Lernzettel: Logique des propositions

📋 Plan du Cours

1. Contre-exemple d’une proposition universelle
2. Conjonction et disjonction
3. Implication et négation
4. Équivalence et conditions

📖 1. Contre-exemple d’une proposition universelle

📝 Points essentiels

• Pour réfuter une proposition universelle de la forme « pour tout x appartenant à E, P(x) », il suffit de trouver un élément de E pour lequel P(x) est fausse.

📖 2. Conjonction et disjonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Disjonction : De P et Q, notée « P ou Q », est vraie lorsqu’au moins l’une des propositions P ou Q est vraie et fausse lorsque P et Q sont toutes deux fausses.
• Conjonction : De P et Q, notée « P et Q », est vraie lorsque P et Q sont toutes deux vraies et fausse lorsqu’au moins l’une des deux est fausse.

📝 Points essentiels

• Pour un dé à six faces, si P signifie « le résultat est pair » et Q « le résultat est supérieur ou égal à 3 », alors P ou Q correspond aux résultats 2, 3, 4, 5 et 6, tandis que P et Q correspond aux résultats 4 et 6.

📖 3. Implication et négation

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication : P implique Q signifie que lorsque P est vraie, Q est vraie.
• Implication réciproque : L’implication Q implique P est appelée la réciproque de l’implication P implique Q.

★ À maîtriser

• Dans l’implication P implique Q, P est une condition suffisante de Q et Q est une condition nécessaire de P.

• La négation de l’implication P implique Q est la conjonction P et non-Q.

Compléments

• La négation de « Je suis en prépa donc je travaille beaucoup » est « Je suis en prépa et je ne travaille pas beaucoup ».

📖 4. Équivalence et conditions

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalence : P et Q sont équivalentes lorsque P implique Q et Q implique P.

★ À maîtriser

• Dire que P et Q sont équivalentes signifie que P est vraie si et seulement si Q est vraie.

Compléments

• Lorsque P et Q sont équivalentes, P est une condition nécessaire et suffisante de Q.

📊 Tableaux de synthèse

Conjonction et disjonction

Proposition	Condition de vérité	Condition de fausseté
P ou Q	P ou Q est vraie	P et Q sont fausses
P et Q	P et Q sont vraies	P ou Q est fausse