Lernzettel: Introduction aux suites et leurs propriétés

📋 Plan du Cours

1. Définition et notation des suites
2. Formules explicites et définition par récurrence
3. Représentation graphique et sens de variation
4. Limite finie et tendance vers l’infini
5. Suites arithmétiques : raison, formule et somme
6. Suites géométriques : raison, formule et somme

📖 1. Définition et notation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite : Une suite est un ensemble infini et ordonné de nombres, indexé par un rang.
• Premier rang k : Le premier rang k est l’entier à partir duquel la suite commence à être définie.
• Notation (u_n)_{n≥k} : La notation (u_n)_{n≥k} indique que le terme u_n est défini pour tous les n à partir du premier rang k.
• Fonction de {k,k+1,…} dans R : Une suite peut être vue comme une fonction qui associe à chaque rang n un réel u_n.

📝 Points essentiels

• Une suite peut commencer à un rang non nul, donc le premier rang n’est pas forcément 0.
• Si k est le premier rang, on peut noter la suite (u_n)_{n≥k}.
• Un exemple de suite : les entiers naturels impairs, numérotés à partir de 0, donnent u_0=1, u_1=3, u_2=5, etc.
• La suite est dite définie sur un ensemble de rangs {k,k+1,…} et chaque rang correspond à un terme réel.
• Selon le contexte, on privilégie soit une formule directe, soit une règle de passage d’un terme au suivant.

💡 Astuce mémo

Suite = liste infinie indexée : le rang k dit où tu démarres.

📖 2. Formules explicites et définition par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule explicite : Une formule explicite donne directement u_n en fonction du rang n.
• Définition par récurrence : Une définition par récurrence décrit comment obtenir u_{n+1} à partir de u_n via une règle valable pour tout n.
• Règle de passage : La règle de passage est l’égalité qui relie u_{n+1} et u_n pour chaque rang n.
• Suite des puissances de deux : La suite (2^n) est une suite définie par récurrence avec u_0=1 et u_{n+1}=2·u_n.

📝 Points essentiels

• Une formule explicite permet de calculer u_n directement sans connaître les termes précédents.
• Une définition par récurrence nécessite un premier terme (valeur initiale) pour démarrer.
• La règle de récurrence a la forme d’une égalité reliant u_{n+1} et u_n pour tout n.
• Pour la suite des puissances de deux : u_0=1 et u_{n+1}=2·u_n.
• Le choix du premier terme change la suite : démarrer par 0 pour les impairs donnerait une autre suite (pairs).

💡 Astuce mémo

Explicite = “recette directe” (u_n en une étape) ; récurrence = “u_{n+1} depuis u_n” + point de départ.

📖 3. Représentation graphique et sens de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique d’une suite : La représentation graphique d’une suite consiste à placer des points de coordonnées (n,u_n).
• Suite croissante : Une suite est croissante si chaque terme est inférieur ou égal au suivant.
• Suite décroissante : Une suite est décroissante si chaque terme est supérieur ou égal au suivant.
• Suite strictement croissante : Une suite est strictement croissante si chaque terme est strictement inférieur au suivant.
• Monotone : Une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.

📝 Points essentiels

• Pour représenter une suite, on trace les points (n;u_n).
• Une suite croissante vérifie : pour tout n, u_n ≤ u_{n+1}.
• Une suite décroissante vérifie : pour tout n, u_n ≥ u_{n+1}.
• On peut ajouter “strictement” pour remplacer ≤/≥ par < />.
• Une suite strictement (dé)croissante est forcément (dé)croissante, mais l’inverse n’est pas vrai.
• Il existe des suites ni croissantes ni décroissantes : elles ne sont pas monotones.

💡 Astuce mémo

Croissante : flèche vers le haut (u_n ≤ u_{n+1}) ; décroissante : flèche vers le bas (u_n ≥ u_{n+1}).

📖 4. Limite finie et tendance vers l’infini

🔑 Notions clés & Définitions

• Tend vers +∞ : Une suite tend vers +∞ si, à partir d’un certain rang, tous les termes dépassent n’importe quel seuil choisi.
• Limite infinie : Une limite infinie correspond au cas où la suite diverge vers +∞ (ici noté lim_{n→+∞} u_n = +∞).
• Tend vers L : Une suite tend vers L si ses termes se rapprochent arbitrairement de la valeur L quand n grandit.
• Limite finie : Une limite finie est une limite vers une valeur réelle L, notée lim_{n→+∞} u_n = L.

📝 Points essentiels

• Dire que la suite “tend vers +∞” signifie qu’elle dépasse définitivement tout seuil à partir d’un certain rang.
• On note : lim_{n→+∞} u_n = +∞ pour une tendance vers l’infini.
• Si les termes semblent se stabiliser vers une valeur L, on dit que la suite tend vers L.
• On note : lim_{n→+∞} u_n = L pour une limite finie.
• Exemple : la suite 3 + 2/n (pour n≥1) tend vers 3.
• Le cours indique qu’en première approche on peut faire des conjectures sur le comportement des suites.

