Revision sheet: Titre : Guide des Tests Statistiques Essentiels

📋 Plan du Cours

1. Introduction aux tests statistiques et vocabulaire associé
2. Tests de conformité : principes et généralités
3. Tests sur l'espérance d'une loi : cas de variance connue et inconnue, loi normale et non normale
4. Tests sur les quantiles d'une loi, incluant la médiane
5. Tests d'adéquation : généralités et test du χ2 pour lois discrètes
6. Test de Kolmogorov-Smirnov pour l'adéquation à une loi continue à densité
7. Autres tests d'adéquation spécifiques aux lois normales
8. Tests d'homogénéité : test du χ2 asymptotique pour comparer deux lois discrètes
9. Tests non paramétriques basés sur les signes et rangs signés (test du signe, test de Wilcoxon)
10. Formalisation rigoureuse des tests statistiques : hypothèses, statistiques de test, régions de rejet et p-valeurs
11. Utilisation pratique des tests statistiques avec Python : commandes et interprétation des résultats

📖 1. Introduction aux tests statistiques et vocabulaire associé

🔑 Notions clés & Définitions

• Tests de conformité : Définition Définition (Tests de conformité = Tests d’ajustement au(x) paramètre(s)) Le statisticien fixe une valeur de référence connue θref ∈ Θ, et une fonction connue g ∶ Θ → Rq, q ∈ N⋆ (rq : souvent q = p pr Θ ⊂ Rp , et g = IdRp ) Test bilatère : H0 ∶ g(θ)
• Alternative : Ttest−ind(a = u, b = v , equal−var
• 1−α(X ) (pour l’observation X : Méthode générale Exemple pour le test de H0 ∶ g(θ)

📝 Points essentiels

• Un test statistique consiste à décider entre H0 et H1 à partir d'une statistique calculée sur l'échantillon observé.
• Le niveau de signification α est la probabilité maximale d'erreur de type I, c'est-à-dire de rejeter H0 alors qu'elle est vraie.
• La puissance d'un test est la probabilité de rejeter H0 lorsque H1 est vraie, dépendant de la vraie valeur du paramètre.
• La statistique de test suit une loi connue sous H0, permettant de définir la région de rejet.
• Les tests sont formulés avec des hypothèses précises sur les paramètres ou la loi de la population.

💡 À retenir

Un test statistique consiste à décider entre H0 et H1 à partir d'une statistique calculée sur l'échantillon observé.

📖 2. Tests de conformité : principes et généralités

🔑 Notions clés & Définitions

• Tests de conformité : Définition Définition (Tests de conformité = Tests d’ajustement au(x) paramètre(s)) Le statisticien fixe une valeur de référence connue θref ∈ Θ, et une fonction connue g ∶ Θ → Rq, q ∈ N⋆ (rq : souvent q = p pr Θ ⊂ Rp , et g = IdRp ) Test bilatère : H0 ∶ g(θ)
• Test de Student : Un test statistique utilisé pour évaluer l'égalité de la moyenne d'une loi normale lorsque la variance est inconnue, reposant sur une statistique suivant une loi de Student sous l'hypothèse nulle.
• Cas d’une loi non-normale : La situation où la loi de l'échantillon n'est pas normale, nécessitant souvent l'utilisation de tests asymptotiques ou de tests spécifiques comme ceux de Mann-Whitney ou Wilcoxon.
• Approximation asymptotique : Une méthode qui utilise la limite de la distribution de la statistique de test lorsque la taille de l'échantillon tend vers l'infini, afin de définir la région de rejet ou la p-valeur.

📝 Points essentiels

• Les tests de conformité vérifient si un échantillon suit une loi ou un paramètre spécifique, en utilisant une statistique et une région de rejet basées sur la loi sous l'hypothèse nulle.
• Les tests unilatéraux testent une inégalité stricte, tandis que les tests bilatéraux testent une égalité contre une différence.
• La région de rejet est définie par des quantiles de la loi de la statistique sous l'hypothèse nulle.
• Les tests de conformité servent de base pour construire des tests spécifiques sur des paramètres tels que l'espérance, la variance ou les quantiles.
• Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Savoir formaliser votre test statistique (vous serez évalués sur la qualité de votre rédaction) ; Définir clairement l’hypothèse nulle H0 et l’hypothèse alternative H1 de votre test ; Définir précisément la statistique de test que vous allez utiliser : pour chaque test présenté dans ce Chapitre 2, vous devez connaître par coeur la définition de la statistique à utiliser, ainsi que sa loi (resp. sa loi limite) sous H0 pour un test exact (resp. un test asymptotique) ; Définir la forme de la région de rejet grâce à H1 ; Déterminer précisément la région de rejet à l’aide de quantiles (savoir les obtenir à l’aide de Python, savoir lire une table de quantiles) ; Définir précisément votre test statistique (avec une fonction indicatrice), et préciser si c’est un test exact/asymptotique, de niveau α/de taille α. 82/82

💡 À retenir

Les tests de conformité vérifient si un échantillon suit une loi ou un paramètre spécifique, en utilisant une statistique et une région de rejet basées sur la loi sous l'hypothèse nulle.

