert d’« adresse » mathématique pour relier positions, objets et caméras à des coordonnées cohérentes dans le monde virtuel.

📖 4. Translations et colinéarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Translation : Une translation déplace un point (ou un objet) sans modifier sa forme ni son orientation locale.
• Vecteurs colinéaires : Des vecteurs colinéaires ont la même direction, ce qui traduit une proportion entre éléments liés.
• Condition de proportion : La relation $u=k\times v$ exprime que deux directions restent proportionnelles selon un même facteur $k$.

📝 Points essentiels

• Si $M(x,y,z)$ subit une translation $t(a,b,c)$, alors $M'(x+a,y+b,z+c)$ décrit le déplacement résultant.
• Pour faire avancer un T-Rex sans dislocation, le modèle impose que les vecteurs des os de la patte restent proportionnels via la condition $u=k\times v$.
• Si la proportion (colinéarité) n’est pas respectée en continu, les parties liées d’un objet se séparent à l’écran.

📖 5. Combinaisons linéaires et interpolation

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison linéaire : Une combinaison linéaire combine deux vecteurs d’état avec des coefficients réels pour produire un nouvel état intermédiaire.
• Interpolation : L’interpolation produit un mouvement fluide en faisant varier progressivement les coefficients des états vectoriels.
• Coefficients $(\alpha,\beta)$ : Les coefficients contrôlent la part de chaque état du visage et évoluent pendant l’animation.

📝 Points essentiels

• Pour animer, on peut définir deux états vectoriels $u$ (repos) et $v$ (expression maximale) puis calculer l’état $\alpha u+\beta v$.
• Au début, $\alpha=1$ et $\beta=0$ donnent uniquement le visage neutre.
• Au milieu de l’exemple, $\alpha=0{,}5$ et $\beta=0{,}5$ produisent un entre-deux équilibré.
• La variation continue de nombres réels $\alpha$ et $\beta$ sert à générer une émotion apparemment humaine sur le visage virtuel.

📖 6. Éclairage, profondeur et projection

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur normal : Le vecteur normal décrit l’orientation d’une surface et sert à décider si la lumière la touche.
• Produit scalaire : Le produit scalaire entre une direction lumineuse et un normal indique le sens relatif, donc l’éclairage ou l’ombre.
• Distance d’un point à un plan : La formule de distance donne la distance perpendiculaire entre un point et un plan à partir des coefficients du plan.
• Projection orthogonale : La projection orthogonale d’un point sur un plan est le point du plan le plus proche du point, avec une droite perpendiculaire.

📝 Points essentiels

• Pour l’éclairage, si le produit $n\cdot u$ est positif, la surface fait face à la source et reçoit la lumière, sinon elle est dans l’ombre.
• Pour la profondeur, l’ordinateur compare la distance caméra–point (ou caméra–point) et masque l’objet le plus éloigné derrière celui le plus proche.
• La distance d’un point à un plan s’écrit $d=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
• En appliquant la projection orthogonale à l’ensemble des points, on obtient leurs positions sur l’écran 2D de façon cohérente.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre translation et déformation : une translation déplace sans modifier la forme, tandis que les combinaisons/interpolations servent à créer des états intermédiaires.
2. Inverser la notion de colinéarité : la contrainte $u=k\times v$ sert à garder deux directions proportionnelles pour éviter la dislocation.
3. Oublier que l’état animé vient de $\alpha u+\beta v$ : si on fixe seulement un état (ex. $u$), on n’obtient pas un mouvement fluide.
4. Se tromper de critère pour l’éclairage : l’ombre/lumière dépend du signe du produit scalaire $n\cdot u$, pas d’une simple longueur du vecteur normal.
5. Confondre profondeur et projection : la profondeur sert à déterminer qui masque qui, tandis que la projection orthogonale sert à passer de 3D à 2D.
6. Erreur de formule de distance : la distance à un plan utilise le numérateur avec la valeur absolue et un dénominateur \sqrt{a^2+b^2+c^2}, pas seulement l’expression linéaire du plan.

✅ Checklist Examen

1. Expliquer pourquoi un personnage 3D est représenté par des points $(x,y,z)$ et comment ces points forment un maillage polygonal.
2. Décrire le rôle d’un vecteur non nul pour donner une direction dans l’espace.
3. Relier deux vecteurs non colinéaires à la définition de la direction d’un plan.
4. Relier trois vecteurs non coplanaires à la formation d’une base de l’espace.
5. Utiliser la décomposition $w=\alpha u+\beta v+\gamma k$ dans le cadre d’un repère orthonormé.
6. Calculer l’image d’un point $M(x,y,z)$ après une translation de vecteur $t(a,b,c)$.
7. Formuler la contrainte de colinéarité/proportion $u=k\times v$ et expliquer son rôle pour éviter la dislocation d’un objet.
8. Écrire une combinaison linéaire $\alpha u+\beta v$ à partir de deux états vectoriels d’un visage.
9. Lire et appliquer l’exemple d’interpolation avec $(\alpha,\beta)=(1,0)$ puis $(0{,}5,0{,}5)$.
10. Déterminer si une surface est éclairée ou dans l’ombre à partir du signe de $n\cdot u$.
11. Utiliser l’idée de profondeur pour décider quel objet masque quel autre à partir de la distance caméra–points.
12. Donner la formule de la distance d’un point à un plan $d=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
13. Définir la projection orthogonale d’un point sur un plan et dire qu’elle produit une droite perpendiculaire $MH$.