💡 Astuce mémo

+∞ : “ça finit par dépasser tout seuil” ; limite L : “ça se stabilise vers L”.

📖 5. Suites arithmétiques : raison, formule et somme

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique s’il existe une constante r telle que u_{n+1}=u_n+r pour tout n.
• Raison d’une suite arithmétique : La raison r est la constante ajoutée à chaque passage de u_n à u_{n+1}.
• Formule explicite d’une suite arithmétique : La formule explicite exprime u_n comme une fonction affine du rang n : u_n = u_0 + nr (selon le point de départ).
• Somme de termes consécutifs : La somme u_m + … + u_n additionne des termes consécutifs d’une suite entre deux rangs m et n.

📝 Points essentiels

• Une suite arithmétique vérifie : pour tout n, u_{n+1}=u_n+r.
• La raison r peut aussi être vue comme une différence constante : u_{n+1}-u_n ne dépend pas de n.
• Exemple : u_n=n est arithmétique de raison 1 car u_{n+1}=n+1=u_n+1.
• Pour une suite arithmétique de raison r commençant à u_0 : u_n = u_0 + nr.
• Si le premier terme est u_1 : u_n = u_1 + (n−1)r ; si le premier terme est u_2 : u_n = u_2 + (n−2)r.
• Somme : pour m≤n, u_m+…+u_n = (n−m+1)·(u_m+u_n)/2 (nombre de termes × moyenne du premier et du dernier).

💡 Astuce mémo

Arithmétique = “+r à chaque pas” ; somme = “nombre de termes × moyenne extrêmes”.

📖 6. Suites géométriques : raison, formule et somme

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite est géométrique s’il existe une constante r telle que u_{n+1}=u_n·r pour tout n.
• Raison d’une suite géométrique : La raison r est le facteur constant qui multiplie u_n pour obtenir u_{n+1}.
• Formule explicite d’une suite géométrique : La formule explicite exprime u_n sous la forme u_n = u_0·r^n (selon le point de départ).
• Somme géométrique : La somme u_m+…+u_n additionne des termes consécutifs d’une suite géométrique et se calcule via une formule en r.

📝 Points essentiels

• Une suite géométrique vérifie : pour tout n, u_{n+1}=u_n·r.
• La raison r peut aussi être vue comme un quotient constant : u_{n+1}/u_n est constant (quand c’est défini).
• Exemple : u_n=2^n est géométrique de raison 2 car u_{n+1}=2^{n+1}=2·2^n.
• Exemple non géométrique : u_n=2^n+1 n’est pas géométrique car le quotient u_1/u_0 et u_2/u_1 ne coïncident pas.
• Pour une suite géométrique commençant à u_0 : u_n = u_0·r^n.
• Si le premier terme est u_1 : u_n = u_1·r^{n−1} (et analogues pour u_2).

💡 Astuce mémo

Géométrique = “×r à chaque pas” ; quotient constant (si défini).

📊 Tableaux de synthèse

Croissante vs strictement croissante

Arithmétique vs géométrique

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre croissante et strictement croissante : une suite peut être croissante sans être strictement croissante.
2. Oublier que le premier rang (et donc le premier terme) change la formule explicite, surtout pour les suites arithmétiques et géométriques.
3. Croire qu’une suite est monotone automatiquement : certaines suites ne sont ni croissantes ni décroissantes.
4. Pour une suite géométrique, utiliser le quotient u_{n+1}/u_n sans vérifier que le quotient est bien défini (le cours impose u_n ≠ 0).
5. Penser qu’une suite arithmétique a une différence constante sans vérifier avec plusieurs valeurs (un contre-exemple suffit).

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir une suite et donner la notation avec un premier rang k : (u_n)_{n≥k}.
2. Savoir distinguer formule explicite et définition par récurrence, et identifier la règle reliant u_{n+1} à u_n.
3. Savoir tracer/identifier la représentation graphique : points (n;u_n).
4. Savoir tester croissante/décroissante et strictement (inégalités correctes) puis conclure monotone ou non.
5. Savoir interpréter une limite vers +∞ et une limite finie vers L, avec les notations correspondantes.
6. Savoir reconnaître une suite arithmétique via u_{n+1}=u_n+r et donner raison r.
7. Savoir écrire u_n pour une suite arithmétique selon le premier terme (u_0, u_1, u_2) et calculer une somme u_m+…+u_n.
8. Savoir reconnaître une suite géométrique via u_{n+1}=u_n·r et donner raison r.
9. Savoir écrire u_n pour une suite géométrique selon le premier terme (u_0, u_1, u_2) et calculer une somme u_m+…+u_n quand r≠1.