Lernzettel: Introduction aux probabilités et géométrie

📋 Plan du Cours

1. Probabilités à la roulette
2. Programmes de calcul
3. Géométrie du cercle et triangles
4. QCM sur fonctions et calculs
5. Pavés droits et partage équitable

📖 1. Probabilités à la roulette

🔑 Notions clés & Définitions

• Roulette : Jeu de hasard où la bille a la même probabilité de s’arrêter sur chaque numéro de la roue.
• Événement : En probabilités, un événement regroupe les résultats possibles correspondant à une condition donnée.
• Probabilité : Valeur qui mesure la proportion de cas favorables parmi l’ensemble des cas possibles équiprobables.

📝 Points essentiels

• Le jeu a 37 issues possibles (numéros de 0 à 36), donc chaque numéro a une probabilité égale à $1/37$.
• La probabilité d’obtenir un numéro à la fois noir et pair se calcule en comptant les issues “noir et pair” puis en divisant par 37.
• La probabilité d’obtenir un numéro inférieur ou égal à 6 est égale à $7/37$, puis celle d’obtenir un numéro supérieur ou égal à 7 vaut $30/37$.
• Affirmer “plus de 3 chances sur 4” revient à comparer $30/37$ à $3/4$, et ici $30/37<3/4$ donc l’affirmation est fausse.

💡 Astuce mémo

37 issues : 0–36, donc “toujours 1 sur 37” pour un numéro précis.

📖 2. Programmes de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Programme A : Procédure de calcul qui transforme un nombre de départ en $2x+4$, où $x$ est le nombre choisi.
• Programme B : Procédure de calcul qui transforme un nombre de départ en $x+2$, puis calcule ensuite $x-1$, ce qui revient à une expression équivalente du résultat.
• Expression littérale : Écriture qui donne le résultat d’un programme ou d’une formule en fonction d’une variable.

📝 Points essentiels

• Si le nombre de départ vaut 5, le programme A donne 56.
• Si le nombre de départ vaut −9, le programme B donne 26.
• Pour un nombre de départ $x$, le résultat du programme A s’exprime par $2x+4$.
• Quel que soit $x$, le résultat du programme A est toujours le double du résultat du programme B.

💡 Astuce mémo

Ici A = 2×B : cherche l’expression de A, puis compare-la à deux fois l’expression de B.

📖 3. Géométrie du cercle et triangles

🔑 Notions clés & Définitions

• Diamètre : Segment qui relie deux points du cercle en passant par le centre, et dont la longueur vaut deux fois le rayon.
• Triangle rectangle : Triangle qui possède un angle droit, ce qui permet d’utiliser le théorème de Pythagore et les rapports trigonométriques.
• Aire du disque : Aire d’un cercle, donnée par la formule \times R^2, où $R$ est le rayon.

📝 Points essentiels

• Le diamètre [AB] vaut 9 cm car le rayon est 4,5 cm.
• Le triangle ABD est rectangle en D, ce qui permet d’utiliser Pythagore pour les longueurs du triangle.
• L’aire du triangle ABD est égale à 19,44 cm², puis l’aire du disque se déduit avec $\pi\times R^2$.
• Le pourcentage demandé est l’aire du triangle ABD divisée par l’aire du disque, multipliée par 100.

💡 Astuce mémo

Rayon 4,5 cm ⇒ diamètre 9 cm : cercle “double” le rayon.

📖 4. QCM sur fonctions et calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Image d’un nombre : Valeur obtenue en remplaçant la variable par le nombre donné dans la fonction.
• Antécédent : Nombre qui, lorsqu’il est mis dans la fonction, donne un résultat donné.
• Médiane : Valeur qui sépare une série ordonnée en deux parties de même effectif (ou une partie de plus si l’effectif est impair).

