Lernzettel: Séries entières : convergence et rayon

📋 Plan du Cours

1. Définition et notation des séries entières
2. Domaine de convergence
3. Lemme d’Abel
4. Rayon de convergence
5. Convergence selon la valeur de x

📖 1. Définition et notation des séries entières

🔑 Notions clés & Définitions

• Série entière : Une série entière est une série de fonctions $f_n$ telles que chaque $f_n$ s’écrive sous la forme $f_n(x)=a_nx^n$ sur $K=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
• Coefficients d’une série entière : Les coefficients $a_n$ sont les nombres complexes qui apparaissent dans l’écriture $\sum_{n\ge0} a_nx^n$ d’une série entière.
• Notation $\sum a_nx^n$ : La notation $\sum_{n\ge0}a_nx^n$ sert en pratique à écrire la série de fonctions comme si l’on considérait directement la valeur en $x$.

📝 Points essentiels

• Si $x\in K$, on associe à la série de fonctions $\sum f_n$ la série numérique $\sum_{n\ge0} a_nx^n$.
• Dans cette fiche, $K$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
• Quand on manipule la série, on note souvent $\sum_{n\ge0} a_nx^n$ sans distinguer explicitement $f_n$ de sa valeur en $x$.

📖 2. Domaine de convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine de convergence : Le domaine de convergence d’une série entière est l’ensemble des $x\in K$ pour lesquels la série $\sum_{n\ge0}a_nx^n$ converge.
• Somme de la série entière : La somme d’une série entière est la fonction qui associe à chaque $x$ de son domaine la valeur $\sum_{n\ge0}a_nx^n$.

📝 Points essentiels

• Le domaine de convergence est noté $D$ et la somme définit une fonction $D\to\mathbb{C}$ donnée par $x\mapsto\sum_{n\ge0}a_nx^n$.
• Une série entière peut avoir un domaine de convergence égal à $\mathbb{C}$ lorsque ses coefficients deviennent nuls à partir d’un certain rang.
• La série $\sum_{n\ge0} z^n/n!$ a pour domaine de convergence $\mathbb{C}$ et sa somme est la fonction exponentielle complexe.
• La série $\sum_{n\ge0} x^n$ (avec $x\in\mathbb{R}$) converge sur $]-1,1[$ et sa somme vaut $u(x)=\frac{1}{1-x}$.

📖 3. Lemme d’Abel

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite $(a_n)_{n\ge0}$ : Le lemme d’Abel considère une suite de nombres complexes $(a_n)_{n\ge0}$ et étudie la convergence des séries $\sum a_n z^n$.
• Convergence absolue : Une série $\sum b_n$ converge absolument lorsque la série des valeurs absolues $\sum |b_n|$ converge.

📝 Points essentiels

• Si la suite $\left(\sum_{n\ge0} a_n z_0^n\right)$ est bornée en tant que suite de sommes partielles et si $z_0\in\mathbb{C}$, alors pour tout $z$ tel que $|z|<|z_0|$ la série $\sum_{n\ge0}a_nz^n$ est absolument convergente.
• Le critère compare directement $|z|$ à $|z_0|$ pour conclure sur la convergence lorsque la série au point $z_0$ a un comportement borné des sommes partielles.

📖 4. Rayon de convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Rayon de convergence : Le rayon de convergence $R$ d’une série entière est la borne supérieure des $r\ge0$ pour lesquels la suite $(a_nr^n)_{n\ge0}$ reste bornée.
• Suite $(a_nr^n)_{n\ge0}$ : Pour déterminer $R$, on étudie la suite $a_nr^n$ pour les valeurs positives $r$ possibles.

📝 Points essentiels

• Par définition, $R=\sup\{r\ge0\mid (a_nr^n)_{n\ge0}\text{ est bornée}\}$.
• Le rayon de convergence de $\sum_{n\ge0} x^n$ vaut $+\infty$.
• Le rayon de convergence de $\sum_{n\ge0} n!x^n$ vaut $0$.
• Pour deux séries entières $\sum a_nx^n$ et $\sum a_nx^{n-1}$, leurs rayons de convergence sont identiques à celui de $\sum a_nx^{n-1}$.

📖 5. Convergence selon la valeur de x

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle de convergence : Pour une série entière de rayon $R$, l’ensemble où la convergence est assurée en norme correspond aux valeurs de $x$ vérifiant $|x|<R$, ce qui forme un intervalle ouvert autour de 0.
• Convergence au bord : Au point où $|x|=R$, une série entière peut à la fois converger ou diverger selon la nature des coefficients.

📝 Points essentiels

• Si la série entière a un rayon $R\in]0,+\infty[$, alors pour tout $x\in K$ avec $|x|<R$ la série $\sum a_nx^n$ converge absolument.
• Si $|x|>R$, alors la série $\sum a_nx^n$ diverge grossièrement.
• Si $|x|=R$, alors la série peut diverger ou converger selon le cas.
• L’ensemble des valeurs pour lesquelles la convergence a la forme $]-R,R[$ est donné par les conditions $|x|<R$ et $|x|< -(-R)$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre domaine de convergence $D$ (ensemble des $x$) avec rayon de convergence $R$ (un nombre $\ge0$) alors que $D$ se décrit ensuite via $|x|<R$.
2. Croire que la convergence au bord $|x|=R$ est toujours vraie ou toujours fausse : le cours indique que cela dépend du cas.
3. Penser que $R=0$ signifie convergence pour $x=0$ : le contenu fourni ne précise pas le comportement en $x=0$, seulement le rayon.
4. Inverser les conditions du rayon : $|x|<R$ donne convergence absolue, tandis que $|x|>R$ donne divergence grossière.
5. Utiliser la borne de $|z|$ du lemme d’Abel sans vérifier la condition liée à $z_0$ et à la bornitude des sommes partielles.

✅ Checklist Examen

1. Énoncer la définition d’une série entière $\sum_{n\ge0}a_nx^n$ et la signification des coefficients $a_n$.
2. Dire comment on associe à une série de fonctions la série numérique $\sum_{n\ge0}a_nx^n$ pour chaque $x\in K$.
3. Définir le domaine de convergence comme l’ensemble des $x$ pour lesquels la série converge et préciser que la somme définit une fonction sur ce domaine.
4. Donner un exemple de série entière de domaine $\mathbb{C}$ et un exemple de série entière de domaine $]-1,1[$ avec sa somme $\frac{1}{1-x}$.
5. Savoir énoncer le lemme d’Abel avec la condition $|z|<|z_0|$ et la conclusion de convergence absolue.
6. Définir le rayon de convergence $R$ comme supremum des $r$ pour lesquels $(a_nr^n)$ est bornée.
7. Calculer/reciter les rayons indiqués : $\sum x^n$ a $R=+\infty$ et $\sum n!x^n$ a $R=0$.
8. Énoncer le fait que les séries $\sum a_nx^n$ et $\sum a_nx^{n-1}$ ont le même rayon de convergence.
9. Pour une série de rayon $R>0$, décider le comportement pour $|x|<R$, pour $|x|>R$ et expliquer que le cas $|x|=R$ n’est pas tranché par une règle unique.
10. Être capable d’associer l’intervalle de convergence ouvert $]-R,R[$ aux conditions de convergence pour $|x|<R$.