📖 3. Tests sur l'espérance d'une loi : cas de variance connue et inconnue, loi normale et non normale

🔑 Notions clés & Définitions

• Remarque : Dans le cas général où l’on veut tester l’égalité des espérances des lois de deux échantillons, sans supposer qu’elles sont normales, ni de même variance, on utilise le test asymptotique de Welch (la déf.
• Ex (suite) : Test de normalité de Shapiro-Wilk ↝ stats.shapiro(x=x) Ex (suite) : ShapiroResult(statistic=0.940060019493103, pvalue=0.5536814332008362) Test de normalité de Jarque-Bera : ↝ stats.jarque−bera(x=x) Ex : Jarque−beraResult(statistic=0.7453972536732684, pvalue=0.6888728093410997) Test de normalité d’Anderson-Darling ↝ stats.anderson(x=x) renvoie une statistique et les seuils associés resp.

📝 Points essentiels

• Les hypothèses sont formulées sur la moyenne μ avec des alternatives unilatérales ou bilatérales.
• La connaissance ou non de la variance détermine la loi de la statistique de test et donc la méthode d'évaluation.
• Test de Student asymptotique : test sur E d’une loi quelconque de Var inconnue 1.2.2.
• Tests sur la variance, cas N 2.4.

💡 À retenir

Les hypothèses sont formulées sur la moyenne μ avec des alternatives unilatérales ou bilatérales.

📖 4. Tests sur les quantiles d'une loi, incluant la médiane

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme quantile-quantile ( : Un outil graphique qui compare les quantiles d'une distribution empirique à ceux d'une distribution théorique afin d'évaluer visuellement l'adéquation de l'échantillon à une loi spécifique.

📝 Points essentiels

• Les tests sur quantiles vérifient si un quantile (ex : médiane) d'une loi correspond à une valeur donnée.
• L'estimateur empirique de la fonction de répartition est utilisé pour construire la statistique de test sur les quantiles.
• Les tests sur la médiane sont souvent non paramétriques et ne supposent pas la forme de la loi.
• Les hypothèses sont formulées sur la valeur du quantile d'ordre p, avec des alternatives unilatérales ou bilatérales.
• Ces tests sont utiles lorsque la moyenne n'est pas représentative ou lorsque la loi est inconnue.
• Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Savoir formaliser votre test statistique (vous serez évalués sur la qualité de votre rédaction) ; Définir clairement l’hypothèse nulle H0 et l’hypothèse alternative H1 de votre test ; Définir précisément la statistique de test que vous allez utiliser : pour chaque test présenté dans ce Chapitre 2, vous devez connaître par coeur la définition de la statistique à utiliser, ainsi que sa loi (resp. sa loi limite) sous H0 pour un test exact (resp. un test asymptotique) ; Définir la forme de la région de rejet grâce à H1 ; Déterminer précisément la région de rejet à l’aide de quantiles (savoir les obtenir à l’aide de Python, savoir lire une table de quantiles) ; Définir précisément votre test statistique (avec une fonction indicatrice), et préciser si c’est un test exact/asymptotique, de niveau α/de taille α. 82/82

💡 À retenir

Appréhender les tests dédiés aux quantiles, notamment la médiane, pour des analyses robustes hors paramétrie stricte.

📖 5. Tests d'adéquation : généralités et test du χ2 pour lois discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Test d'adéquation : Une procédure statistique visant à déterminer si un échantillon suit une loi de probabilité spécifiée en comparant la distribution observée aux caractéristiques théoriques de cette loi.
• Tests d’adéquation : Un ensemble de tests statistiques destinés à vérifier si un échantillon provient d’une loi de probabilité donnée, en utilisant différentes méthodes adaptées à la nature discrète ou continue de la loi.

📝 Points essentiels

• Le test d'adéquation vérifie si un échantillon suit une loi de référence donnée.
• Le test du χ2 d'adéquation est adapté aux lois discrètes avec un nombre fini de modalités.
• Sous H0, la statistique suit asymptotiquement une loi du χ2 avec degrés de liberté liés au nombre de modalités.
• Le test nécessite un effectif suffisant dans chaque modalité pour la validité de l'approximation.
• , vd }} ↝ une loi de probabilité P sur {v1, .

💡 À retenir

Comprendre comment évaluer la concordance d'un échantillon avec une loi discrète via le test du χ2.

📖 6. Test de Kolmogorov-Smirnov pour l'adéquation à une loi continue à densité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de répartition empirique : Une fonction en escalier qui, pour chaque valeur, donne la proportion d’observations inférieures ou égales à cette valeur dans un échantillon donné.
• Fref ∣∣∞ : 178 Sous H0, la loi de T (X ) ne dépend pas de Fref et est précisément KS(n), définie comme étant la loi (continue) de ∣∣̂G n − FU([0,1])∣∣∞ = sup t∈[0,1] ∣ 1 n n ∑ i

📝 Points essentiels

• La statistique est la distance maximale (supremum) entre ces deux fonctions.
• Le test est applicable pour tester l'adéquation à une loi continue à densité.
• La distribution de la statistique KS sous H0 est connue et tabulée (loi de Kolmogorov).
• Le test est non paramétrique et ne nécessite pas de regroupement des données.
• ,n) ( donc a fortiori les valeurs qKS(n) 1−α ↝ scipy.stats.kstwo.ppf(1-α,n) ) pas d’ex-aequo dans l’échantillon (si n est grand et qu’il y a des ex aequo, on peut modifier très légèrement les valeurs ex aequo de façon à ce qu’il n’y en ait plus, et l’on passe au test de Kolmogorov-Smirnov asymptotique, voir ci-dessous) Exemple (suite) : ● pr α = 0.05, qKS( Vocabulaire 2.