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=3x-2$, l’image de −4 vaut $3\times(-4)-2=-14$.
• On a $(−5)^3=-125$.
• La médiane des 7 tailles données est 1,67 m après mise en ordre croissant.
• Dans un triangle rectangle de type 3–4–5, avec l’angle  tel que le côté adjacent vaut 4 et l’hypoténuse vaut 5, on obtient $\cos\alpha=4/5=0,8$.
• Pour trouver l’antécédent de 3, on résout $3x-2=3$ pour obtenir la valeur de $x$.

💡 Astuce mémo

Fonction : “image” = remplacer, “antécédent” = résoudre l’équation.

📖 5. Pavés droits et partage équitable

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition en facteurs premiers : Écriture d’un nombre comme produit de nombres premiers, sans facteur répété de façon arbitraire.
• Plus grand nombre de sachets : Nombre maximal de sachets identiques, obtenu par le plus grand diviseur commun entre les quantités à répartir.
• Volume d’un pavé droit : Produit des longueurs des trois dimensions, donnant le nombre de m³ du pavé droit.

📝 Points essentiels

• Il est impossible de faire 15 sachets car 330 et 132 ne sont pas tous deux divisibles par 15.
• On obtient $330=2\times3\times5\times11$ et $132=2^2\times3\times11$, donc le plus grand nombre de sachets est 66.
• Dans ce cas, chaque sachet contient 5 autocollants et 2 drapeaux.
• Le volume de la piscine vaut $15\times2\times25=750\,m^3$, et le remplissage à $9/10$ donne 675 m³, coûtant $675\times4,14=2794,5\,EUR$.

💡 Astuce mémo

Partage identique : on cherche le PGCD pour “tout partager sans reste”.

📊 Tableaux de synthèse

Lien entre programmes A et B

Programme	Résultat (forme)	Relation
A	$2x+4$	toujours le double
B	$(x+2)$	multiplié par 2 donne A

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Ne pas confondre 37 issues (0 à 36) avec 36 seules : la probabilité d’un numéro précis est bien $1/37$.
2. Inverser “inférieur ou égal à 6” et “supérieur ou égal à 7” : ce sont bien des compléments ici.
3. Pour les programmes, traiter les étapes au hasard : il faut simplifier l’expression finale en fonction de $x$.
4. Mélanger rayon et diamètre : ici le diamètre vaut 9 cm car le rayon est 4,5 cm.
5. En partage équitable, croire que “le nombre de sachets” est lié au PPCM : c’est le PGCD qui donne le maximum de sachets identiques.
6. Pour la médiane, oublier le tri des 7 valeurs avant de prendre la 4e valeur ordonnée.
7. Pour le volume, oublier le facteur $9/10$ avant de multiplier par le prix au m³.

✅ Checklist Examen

1. Savoir que chaque numéro de 0 à 36 a la probabilité $1/37$.
2. Savoir calculer une probabilité à la roulette en comptant les issues favorables puis en divisant par 37.
3. Calculer $P(\text{numéro }\le 6)=7/37$ et $P(\text{numéro }\ge 7)=30/37$.
4. Comparer $30/37$ à $3/4$ pour décider si l’affirmation “plus de 3 chances sur 4” est vraie.
5. Transformer le programme A en expression littérale en fonction de $x$ (forme $2x+4$).
6. Savoir évaluer le programme A pour $x=5$ et le programme B pour $x=-9$.
7. Résoudre que pour tout $x$, le résultat de A est le double de celui de B.
8. Justifier que le diamètre vaut 9 cm à partir du rayon 4,5 cm.
9. Déduire que le triangle ABD est rectangle en D et utiliser les aires nécessaires.
10. Calculer l’aire du disque avec $\pi R^2$ puis convertir en pourcentage avec l’aire du triangle.
11. Pour $f(x)=3x-2$, savoir calculer l’image de −4 et trouver l’antécédent de 3.
12. Savoir trouver la médiane après tri des 7 tailles données et obtenir 1,67.
13. Calculer $\cos\alpha$ pour un triangle 3–4–5 en utilisant le bon côté adjacent et l’hypoténuse.
14. Déterminer le nombre maximal de sachets identiques avec le PGCD de 330 et 132.