Lernzettel: Inéquations et fonctions affines

📋 Plan du Cours

1. Inéquations avec un carré
2. Tableaux de signes
3. Inéquations avec racine
4. Fonctions et calculs usuels
5. Équation d’une fonction affine

📖 1. Inéquations avec un carré

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation avec un carré : L’inéquation $x^2 \leq 64$ a pour solution $S = [-8\,;\,8]$, car les deux nombres dont le carré vaut 64 sont -8 et 8.

★ À maîtriser

• Pour résoudre $x^2 \leq 64$, on écrit $x^2-64 \leq 0$, puis $x^2-8^2 \leq 0$ et enfin $(x-8)(x+8) \leq 0$.

• L’inéquation $x^2 > 64$ a pour solution $S = ]-\infty\,;\,-8[ \cup ]8\,;\,+\infty[$.

Compléments

• Les égalités $8^2=64$ et $(-8)^2=64$ fournissent les deux bornes de la solution de $x^2 \leq 64$.

📖 2. Tableaux de signes

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de signes : Permet de déterminer les intervalles où une expression est positive, nulle ou négative à partir des signes de ses facteurs.

★ À maîtriser

• Pour étudier le signe d’un produit, on détermine les zéros de chaque facteur, on les ordonne sur une droite graduée, puis on combine les signes des facteurs sur chaque intervalle.

• Pour résoudre $(3x+6)(-x+3)<0$, les facteurs s’annulent en $x=-2$ et $x=3$, et la solution est $S=]-\infty\,;\,-2[\cup]3\,;\,+\infty[$.

Compléments

📐 Formule — La règle de produit étudiée porte sur une expression de la forme $(ax+b)(cx+d)<0$ ou $(ax+b)(cx+d)>0$.

📖 3. Inéquations avec racine

★ À maîtriser

• Pour résoudre $\sqrt{x}\geq 2$, on élève au carré les deux membres positifs, ce qui donne $x\geq 4$ et $S=[4\,;\,+\infty[$.

Compléments

• La fonction $f(x)=\sqrt{x}$ est présentée sur l’intervalle [0 ; 16], avec $f(0)=0$, $f(4)=2$, $f(9)=3$ et $f(16)=4$.

• Dans le raisonnement présenté, $\sqrt{x}$ est comparée à un nombre positif avant d’élever les deux membres au carré.

📖 4. Fonctions et calculs usuels

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un cercle de rayon $R$, le périmètre est $P=2\pi R$ et l’aire est $A=\pi R^2$.

Compléments

• Les calculs présentés donnent $\frac{1}{0{,}01}=100$ et $\frac{1}{0{,}1}=10$.

📐 Formule — La différence entre les carrés de $x-2$ et de $x$ se simplifie ainsi : $(x-2)^2-x^2=x^2-4x+4-x^2=-4x+4$.

📖 5. Équation d’une fonction affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction qui s’écrit $f(x)=ax+b$.

★ À maîtriser

• Pour déterminer une fonction affine à partir de deux points, on calcule d’abord $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, puis on remplace une coordonnée dans $f(x)=ax+b$ pour trouver $b$.

• La droite passant par $A(4\,;\,5)$ et $B(2\,;\,1)$ a pour coefficient directeur $a=\frac{1-5}{2-4}=2$.

• Avec $a=2$ et la condition $f(2)=1$, on obtient $4+b=1$, donc $b=-3$ et $f(x)=2x-3$.

Compléments

• Une proportion $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, avec des dénominateurs non nuls, est équivalente à $a\times d=c\times b$.