💡 À retenir

Savoir utiliser la distance maximale entre fonctions de répartition pour tester l'adéquation à une loi continue.

📖 7. Autres tests d'adéquation spécifiques aux lois normales

🔑 Notions clés & Définitions

• Test de normalité : 940060019493103, pvalue

📝 Points essentiels

• Le test de Shapiro-Wilk est un test puissant pour vérifier la normalité d'un échantillon, basé sur la statistique calculée à partir des rangs et des valeurs observées.
• Les tests de normalité évaluent si les données proviennent d'une loi normale, condition préalable à certains tests paramétriques.
• Des tests asymptotiques et basés sur les rangs complètent les méthodes classiques pour tester la normalité, notamment lorsque la loi n'est pas continue.
• Le rejet de la normalité conduit à privilégier des tests non paramétriques, car la normalité est une condition essentielle pour certains tests paramétriques.
• Autres tests d’adéquation à une loi N ??

💡 À retenir

Le test de Shapiro-Wilk est un test puissant pour vérifier la normalité d'un échantillon, basé sur la statistique calculée à partir des rangs et des valeurs observées.

📖 8. Tests d'homogénéité : test du χ2 asymptotique pour comparer deux lois discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Modèle statistique : Cadre mathématique définissant la distribution probabiliste d'observations, souvent caractérisé par des paramètres et utilisé pour formuler des hypothèses et tests statistiques.
• Test de Wilcoxon des rangs signés : Test non paramétrique qui compare deux échantillons appariés en utilisant les rangs des différences entre paires, afin de détecter une différence de médiane sans supposer de distribution spécifique.
• Test d'homogénéité : Test statistique asymptotique qui vérifie si deux échantillons discrets proviennent de la même loi en comparant les fréquences observées dans chaque modalité à l'aide d'une statistique basée sur la somme des carrés des écarts, généralisant le test du χ2 d'adéquation.

📝 Points essentiels

• Ce test est asymptotique et nécessite des effectifs suffisants dans chaque modalité pour que la distribution de la statistique suive une loi du χ2.
• Il constitue une généralisation du test du χ2 d'adéquation, appliqué à la comparaison entre deux populations.
• ⊗̃ Pn ∈ F0 l’ensemble des̃ P1 ⊗ .

💡 À retenir

Ce test est asymptotique et nécessite des effectifs suffisants dans chaque modalité pour que la distribution de la statistique suive une loi du χ2.

📖 9. Tests non paramétriques basés sur les signes et rangs signés (test du signe, test de Wilcoxon)

🔑 Notions clés & Définitions

• Test du signe : Un exemple de situation concrète où l’appliquer On veut tester l’efficacité d’un nouveau traitement contre les migraines.

📝 Points essentiels

• Le test du signe est un test non paramétrique basé sur le signe des différences par rapport à une valeur de référence.
• Ils sont utilisés pour tester des hypothèses sur la médiane ou la position centrale.

💡 À retenir

Le test du signe est un test non paramétrique basé sur le signe des différences par rapport à une valeur de référence.

📖 10. Formalisation rigoureuse des tests statistiques : hypothèses, statistiques de test, régions de rejet et p-valeurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique de test : Ttest−ind(a = u, b = v , equal−var=False, alternative

📝 Points essentiels

• La région de rejet est un sous-ensemble de l'espace des observations où H0 est rejetée au niveau α.
• La p-valeur est la probabilité, sous H0, d'observer une statistique aussi extrême que celle observée.
• La décision du test se base sur la comparaison de la statistique à la région de rejet ou de la p-valeur au niveau α.
• Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Conclusion : Que faire face à un exercice-type ? Lire attentivement la situation présentée ; Justifier le choix d’un type de tests plutôt qu’un autre (parmi ceux étudiés dans ce cours bien sûr) pour répondre à la problématique ; Formaliser votre test statistique ↝ détails diapo suivante ; Déterminer si vous conservez ou rejetez l’hypothèse nulle à un niveau α à partir des données fournies par l’énoncé ; Déterminer la p-valeur et évaluer l’adéquation de l’hypothèse nulle avec les données fournies par l’énoncé ; Conclure par rapport à la problématique initiale de l’énoncé. Connaître les commandes Python à utiliser pour les différents tests, et savoir interpréter les résultats donnés, en particulier la p-valeur. 81/82 1. Introduction : Exemple &
• Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 3.4. Autres tests d’adéquation à une loi N 3.1.1. Approche empirique 3.1.2. Diagramme quantile-quantile Tests d’adéquation à une (des) loi(s) Problématique : on dispose de données, d’une série de valeurs numériques, et l’on voudrait déterminer de quelle famille de lois de probabilités cet échantillon pourrait provenir. ↝ Approche empirique (voir le Chapitre 1, partie Statistiques descriptives) Avoir en tête les questions suivantes et procéder par élimination : Support de la loi ? discret ? à support fini ? ↝ lois uniformes discrètes, binomiales (dont Bernoulli), hypergéométrique, . . . à support "infini" ? ↝ lois de Poisson, géométrique, . . . "continu" ? compact ? ↝ lois uniformes continues, Bêta, . . . R+ ? ↝ lois exponentielles, gamma, χ2, de Fisher-Snedecor, . . . R ? ↝ lois normales, de Cauchy, de Student, . . . 28/82 1. Introduction : Exemple &

💡 À retenir

Maîtriser la structure formelle et rigoureuse qui sous-tend toute procédure de test statistique.

