Lernzettel: Notions clés en pourcentages et dérivées

📋 Plan du Cours

1. Coefficient multiplicateur et pourcentages
2. Évolutions successives et réciproques
3. Dérivée et signe
4. Formules de dérivation
5. Étude de variations

📖 1. Coefficient multiplicateur et pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient multiplicateur : Le coefficient multiplicateur est le facteur qui transforme un nombre initial en valeur après hausse ou baisse en pourcentage.
• Hausse de t % : Une hausse de t % correspond à une augmentation du nombre initial multipliée par 1 + t/100.
• Baisse de t % : Une baisse de t % correspond à une diminution du nombre initial multipliée par 1 − t/100.

📝 Points essentiels

• Pour une hausse de t %, on utilise CM = 1 + t/100, et le nouveau prix vaut ancien prix × CM.
• Pour une baisse de t %, on utilise CM = 1 − t/100, et le nouveau prix vaut ancien prix × CM.
• Exemple : 80 € augmente de 5 % donne CM = 1,05 et nouveau prix 84 €.

💡 Astuce mémo

CM = 1 + t/100 pour monter, CM = 1 − t/100 pour descendre.

📖 2. Évolutions successives et réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Évolutions successives : Les évolutions successives s’obtiennent en combinant les changements de pourcentage par multiplication des coefficients multiplicateurs.
• Évolution réciproque : Une évolution réciproque est le changement de pourcentage qui annule exactement une hausse ou une baisse précédente.

📝 Points essentiels

• On ne doit jamais additionner les pourcentages : pour plusieurs changements, on multiplie les coefficients multiplicateurs entre eux.
• Pour une hausse de 25 %, le coefficient initial est 1,25 et le coefficient réciproque vaut 1/1,25 = 0,8.
• Le coefficient 0,8 correspond à une baisse de 20 % car 1 − 0,8 = 0,2.

💡 Astuce mémo

Pour annuler : on prend le coefficient inverse (1,25 devient 1/1,25).

📖 3. Dérivée et signe

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée f'(x) : La dérivée f'(x) donne la pente de la courbe de la fonction au point d’abscisse x.
• Signe de la dérivée : Le signe de f'(x) indique si la fonction monte, descend, ou a une pente nulle à cet endroit.

📝 Points essentiels

• Si la courbe monte alors f'(x) > 0, et si elle descend alors f'(x) < 0.
• Au sommet ou au creux, la pente est plate donc f'(x) = 0.
• Pour repérer les variations, on compare le signe de f'(x) sur l’intervalle étudié.

📖 4. Formules de dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée d’une constante : La dérivée d’une constante k est nulle puisque la valeur ne varie pas avec x.
• Dérivée de x : La dérivée de x est 1 car la pente de la droite y = x est constante.
• Dérivée d’un polynôme : Les dérivées de polynômes se trouvent en appliquant la règle de puissance et la linéarité sur les termes.

📝 Points essentiels

• Conversions à savoir : (k)’=0 et (x)’=1.
• Conversions à savoir : (ax + b)’=a et (x^2)’=2x.
• Conversions à savoir : (x^3)’=3x^2.
• Exemple : pour f(x)=3x^2−5x+10, on obtient f'(x)=6x−5.

💡 Astuce mémo

Puissance : x^n devient n x^(n−1) (et les constantes disparaissent).

📖 5. Étude de variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum et variations : Une étude de variations détermine où la fonction augmente ou diminue, ce qui permet de localiser un maximum (ou un minimum).
• Tableau de variations : Le tableau de variations organise les valeurs de la fonction et le signe de sa dérivée sur un intervalle.

📝 Points essentiels

• Méthode en 3 étapes : calculer f'(x), résoudre f'(x) > 0 pour le signe, puis dresser le tableau de variations.
• Sur [0 ; 5] pour f(x)=x^2−4x+5, on a f'(x)=2x−4 et le signe change pour x=2.
• Les valeurs de f(0), f(2) et f(5) donnent 5, 1 et 10, et le tableau montre décroissance puis croissance.

💡 Astuce mémo

Cherche d’abord le zéro de la dérivée : il découpe l’intervalle en zones de montée/descente.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Ajouter des pourcentages au lieu de multiplier les coefficients multiplicateurs lors d’évolutions successives.
2. Confondre hausse et baisse : utiliser 1 − t/100 pour une hausse ou 1 + t/100 pour une baisse.
3. Prendre la réciproque sans inverser le coefficient (0,8 n’est pas obtenu par 1,25−1).
4. Se tromper de signe en lisant la dérivée : f'(x) > 0 signifie montée, pas descente.
5. Oublier de placer les valeurs f(x) obtenues en remplaçant x par les bornes et les points où f'(x)=0 dans le tableau.
6. Interpréter f'(x)=0 comme une variation automatiquement minimale, alors que cela dépend du contexte (sommet ou creux).

✅ Checklist Examen

1. Calculer un coefficient multiplicateur pour une hausse de t % puis obtenir le nouveau prix par multiplication.
2. Calculer un coefficient multiplicateur pour une baisse de t % puis obtenir le nouveau prix par multiplication.
3. Combiner plusieurs évolutions successives en multipliant les coefficients multiplicateurs, sans additionner les pourcentages.
4. Trouver la réciproque d’une évolution en prenant l’inverse du coefficient multiplicateur et convertir le résultat en pourcentage.
5. Relier le signe de f'(x) à l’allure de la fonction : monter si f'(x) > 0, descendre si f'(x) < 0.
6. Identifier les points où f'(x)=0 pour repérer les sommets et creux dans une étude de variations.
7. Appliquer les formules de base : (k)’=0, (x)’=1, (ax+b)’=a, (x^2)’=2x, (x^3)’=3x^2.
8. Dériver correctement un polynôme en utilisant les conversions et la combinaison des termes.
9. Réaliser une étude de variations complète : dériver, résoudre le signe de la dérivée, puis remplir le tableau sur l’intervalle.
10. Calculer les valeurs de la fonction aux points à utiliser dans le tableau (bornes et zéros de la dérivée) pour conclure sur les variations.