Lernzettel: Notions fondamentales en exponentielles et géométrie vectorielle

📋 Plan du Cours

1. Fonction exponentielle et unicité
2. Propriétés de signe et variation de f
3. Règles de calcul sur les exponentielles
4. Produit scalaire : définitions et expressions
5. Équations de droites : réduite et cartésienne
6. Application du produit scalaire aux droites et cercles

📖 1. Fonction exponentielle et unicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : Fonction définie par la condition initiale $f(0)=1$ et l’équation différentielle $f'=f$.

📝 Points essentiels

• Si $g'=g$ et $g(0)=1$, alors $f$ et $g$ coïncident sur tout leur domaine.
• En posant $h=1/g$, on obtient $h'=0$, donc $h$ est constante.
• Comme $h(0)=f(0)/g(0)=1$, on a $h(x)=1$ puis $g(x)=f(x)$.

💡 Astuce mémo

$f'=f$ + $f(0)=1$ fixe l’exponentielle sans ambiguïté.

📖 2. Propriétés de signe et variation de f

🔑 Notions clés & Définitions

• Signe de f : Propriété qualitative indiquant si $f(x)$ est toujours positive, négative ou s’annule selon $x$.
• Variation de f : Comportement de $f$ quand $x$ augmente, décrit par la croissance ou la décroissance via le signe de $f'$.

📝 Points essentiels

• Si $f(-x)f(x)=1$, alors $f(x) eq 0$ pour tout $x$.
• Comme $f(0)=1>0$, on en déduit que $f(x)$ est positive pour tout $x$.
• Si $f(x)>0$ alors $f'(x)>0$, donc $f$ est croissante.

💡 Astuce mémo

Positif partout car $f(-x)f(x)=1$ empêche toute annulation.

📖 3. Règles de calcul sur les exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Règles sur les exponentielles : Identités algébriques reliant $e^{x+y}$, $e^{x-y}$, $e^{-x}$ et les puissances $(e^x)^n$.

📝 Points essentiels

• $e^{x+y}=e^x\times e^y$ et $e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}$.
• $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$ et $e^0=1$.
• Pour $n\in\mathbb{R}$, $(e^x)^n=e^{nx}$ et $e^1=e\approx 2{,}718$.

💡 Astuce mémo

Somme d’exposants → produit ; différence → quotient ; signe moins → inverse.

📖 4. Produit scalaire : définitions et expressions

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Nombre associé à deux vecteurs, nul si les vecteurs sont orthogonaux, et lié à l’angle entre eux via un facteur cosinus.
• Angle entre vecteurs : Mesure notée $(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})$ qui intervient dans la formule du produit scalaire.

📝 Points essentiels

• Si $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(OA)$, alors $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\|OA\|\,\|OH\|$ quand $H\in[OA]$.
• Si $H=O$, alors $OA\cdot OB=0$ : deux vecteurs orthogonaux ont un produit scalaire nul.
• On a aussi $OA\cdot OB=\|OA\|\,\|OB\|\cos(\widehat{AOB})$ (ou $\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=\|\overrightarrow{U}\|\,\|\overrightarrow{V}\|\cos(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})$).

💡 Astuce mémo

Produit scalaire = normes × cos de l’angle.

📖 5. Équations de droites : réduite et cartésienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation réduite : Forme d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées : $y=mx+p$, avec $m$ pente et $p$ ordonnée à l’origine.
• Équation cartésienne : Forme d’une droite : $ax+by+c=0$, où $(a,b)$ donne un vecteur normal.

📝 Points essentiels

• Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation réduite unique $y=mx+p$.
• Toute droite parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation réduite $x=k$.
• Si $ax+by+c=0$, alors un vecteur normal est $(a/b)$ et un vecteur directeur est $(-b/a)$.

💡 Astuce mémo

Cartésienne : coefficients de $x,y$ → normal ; réduite : $m$ → pente.

📖 6. Application du produit scalaire aux droites et cercles

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur normal à une droite : Vecteur orthogonal à la direction de la droite, donc perpendiculaire à tout vecteur directeur de cette droite.
• Cercle de diamètre : Ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=0$, ce qui décrit le cercle de diamètre $(AB)$.

📝 Points essentiels

• Si $\overrightarrow{n}$ est normal à $(AB)$, alors $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ et une équation cartésienne s’écrit $ax+by+c=0$ avec $\overrightarrow{n}=(a/b)$.
• Pour la médiatrice de $(AB)$, tout point $H$ vérifie $\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AB}=\tfrac{1}{2}AB\cdot AB$ puis on obtient l’orthogonalité $\overrightarrow{NH}\perp\overrightarrow{AB}$.
• Le cercle de diamètre $(AB)$ a pour équation $(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0$.

💡 Astuce mémo

Droites : normal ⟂ direction ; cercles : produit scalaire nul sur le diamètre.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $f(-x)f(x)=1$ avec une simple symétrie : cela implique surtout $f(x)\neq 0$ et donc un signe constant.
2. Prendre $m$ pour l’ordonnée à l’origine : dans $y=mx+p$, $m$ est la pente et $p$ est l’ordonnée à l’origine.
3. Oublier le lien normal/directeur : pour $ax+by+c=0$, le directeur n’est pas $(a/b)$ mais $(-b/a)$.
4. Pour le cercle de diamètre, utiliser la mauvaise condition : ce n’est pas une égalité de longueurs mais bien $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=0$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir démontrer l’unicité de la fonction vérifiant $f(0)=1$ et $f'=f$ via une fonction $h=1/g$.
2. Déterminer le signe et la variation de $f$ à partir de $f(-x)f(x)=1$ et du signe de $f'$.
3. Appliquer les identités $e^{x+y}$, $e^{x-y}$, $e^{-x}$ et $(e^x)^n$ (et connaître $e^0$ et $e\approx2{,}718$).
4. Utiliser les deux expressions du produit scalaire : via le cosinus de l’angle et via le cas d’orthogonalité (produit nul).
5. Passer d’une équation cartésienne $ax+by+c=0$ à un vecteur normal et à un vecteur directeur, puis écrire l’équation réduite si nécessaire.
6. Écrire une équation de droite à partir d’un point et d’un vecteur normal (ou directeur) en utilisant $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0$.
7. Construire l’équation d’un cercle de diamètre $(AB)$ avec $(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0$ et celle d’un cercle de centre/rayon avec $(x-x_r)^2+(y-y_r)^2=r^2$.