📖 11. Utilisation pratique des tests statistiques avec Python : commandes et interprétation des résultats

🔑 Notions clés & Définitions

• Mode : Wilcoxon(x=u, y
• Use−continuity : L'option use-continuity dans certains tests statistiques, telle que le test de Mann-Whitney, applique une correction de continuité pour améliorer l'approximation asymptotique, notamment lorsque la taille de l'échantillon est petite.

📝 Points essentiels

• Les tests statistiques en Python sont implémentés via scipy.stats avec des fonctions dédiées.
• La commande mannwhitneyu permet de réaliser un test de Mann-Whitney avec choix de méthode asymptotique ou exacte.
• La commande stats.shapiro réalise le test de Shapiro-Wilk pour la normalité.
• L'interprétation des résultats repose sur la p-valeur et le choix de l'hypothèse alternative (two-sided, less, greater).
• La sortie des fonctions inclut la statistique de test et la p-valeur, essentiels pour la décision.
• Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? En pratique : Vérifier qu’il n’y a pas d’ex aequo, et comme n est petit, s’il y en a, passer au test du signe (si n était grand, on modifierait très légèrement les valeurs ex aequo de façon à ce qu’il n’y ait plus d’ex aequo, et l’on passerait au test de Wilcoxon asymptotique) ; Admettre l’hypothèse de symétrie (on peut quand même préalablement vérifier que cela n’est pas complètement absurde, graphiquement à l’aide d’un histogramme, ou numériquement à l’aide d’un "skewness empirique" (HP)) ; Commandes Python : pour u = (u1, . . . , un) et v = (v1, . . . , vp ), scipy.stats.wilcoxon(x=u − v , alternative="two-sided") scipy.stats.wilcoxon(x=u − v , alternative="greater") scipy.stats.wilcoxon(x=u − v , alternative="less") Remarque : si l’on a accès aux valeurs ui , vi et pas uniquement aux valeurs ui − vi , on peut utiliser la commande scipy.stats.wilcoxon(x=u, y=v , alternative=...)64/82 1. Introduction : Exemple &
• Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les quantiles 2.2.1. de variance connue, cas loi N 2.2.2. de variance connue, cas loi qq 2.2.3. de variance inconnue, cas loi N 2.2.4. de variance inconnue, cas loi qq En pratique, on utilisera cette approximation dès que n > 30 ; Commandes Python : scipy.stats.ttest−1samp(a = x, popmean = μ0 ref , alternative="two-sided") scipy.stats.ttest−1samp(a = x, popmean = μ0 ref , alternative="greater") scipy.stats.ttest−1samp(a = x, popmean = μ0 ref , alternative="less") 15/82 1. Introduction : Exemple &

💡 À retenir

Savoir appliquer et interpréter les tests statistiques courants en Python permet une analyse pratique et fiable, en utilisant notamment scipy.stats avec ses fonctions spécifiques pour chaque test.

