Lernzettel: Introduction aux systèmes de numération anciens

📋 Plan du Cours

1. Systèmes de numération anciens
2. Numération de position et écriture des nombres
3. Écrire les nombres en lettres
4. Demi-droite graduée
5. Abscisse des points
6. Comparer et encadrer les entiers

📖 1. Systèmes de numération anciens

🔑 Notions clés & Définitions

• Hiéroglyphes égyptiens : Les hiéroglyphes égyptiens sont des symboles dont la valeur vaut 1, 10, 100, 1 000… et qui peuvent se répéter jusqu’à neuf fois.
• Chiffres romains : Les chiffres romains utilisent des lettres de valeurs fixes dont chaque symbole ne peut pas se répéter plus de 3 fois.
• Numération maya : La numération maya est une numération de position utilisant 3 symboles, avec une importance donnée à la place de chaque symbole.

📝 Points essentiels

• En numération égyptienne, chaque symbole correspond à une valeur (1, 10, 100, 1 000…) et peut être écrit jusqu’à neuf fois.
• En romain, la répétition d’un même symbole est limitée à 3 fois, et certains nombres nécessitent l’usage de la position.
• Les mayas comptent de 20 en 20 : pour 27, on utilise 1 fois 20 et 7 unités (écriture en conséquence).

📖 2. Numération de position et écriture des nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Numération de position : La numération de position attribue à chaque chiffre une valeur qui dépend du rang qu’il occupe dans le nombre.
• Chiffres du système actuel : Le système actuel s’appuie sur les chiffres 0 à 9, dont l’assemblage décrit un nombre par leur position.

📝 Points essentiels

• Dans 1 522, le 1 est au rang des milliers (1 000), le 5 au rang des centaines (500) et le 2 au rang des unités simples (2).
• Pour séparer les grands nombres, on regroupe par classes : 12 678 543 s’écrit aussi en lettres en plusieurs groupes séparés par traits d’union.
• L’écriture en classes correspond au tableau de numération où chaque rang (milliers, centaines, dizaines, unités…) a une valeur différente.

📖 3. Écrire les nombres en lettres

🔑 Notions clés & Définitions

• Accords de cent : Le mot cent s’accorde en fonction de la présence d’un nombre derrière : sans suite, il prend souvent un s.
• Invariabilité de mille : Le mot mille s’écrit toujours sans s, que le nombre qui le précède ait ou non des éléments derrière.

📝 Points essentiels

• On relie les mots avec des tirets, par exemple 2 635 s’écrit deux-mille-six-cent-trente-cinq.
• Cent ne s’accorde pas quand il est suivi d’un autre nombre, par exemple cinq-cent-trente-et-un pour 531.
• Cent s’accorde s’il n’y a pas de nombre derrière, par exemple cinq-cents pour 500 et cent-quatre-vingts pour 180.
• Mille est invariable, par exemple quatre-mille pour 4 000 et quatre-mille-deux-cents pour 4 200.

📖 4. Demi-droite graduée

🔑 Notions clés & Définitions

• Demi-droite : Une demi-droite est une partie d’une droite qui possède une origine unique.
• Pas d’une demi-droite graduée : Une demi-droite graduée est construite en choisissant une longueur appelée pas, reportée régulièrement depuis l’origine.

📝 Points essentiels

• Quand la demi-droite est graduée de 1 cm, chaque graduation correspond à un pas constant (1 cm) sur l’échelle dessinée.
• La graduation commence à 1900 et la 11e graduation correspond à 2000, donc l’écart de pas en années est celui qui relie ces deux graduations.
• Pour placer des événements, on associe chaque date à la graduation située au même endroit sur la demi-droite graduée.

📖 5. Abscisse des points

🔑 Notions clés & Définitions

• Abscisse : L’abscisse d’un point est le nombre entier associé à la graduation qui correspond à ce point.
• Notation d’abscisse : On note l’abscisse d’un point en écrivant le nom de la lettre puis le nombre entre parenthèses, par exemple A(20).

📝 Points essentiels

• Avec un pas de 10, le point de graduation 20 se note A(20).
• Avec un pas de 50, une abscisse de 10 050 se note E(10 050).
• Sur un repère à pas donné, l’abscisse se lit directement sur la graduation correspondante au point placé.

📖 6. Comparer et encadrer les entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Inégalités et égalité : Les notations =, <, >, ≤ et ≥ décrivent respectivement l’égalité, l’infériorité stricte, la supériorité stricte, l’infériorité ou égalité, et la supériorité ou égalité.
• Encadrement sur une demi-droite : Un nombre est encadré quand il se situe entre deux autres nombres affichés sur la demi-droite graduée.

📝 Points essentiels

• a = b signifie que les deux nombres sont identiques, tandis que a < b et a > b indiquent des relations strictes.
• a ≤ b signifie que a est inférieur ou égal à b, et a ≥ b signifie que a est supérieur ou égal à b.
• Un encadrement correspond au fait que le nombre appartient au segment délimité par deux valeurs sur la demi-droite graduée.

📅 Repères chronologiques

Date	Événement
VIème siècle	Al-Khwarizmi associé à l’origine probable du système de numération actuel
1900	Début des graduations de la demi-droite graduée
2000	11e graduation de la demi-droite graduée correspond à l’année 2000
1939 – 1945	Début et fin de la seconde guerre mondiale
1914 – 1918	Début et fin de la première guerre mondiale
1969	Premiers pas de l’homme sur la lune
2004	Jeux olympiques d’Athènes
1958	Début de la Cinquième République
1930	Première coupe du monde de football
1998	Coupe du monde de football en France

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. En numération de position, confondre le rang (milliers, centaines, dizaines, unités) fait changer la valeur de chaque chiffre.
2. Écrire cent avec un s quand il est suivi d’un nombre (ex : 531 doit donner cinq-cent-trente-et-un).
3. Penser que mille s’accorde avec la valeur (4 000 s’écrit quatre-mille, pas quatre-milles).
4. Confondre l’abscisse avec la position sur le dessin : l’abscisse est le nombre entier associé à la graduation.
5. Mélanger les symboles d’inégalités : « < » et « > » sont stricts, tandis que « ≤ » et « ≥ » permettent l’égalité.
6. Pour les nombres mayas, ignorer le comptage par paquets de 20 (27 ne se construit pas uniquement avec des unités).

✅ Checklist Examen

1. Identifier la logique de chaque système ancien : valeurs et répétitions égyptiennes, limite de répétition romaine, rôle de la position chez les mayas.
2. Écrire un nombre en chiffres à partir d’une écriture en lettres avec les classes correctement séparées si besoin.
3. Donner la valeur d’un chiffre en numération de position en indiquant son rang (milliers, centaines, dizaines, unités).
4. Respecter les règles d’écriture en lettres : tirets entre mots et règles d’accord pour cent (suivi ou non d’un nombre).
5. Écrire mille sans s, même si un nombre suit derrière, par exemple pour 4 200.
6. Placer correctement une demi-droite graduée : origine et pas de graduation, puis lire les dates ou valeurs associées.
7. Calculer l’abscisse d’un point à partir du pas (ex : A(20) avec pas 10, E(10 050) avec pas 50).
8. Transcrire une abscisse sous la forme lettre + nombre entre parenthèses avec le format attendu.
9. Comparer deux entiers en utilisant =, <, >, ≤ ou ≥ selon la relation demandée.
10. Encadrer un nombre sur une demi-droite graduée en indiquant qu’il appartient au segment entre deux nombres donnés.