Lernzettel: Méthodes de trigonométrie

📋 Plan du Cours

1. Mesure principale et placement
2. Valeurs de sinus et cosinus
3. Formules d’angles associés
4. Équations trigonométriques
5. Inéquations trigonométriques
6. Identités trigonométriques

📖 1. Mesure principale et placement

★ À maîtriser

• Pour trouver la mesure principale d’un angle, il faut l’écrire sous la forme $2k\\pi+\\alpha$, puis vérifier que \\alpha\\in\]-\\pi;\\pi\].

Compléments

• Pour $\\frac{31\\pi}{6}$, on écrit $\\frac{31\\pi}{6}=6\\pi-\\frac{5\\pi}{6}=3(2\\pi)-\\frac{5\\pi}{6}$, donc sa mesure principale est $-\\frac{5\\pi}{6}$.

• Pour obtenir une mesure principale, on cherche le multiple pair de $\\pi$ le plus proche du numérateur afin d’extraire un multiple de $2\\pi$.

• Le point associé à un angle se place sur le cercle trigonométrique à partir de sa mesure principale, qui représente le même point que l’angle initial après retrait de multiples de $2\\pi$.

📖 2. Valeurs de sinus et cosinus

★ À maîtriser

📐 Formule — Le sinus et le cosinus vérifient $\\cos^2(x)+\\sin^2(x)=1$.

• Pour calculer le sinus à partir du cosinus, on utilise $\\sin^2(x)=1-\\cos^2(x)$, puis on détermine le signe grâce à l’intervalle contenant $x$.

Compléments

• Si $\\cos(x)=-\\frac13$, alors $\\sin^2(x)=\\frac89$ et $\\sin(x)=\\pm\\frac{2\\sqrt2}{3}$.

📌 Sur l’intervalle \[-\\pi;0\], on a $\\sin(x)\\leq0$ ; ainsi, si $\\cos(x)=-\\frac13$, alors $\\sin(x)=-\\frac{2\\sqrt2}{3}$.

📖 3. Formules d’angles associés

★ À maîtriser

• Les formules d’angles associés sont $\\cos(x+\\pi)=-\\cos(x)$ et $\\sin(x+\\pi)=-\\sin(x)$.

• Les formules de l’opposé sont $\\cos(-x)=\\cos(x)$ et $\\sin(-x)=-\\sin(x)$.

Compléments

• Les formules de complément à $\\frac\\pi2$ sont $\\cos\\left(\\frac\\pi2-x\\right)=\\sin(x)$ et $\\sin\\left(\\frac\\pi2-x\\right)=\\cos(x)$.

• L’expression $A(x)=\\cos(x+\\pi)+\\sin(\\pi-x)+\\cos(-x)+\\sin\\left(\\frac\\pi2-x\\right)$ se simplifie en $A(x)=\\sin(x)+\\cos(x)$.

📖 4. Équations trigonométriques

★ À maîtriser

• Dans $\\mathbb R$, l’équation $\\cos(x)=\\cos(\\alpha)$ a pour solutions $x=\\alpha+2k\\pi$ ou $x=-\\alpha+2k\\pi$, avec $k\\in\\mathbb Z$.

• Pour résoudre une équation trigonométrique sur un intervalle restreint, on détermine d’abord les solutions générales puis on teste les valeurs entières de $k$ qui placent les solutions dans l’intervalle.

Compléments

• Dans \[0;2\\pi\], les solutions de $\\sin(x)=-\\frac{\\sqrt3}{2}$ sont $x=\\frac{4\\pi}{3}$ et $x=\\frac{5\\pi}{3}$.

📖 5. Inéquations trigonométriques

★ À maîtriser

• Pour résoudre une inéquation trigonométrique, on résout d’abord l’équation associée afin de placer les bornes sur le cercle trigonométrique.

• Sur le cercle trigonométrique, on repère la portion d’arc correspondant à la condition stricte ou large donnée par l’inéquation.

Compléments

• Dans \]-\\pi;\\pi\], l’équation $\\cos(x)=\\frac12$ a pour solutions $x=-\\frac\\pi3$ et $x=\\frac\\pi3$.

• Dans \]-\\pi;\\pi\], les solutions de $\\cos(x)\\geq\\frac12$ sont \\left\[-\\frac\\pi3;\\frac\\pi3\\right\].

📖 6. Identités trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — Lorsque le cosinus est non nul, la tangente vérifie $\\tan(x)=\\frac{\\sin(x)}{\\cos(x)}$.

• Pour démontrer une identité trigonométrique, on part du membre le plus complexe et on le transforme jusqu’à obtenir l’autre membre.

📐 Formule — Pour tout réel $x$, l’identité fondamentale est $\\cos^2(x)+\\sin^2(x)=1$.

Compléments

• Après avoir remplacé la tangente ou utilisé une identité trigonométrique, on met les termes au même dénominateur puis on simplifie.

• Pour x\\in\\left\]0;\\frac\\pi2\\right\[, on obtient $1+\\tan^2(x)=1+\\frac{\\sin^2(x)}{\\cos^2(x)}=\\frac{\\cos^2(x)+\\sin^2(x)}{\\cos^2(x)}=\\frac1{\\cos^2(x)}$.

📊 Tableaux de synthèse

Solutions générales selon la fonction

Équation	Première famille	Seconde famille
$\\cos(x)=\\cos(\\alpha)$	$x=\\alpha+2k\\pi$	$x=-\\alpha+2k\\pi$
$\\sin(x)=\\sin(\\alpha)$	$x=\\alpha+2k\\pi$	$x=\\pi-\\alpha+2k\\pi$