🧩 Compléments de couverture

1. Détail source à réviser : 31/03/26 - Dernière MàJ de ce doc : 16/03/26 MESIFI360125 Statistiques Année 3 Semestre 6 Chapitre 2 : Tests statistiques Partie II : Botanique de Tests Laetitia DELLA MAESTRA Enseignant-chercheur en Mathématiques laetit (Source: "31/03/26 - Dernière MàJ de ce doc : 16/03/26 MESIFI360125 Statistiques Année 3 Semestre 6 Chapitre 2 : Tests statistiques Partie II : Botanique de Tests Laetitia DELLA MAESTRA Enseignant-chercheur en Mathématiques [email protected] - Bureau L404 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests")
2. Détail source à réviser : 2.1 Généralités 2.2 Tests sur l’espérance d’une loi 2.3 Tests sur la variance d’une loi Normale 2.4 Tests sur les quantiles 3. 3. Tests d’adéquation 3.1 Généralités 3.2 Test du χ2 d’adéquation à une loi discrète 3.3 Test (Source: "2.1 Généralités 2.2 Tests sur l’espérance d’une loi 2.3 Tests sur la variance d’une loi Normale 2.4 Tests sur les quantiles 3. 3. Tests d’adéquation 3.1 Généralités 3.2 Test du χ2 d’adéquation à une loi discrète 3.3 Test de Kolmogorov-Smirnov d’adéquation à une loi continue à densité 3.4 Autres tests d’adéquation à une loi normale 4. Tests")
3. Détail source à réviser : sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les quantiles 2.1.1. Définition 2.1.2. Méthode générale 2.1.2. Tests de conformité : Méthode générale Point méthode Utiliser la méthode vue dans l’exemple d’introduction ; Utiliser l (Source: "sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les quantiles 2.1.1. Définition 2.1.2. Méthode générale 2.1.2. Tests de conformité : Méthode générale Point méthode Utiliser la méthode vue dans l’exemple d’introduction ; Utiliser la dualité test statistique/intervalle de confiance (cf. Chapitre 1 pour la construction d’IC et d’estimateurs par la méthode des moments")
4. Détail source à réviser : d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les quantiles 2.2.1. de variance connue, cas loi N 2.2.2. de variance connue, cas loi qq Table des matières 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de c (Source: "d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les quantiles 2.2.1. de variance connue, cas loi N 2.2.2. de variance connue, cas loi qq Table des matières 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 2.1 Généralités 2.2 Tests sur l’espérance d’une loi 2.3 Tests sur la variance d’une loi Normale 2.4 Tests sur les quantiles")
5. Détail source à réviser : }) ; Statistique de test T (X ) ∶= √n 1 n n ∑ i=1 Xi −μ0 ref σ ↝ d’après le Théorème Fondamental des Lois Normales (cf. Chap. 0) sous H0, T (X ) ∼ N (0, 1) 9/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conform (Source: "}) ; Statistique de test T (X ) ∶= √n 1 n n ∑ i=1 Xi −μ0 ref σ ↝ d’après le Théorème Fondamental des Lois Normales (cf. Chap. 0) sous H0, T (X ) ∼ N (0, 1) 9/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N")
6. Détail source à réviser : 10/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les (Source: "10/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les quantiles 2.2.1. de variance connue, cas loi N 2.2.2. de variance connue, cas loi qq 2.2.3. de variance inconnue, cas loi N 2.2.4. de")
7. Détail source à réviser : l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les quantiles 2.2.1. de variance connue, cas loi N 2.2.2. de variance connue, cas loi qq 2.2.3. de variance inconnue, cas loi N 2.2.4. de variance in (Source: "l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les quantiles 2.2.1. de variance connue, cas loi N 2.2.2. de variance connue, cas loi qq 2.2.3. de variance inconnue, cas loi N 2.2.4. de variance inconnue, cas loi qq 1.1.2. Cas d’une loi non-normale (suite) : Statistique de test T (X ) ∶= √n 1 n n ∑ i=1 Xi −μ0 ref σ ↝ d’après le")
8. Détail source à réviser : 2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les quantiles 2.2.1. de variance connue, cas loi N 2.2.2. de variance connue, cas loi qq 2.2.3. de variance inconnue, (Source: "2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les quantiles 2.2.1. de variance connue, cas loi N 2.2.2. de variance connue, cas loi qq 2.2.3. de variance inconnue, cas loi N 2.2.4. de variance inconnue, cas loi qq 2.2.3. Test de Student : test sur l’espérance d’une loi normale de variance")
9. Détail source à réviser : qq Test de Student de taille α ∈]0, 1[ de H0 ∶ μ = μ0 ref contre H1 ∶ μ ≠ μ0 ref (autrement dit H1 ∶ N (μ, σ2)⊗n ∈ F± 1 où F± 1 ∶= {N (μ, σ2)⊗n ; μ ≠ μ0 ref }) : φ± α(X ) ∶= 1∣T (X )∣>qt(n−1) 1− α 2 et π(x ) = Pμ0 ref (∣ (Source: "qq Test de Student de taille α ∈]0, 1[ de H0 ∶ μ = μ0 ref contre H1 ∶ μ ≠ μ0 ref (autrement dit H1 ∶ N (μ, σ2)⊗n ∈ F± 1 où F± 1 ∶= {N (μ, σ2)⊗n ; μ ≠ μ0 ref }) : φ± α(X ) ∶= 1∣T (X )∣>qt(n−1) 1− α 2 et π(x ) = Pμ0 ref (∣T (X )∣ ≥ ∣T (x )∣) H1 ∶ μ > μ0 ref (autrement dit H1 ∶ N (μ, σ2)⊗n ∈ F+ 1 où F+ 1 ∶= {N (μ, σ2)⊗n ; μ > μ0 ref }) : φ+ α(X ) ∶= 1T (X")
