Lernzettel: Introduction aux Nombres Premiers et Fractions

📋 Plan du Cours

1. Nombres premiers
2. Décomposition en facteurs premiers
3. Fractions irréductibles

📖 1. Nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un nombre premier est un entier qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
• Diviseur : Un diviseur d’un nombre est un entier qui divise ce nombre sans laisser de reste.

📝 Points essentiels

• 1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur, lui-même.
• Les nombres premiers strictement inférieurs à 30 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.

💡 Astuce mémo

Premier = exactement deux diviseurs (1 et le nombre).

📖 2. Décomposition en facteurs premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition en facteurs premiers : La décomposition en facteurs premiers consiste à écrire un entier comme un produit de nombres premiers.
• Facteur premier : Un facteur premier est un nombre premier qui apparaît dans une décomposition en produit.

📝 Points essentiels

• Pour 84, on obtient 84 = 2 × 2 × 3 × 7.
• Dans la méthode par divisions successives de 84, on teste un diviseur premier à chaque étape puis on s’arrête quand le quotient vaut 1.

💡 Astuce mémo

Décomposer = remplacer un nombre non premier par son produit de facteurs jusqu’à ne garder que des premiers.

📖 3. Fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Une fraction irréductible est une fraction dont le numérateur et le dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1.
• Diviseur commun : Un diviseur commun est un entier qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur.

📝 Points essentiels

• On rend irréductible une fraction en utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers pour identifier les facteurs communs.
• 84/180 devient 7/15 car 84 = 2 × 2 × 3 × 7 et 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5.

💡 Astuce mémo

Irréductible = plus de facteur commun (au-delà de 1).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Penser que 1 est premier car il divise n’importe quel produit, alors qu’il n’a qu’un seul diviseur.
2. Confondre un diviseur avec un multiple : un diviseur divise le nombre sans reste.
3. Croire que la décomposition en facteurs premiers s’arrête dès qu’on a un premier, alors qu’il faut continuer jusqu’à n’obtenir que des nombres premiers.
4. Oublier de rendre la fraction irréductible en annulant tous les facteurs communs, pas seulement un seul.
5. Se tromper dans 84/180 en ne simplifiant pas correctement les facteurs 2 et 3 présents des deux côtés.
6. Écrire une décomposition avec des nombres non premiers (par exemple laisser un 21) alors qu’elle doit être uniquement en facteurs premiers.

✅ Checklist Examen

1. Définir un nombre premier comme un entier ayant exactement deux diviseurs, 1 et lui-même.
2. Dire pourquoi 1 n’est pas un nombre premier.
3. Citer les nombres premiers strictement inférieurs à 30 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
4. Déterminer une décomposition en produit de facteurs premiers d’un entier en aboutissant à des facteurs tous premiers.
5. Reproduire la décomposition de 84 en facteurs premiers : 84 = 2 × 2 × 3 × 7.
6. Expliquer ce qu’est une fraction irréductible en termes de diviseurs communs.
7. Rendre irréductible une fraction à partir des décompositions en facteurs premiers pour simplifier les facteurs communs.
8. Calculer l’irréductible de 84/180 et obtenir 7/15.