Lernzettel: Résolution d'Équations Linéaires

📋 Plan du Cours

1. Résolution et vérification d’une équation
2. Équations du type ax + b = c
3. Équations du type ax + b = cx + d
4. Cas avec nombres relatifs négatifs

📖 1. Résolution et vérification d’une équation

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution d’une équation : La résolution d’une équation consiste à déterminer la valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie.
• Vérification d’une solution : La vérification d’une solution consiste à remplacer l’inconnue par la valeur trouvée et à contrôler que les deux côtés de l’égalité deviennent identiques.

📝 Points essentiels

• Une solution d’une équation est une valeur de l’inconnue qui rend la phrase d’égalité vraie avec les deux membres.
• Pour vérifier, on remplace x (l’inconnue) par la valeur proposée dans chaque membre de l’équation.
• Si les deux côtés donnent le même résultat numérique, la valeur testée est bien la solution de l’équation.

💡 Astuce mémo

Solution = égalité vraie ; vérification = substitution et égalité conservée.

📖 2. Équations du type ax + b = c

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation ax + b = c : Une équation de type ax + b = c cherche la valeur de x qui rend l’expression avec a et b égale au nombre c.

📝 Points essentiels

• Exemple : 3 + 2x = 15 donne 2x = 12 puis x = 6, donc la solution est 6.
• Vérification de 6 : 3 + 2×6 = 15, ce qui confirme l’égalité 3 + 2x = 15.
• Exemple avec signes négatifs : −2 + 3x = 13 donne 3x = 15 puis x = 5, donc la solution est 5.

📖 3. Équations du type ax + b = cx + d

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation ax + b = cx + d : Une équation de type ax + b = cx + d comporte x dans les deux membres et se résout en rassemblant les termes en x d’un même côté.

📝 Points essentiels

• Exemple : 3 + 7x = 5x + 15 donne 7x = 5x + 12 puis 2x = 12 et x = 6.
• Vérification de 6 : 3 + 7×6 = 45 et 5×6 + 15 = 45, donc 6 est bien solution.
• Exemple avec nombres relatifs négatifs : −2 − 3x = −5x − 13 donne 2x = −11 puis x = −5,5.

💡 Astuce mémo

Quand x est des deux côtés : regroupe les x ensemble, puis résous la dernière égalité sur x.

📖 4. Cas avec nombres relatifs négatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres relatifs négatifs : Les nombres relatifs négatifs portent un signe « − » et affectent directement le calcul quand ils sont dans les expressions contenant x.
• Solution décimale avec relatifs négatifs : Une équation avec nombres relatifs négatifs peut conduire à une solution non entière, comme un nombre décimal.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple −6x + 4 = −20, on obtient −6x = −24 puis x = 4.
• Dans l’exemple −2 − 3x = −5x − 13, la solution finale est −5,5 après avoir isolé x.
• La vérification avec x négatif consiste à recalculer soigneusement les produits comme −3×(−5,5) et −5×(−5,5).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la résolution et la vérification : la vérification se fait en remplaçant x, pas en refaisant uniquement les transformations.
2. Se tromper de signe lors de la mise en équation, par exemple en oubliant qu’un terme « −3x » change de signe quand il est déplacé.
3. Multiplier par un nombre négatif sans appliquer correctement le signe du produit, ce qui fausse la valeur de x.
4. Croire qu’une solution doit être entière alors que l’exemple donne x = −5,5.
5. Valider une valeur en ne vérifiant que sur un seul membre au lieu de contrôler les deux côtés.
6. Oublier le dernier calcul numérique après l’isolement de x, par exemple conclure x = 6 sans refaire l’égalité finale.

✅ Checklist Examen

1. Définir ce qu’est une solution d’une équation : valeur de l’inconnue rendant l’égalité vraie.
2. Expliquer comment vérifier une solution : substitution de x par la valeur proposée dans chaque membre.
3. Résoudre correctement une équation de la forme ax + b = c en isolant le terme en x puis en calculant x.
4. Vérifier une solution trouvée pour une équation ax + b = c en calculant les deux côtés.
5. Résoudre 3 + 2x = 15 et conclure que la solution est 6.
6. Résoudre −2 + 3x = 13 et conclure que la solution est 5.
7. Résoudre une équation de la forme ax + b = cx + d en regroupant les termes en x du même côté.
8. Vérifier 3 + 7x = 5x + 15 avec x = 6 en montrant que les deux membres valent 45.
9. Résoudre −2 − 3x = −5x − 13 et conclure que la solution est −5,5.
10. Résoudre −6x + 4 = −20 et conclure que la solution est 4.
11. Réaliser correctement les produits impliquant des nombres relatifs négatifs lors de la vérification (par ex. produit de deux négatifs).