10. Détail source à réviser : = x, popmean = μ0 ref , alternative="greater") scipy.stats.ttest−1samp(a = x, popmean = μ0 ref , alternative="less") 15/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’h (Source: "= x, popmean = μ0 ref , alternative="greater") scipy.stats.ttest−1samp(a = x, popmean = μ0 ref , alternative="less") 15/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests sur")
11. Détail source à réviser : connue, cas loi qq 2.2.3. de variance inconnue, cas loi N 2.2.4. de variance inconnue, cas loi qq Statistique de test T (X ) ∶= √n 1 n n ∑ i=1 Xi −μ0 ref √ 1 n−1 n ∑ i=1 (Xi −X n)2 d’après le Théorème Fondamental des Loi (Source: "connue, cas loi qq 2.2.3. de variance inconnue, cas loi N 2.2.4. de variance inconnue, cas loi qq Statistique de test T (X ) ∶= √n 1 n n ∑ i=1 Xi −μ0 ref √ 1 n−1 n ∑ i=1 (Xi −X n)2 d’après le Théorème Fondamental des Lois Normales, le Théorème Central-Limite & le Lemme de Slutsky, sous H0, T (X ) L → n→+∞ t(n − 1) Test asymptotique de Student de")
12. Détail source à réviser : connue, cas loi N 2.2.2. de variance connue, cas loi qq 2.2.3. de variance inconnue, cas loi N 2.2.4. de variance inconnue, cas loi qq Remarque : S’il s’agit d’une famille de lois {Pμ}μ usuelle, on peut essayer de constr (Source: "connue, cas loi N 2.2.2. de variance connue, cas loi qq 2.2.3. de variance inconnue, cas loi N 2.2.4. de variance inconnue, cas loi qq Remarque : S’il s’agit d’une famille de lois {Pμ}μ usuelle, on peut essayer de construire des tests statistiques de niveau α directement en utilisant les propriétés de cette famille de lois et ses quantiles ; pour")
13. Détail source à réviser : Tests sur l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les quantiles 2.3.1. d’espérance connue 2.3.2. d’espérance inconnue 2.3. Test sur la variance d’une loi NORMALE... 2.3.1. ... d’espérance c (Source: "Tests sur l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les quantiles 2.3.1. d’espérance connue 2.3.2. d’espérance inconnue 2.3. Test sur la variance d’une loi NORMALE... 2.3.1. ... d’espérance connue Modèle statistique : (E , E) ∶= (Rn, B(Rn)), F = {N (μ, σ2)⊗n; σ ∈ R⋆ +}, μ ∈ R connu ; Observation X = (X1, . . . , Xn) de loi N")
14. Détail source à réviser : (puisque son support est R+ !) ; H1 ∶ σ > σ(0) ref (autrement dit H1 ∶ N (μ, σ2)⊗n ∈ F+ 1 où F+ 1 ∶= {N (μ, σ2)⊗n ; σ > σ(0) ref }) : φ+ α(X ) ∶= 1T (X )>qχ2(n) 1−α et π(x ) = Pσ(0) ref (T (X ) ≥ T (x )) ; H1 ∶ σ < σ0 re (Source: "(puisque son support est R+ !) ; H1 ∶ σ > σ(0) ref (autrement dit H1 ∶ N (μ, σ2)⊗n ∈ F+ 1 où F+ 1 ∶= {N (μ, σ2)⊗n ; σ > σ(0) ref }) : φ+ α(X ) ∶= 1T (X )>qχ2(n) 1−α et π(x ) = Pσ(0) ref (T (X ) ≥ T (x )) ; H1 ∶ σ < σ0 ref (autrement dit H1 ∶ N (μ, σ2)⊗n ∈ F− 1 où F− 1 ∶= {N (μ, σ2)⊗n ; σ < σ(0) ref }) : φ− α(X ) ∶= 1T (X )<qχ2(n) α et π(x ) = Pσ(0) ref (T")
15. Détail source à réviser : ensemble F0 est le singleton {N (μ, (σ(0) ref )2)⊗n } ) ; Statistique de test T (X ) ∶= n ∑ i=1 ( Xi −X n σ(0) ref )2 ↝ d’après le Théorème Fondamental des Lois Normales (cf. Chap. 0) sous H0, T (X ) ∼ χ2(n − 1)22/82 1. (Source: "ensemble F0 est le singleton {N (μ, (σ(0) ref )2)⊗n } ) ; Statistique de test T (X ) ∶= n ∑ i=1 ( Xi −X n σ(0) ref )2 ↝ d’après le Théorème Fondamental des Lois Normales (cf. Chap. 0) sous H0, T (X ) ∼ χ2(n − 1)22/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur")
16. Détail source à réviser : σ(1) ref ∈ R, telle que σ(1) ref > σ(0) ref (resp. σ(1) ref < σ(0) ref )) 23/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur (Source: "σ(1) ref ∈ R, telle que σ(1) ref > σ(0) ref (resp. σ(1) ref < σ(0) ref )) 23/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les quantiles Tests d’adéquation ?? Table des matières 1.")
17. Détail source à réviser : H1 ∶ qP γ < c : ↝ stats.quantile−test(x, c, γ, alternative="greater") Rq : pr γ = 0.5 et c = 0, H0 devient "la médiane de la loi P est nulle".25/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests (Source: "H1 ∶ qP γ < c : ↝ stats.quantile−test(x, c, γ, alternative="greater") Rq : pr γ = 0.5 et c = 0, H0 devient "la médiane de la loi P est nulle".25/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests")
18. Détail source à réviser : potentielle de lois : si c’est une famille de lois discrètes : estimer la fonction de masse ; faire un test d’adéquation du χ2 ; si c’est une famille de lois continues à densité : méthode générale : estimer les paramètre (Source: "potentielle de lois : si c’est une famille de lois discrètes : estimer la fonction de masse ; faire un test d’adéquation du χ2 ; si c’est une famille de lois continues à densité : méthode générale : estimer les paramètres de la loi tracer un diagramme quantile-quantile (Q-Q plot) faire un test d’adéquation à une loi de Kolmogorov-Smirnov (KS) pour les")
19. Détail source à réviser : Diagramme quantile-quantile Exemple : on sait que si ∀n ∈ N⋆, Zn ∼ t(n), alors Zn L → n→+∞ N (0, 1), comparons donc les lois t(n) et N (0, 1) : 31/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Test (Source: "Diagramme quantile-quantile Exemple : on sait que si ∀n ∈ N⋆, Zn ∼ t(n), alors Zn L → n→+∞ N (0, 1), comparons donc les lois t(n) et N (0, 1) : 31/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 3.4. Autres tests d’adéquation à")
20. Détail source à réviser : de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 3.4. Autres tests d’adéquation à une loi N 3.1.1. Approche empirique 3.1.2. Diagramme quantile-q (Source: "de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 3.4. Autres tests d’adéquation à une loi N 3.1.1. Approche empirique 3.1.2. Diagramme quantile-quantile comparaison des lois de deux échantillons : soit ● x = (x1, . . . , xn) une réalisation d’une observation X = (X1, . . . , Xn)")
21. Détail source à réviser : 2. Tests de conformité 2.1 Généralités 2.2 Tests sur l’espérance d’une loi 2.3 Tests sur la variance d’une loi Normale 2.4 Tests sur les quantiles 3. 3. Tests d’adéquation 3.1 Généralités 3.2 Test du χ2 d’adéquation à un (Source: "2. Tests de conformité 2.1 Généralités 2.2 Tests sur l’espérance d’une loi 2.3 Tests sur la variance d’une loi Normale 2.4 Tests sur les quantiles 3. 3. Tests d’adéquation 3.1 Généralités 3.2 Test du χ2 d’adéquation à une loi discrète 3.3 Test de Kolmogorov-Smirnov d’adéquation à une loi continue à densité 3.4 Autres tests d’adéquation à une loi normale")
22. Détail source à réviser : est le singleton {(Pref )⊗n } ) ; 37/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 3.4. Au (Source: "est le singleton {(Pref )⊗n } ) ; 37/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 3.4. Autres tests d’adéquation à une loi N ?? ?? Statistique du test du χ2 : T (X ) = D2 n (̂Pn, Pref ) ∶= n d ∑ i=1 (̂pi,n − pref i )2")
23. Détail source à réviser : d’une loi Normale 2.4 Tests sur les quantiles 3. 3. Tests d’adéquation 3.1 Généralités 3.2 Test du χ2 d’adéquation à une loi discrète 3.3 Test de Kolmogorov-Smirnov d’adéquation à une loi continue à densité 3.4 Autres te (Source: "d’une loi Normale 2.4 Tests sur les quantiles 3. 3. Tests d’adéquation 3.1 Généralités 3.2 Test du χ2 d’adéquation à une loi discrète 3.3 Test de Kolmogorov-Smirnov d’adéquation à une loi continue à densité 3.4 Autres tests d’adéquation à une loi normale 4. Tests d’homogénéité 40/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3.")
24. Détail source à réviser : conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 3.4. Autres tests d’adéquation à une loi N ?? ?? Statistique du test de Kolmogorov-Smirnov : T (X ) (Source: "conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 3.4. Autres tests d’adéquation à une loi N ?? ?? Statistique du test de Kolmogorov-Smirnov : T (X ) ∶= ∣∣̂Fn − Fref ∣∣∞ = sup v ∈R ∣̂Fn(v ) − Fref (v )∣ où̂ Fn est la fonction de répartition empirique (f.d.r.) empirique associée à")
25. Détail source à réviser : Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 3.4. Autres tests d’adéquation à une loi N ?? ?? Exemple (suite) : ici (x(1), . . . , x(10 (Source: "Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 3.4. Autres tests d’adéquation à une loi N ?? ?? Exemple (suite) : ici (x(1), . . . , x(10)) = (-0.66 0.19 1.78 2.13 3.13 3.18 3.41 3.62 4.47 5.02) 44/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests")
26. Détail source à réviser : : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 3.4. Autres tests d’adéquation à une loi N ?? ?? Application pr (Source: ": Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 3.4. Autres tests d’adéquation à une loi N ?? ?? Application pratique : la loi de Kolmogorov-Smirnov KS(n) est tabulée en Python ↝ scipy.stats.kstwo.*(. ,n) ( donc a fortiori les valeurs qKS(n)")
27. Détail source à réviser : X , law la loi de référence, et args les paramètres de cette loi de référence. Exemple (suite) : la commande scipy.stats.kstest(x, "norm", (3, numpy.sqrt(4))) renvoie : KstestResult(statistic=0.17828047817798076, pvalue= (Source: "X , law la loi de référence, et args les paramètres de cette loi de référence. Exemple (suite) : la commande scipy.stats.kstest(x, "norm", (3, numpy.sqrt(4))) renvoie : KstestResult(statistic=0.17828047817798076, pvalue=0.8550367627573159) rappel : nous avions trouvé T (x) ≃ 0.178 et π(x) ≃ 0.855 Remarque : si n est grand, on pourra aussi")
28. Détail source à réviser : modèles statistiques (régressions linéaires, séries temporelles,. . .), on travaille sous des hypothèses de normalité, il est donc essentiel de pouvoir tester cette hypothèse de normalité. On s’intéressera ici uniquement (Source: "modèles statistiques (régressions linéaires, séries temporelles,. . .), on travaille sous des hypothèses de normalité, il est donc essentiel de pouvoir tester cette hypothèse de normalité. On s’intéressera ici uniquement aux commandes Python de ces tests. Modèle statistique : E = Rn, E = B(Rn), F = {P ⊗n F ; F f.d.r. continue, à densité, sur R}, où l’on")
29. Détail source à réviser : de normalité de Jarque-Bera : ↝ stats.jarque−bera(x=x) Ex : Jarque−beraResult(statistic=0.7453972536732684, pvalue=0.6888728093410997) Test de normalité d’Anderson-Darling ↝ stats.anderson(x=x) renvoie une statistique et (Source: "de normalité de Jarque-Bera : ↝ stats.jarque−bera(x=x) Ex : Jarque−beraResult(statistic=0.7453972536732684, pvalue=0.6888728093410997) Test de normalité d’Anderson-Darling ↝ stats.anderson(x=x) renvoie une statistique et les seuils associés resp. aux niveaux de confiance α = 15%, 10%, 5%, 2.5%, 1% (si la statistique est inférieure au premier seuil, on")
30. Détail source à réviser : ou du moins se "comportent de la même manière". Approche empirique : reprendre les étapes présentées pour les tests d’adéquation, mais cette fois-ci en comparant les résultats numériques/graphiques (↝ qqplot) obtenus pou (Source: "ou du moins se "comportent de la même manière". Approche empirique : reprendre les étapes présentées pour les tests d’adéquation, mais cette fois-ci en comparant les résultats numériques/graphiques (↝ qqplot) obtenus pour les deux échantillons. Plusieurs sortes de tests : tests sur des comportements "moyens" tests globaux sur les lois 52/82 1.")
31. Détail source à réviser : différents 53/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? 1 Cas n = p : 1.1 Cas (U1, V1), . . . , (Un, Vn) indépendants : ↝ ce cas sera dit "de deu (Source: "différents 53/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? 1 Cas n = p : 1.1 Cas (U1, V1), . . . , (Un, Vn) indépendants : ↝ ce cas sera dit "de deux échantillons appariés" Remarque : on ne suppose pas du tout ici Ui et Vi indépendants Exemple dans le cas de l’entreprise pharmaceutique")
32. Détail source à réviser : Test du signe 1.1.2 Cas où l’on dispose d’une valeur chiffrée des Ui − Vi , i ∈ J1, nK (mais où l’on n’a pas forcément accès aux valeurs Ui , Vi ) Exemples dans le cas de l’entreprise pharmaceutique : ⋆ I1,i et I2,i sont (Source: "Test du signe 1.1.2 Cas où l’on dispose d’une valeur chiffrée des Ui − Vi , i ∈ J1, nK (mais où l’on n’a pas forcément accès aux valeurs Ui , Vi ) Exemples dans le cas de l’entreprise pharmaceutique : ⋆ I1,i et I2,i sont un seul et même patient, qui ne donne que l’efficacité relative des deux traitements reçus (avec T2 c’est un peu mieux, vraiment mieux,")
33. Détail source à réviser : où l’appliquer On veut tester l’efficacité d’un nouveau traitement contre les migraines. On dispose d’un échantillon de 18 personnes sujettes aux migraines à qui l’on fournit une quantité égale de pilules correspondant a (Source: "où l’appliquer On veut tester l’efficacité d’un nouveau traitement contre les migraines. On dispose d’un échantillon de 18 personnes sujettes aux migraines à qui l’on fournit une quantité égale de pilules correspondant au nouveau traitement (A) et de pilules d’aspirine standard (B). On demande à chaque patient, lorsqu’il a utilisé l’intégralité des")
34. Détail source à réviser : signe de Ui − Vi pour i ∈ J1, nK : E = {0, 1}n , E = P({0, 1}n), Observation X = (1 , . . . , 1 )58/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Sta (Source: "signe de Ui − Vi pour i ∈ J1, nK : E = {0, 1}n , E = P({0, 1}n), Observation X = (1 , . . . , 1 )58/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Statistique du test du signe T (X ) ∶= n ∑ i=1 Xi = n ∑ i=1 1Ui −Vi >0 ↝ sous H0, T (X ) est de loi B(n, 1 2 ) (symétrique par rapport à n 2")
35. Détail source à réviser : du meilleur film. Age H 40 57 44 52 39.2 77 48 36 39 Age F 39.5 55 41.5 49 39.5 84 79 30 23 Dans l’ordre : American Bluff (Christian Bale & Amy Adams) , Capitaine Phillips (Tom Hanks & Catherine Keener) , Dallas Buyers C (Source: "du meilleur film. Age H 40 57 44 52 39.2 77 48 36 39 Age F 39.5 55 41.5 49 39.5 84 79 30 23 Dans l’ordre : American Bluff (Christian Bale & Amy Adams) , Capitaine Phillips (Tom Hanks & Catherine Keener) , Dallas Buyers Club (Matthew McConaughey & Jennifer Garner) , Gravity (George Clooney & Sandra Bullock) , Her (Joaquin Phoenix & Amy Adams) , Nebraska")
36. Détail source à réviser : J1, nK,̃ Pi loi de probabilité continue sur R, et ∃m ∈ R tq ∀i ∈ J1, nK,̃ Pi de médiane m, symétrique par rapport à m ; H0 ∶̃ P1 ⊗ . . . ⊗̃ Pn ∈ F0 l’ensemble des̃ P1 ⊗ . . . ⊗̃ Pn ∈ F tel que lã61/82 1. Introduction : (Source: "J1, nK,̃ Pi loi de probabilité continue sur R, et ∃m ∈ R tq ∀i ∈ J1, nK,̃ Pi de médiane m, symétrique par rapport à m ; H0 ∶̃ P1 ⊗ . . . ⊗̃ Pn ∈ F0 l’ensemble des̃ P1 ⊗ . . . ⊗̃ Pn ∈ F tel que lã61/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Statistique du test de Wilcoxon des rangs")
37. Détail source à réviser : = 1∣W + n (X )− n(n+1) 4 ∣>qW(n) 1− α 2 − n(n+1) 4 et π(x ) = PH0 (∣W + n (X ) − n(n+1) 4 ∣ ≥ ∣W + n (x ) − n(n+1) 4 ∣) H+ 1 ∶ m > 0 (càd H+ 1 ∶̃ P1 ⊗ . . . ⊗̃ Pn ∈ F+ 1 l’ensemble des̃ P1 ⊗ . . . ⊗̃ Pn ∈ F tels que la m (Source: "= 1∣W + n (X )− n(n+1) 4 ∣>qW(n) 1− α 2 − n(n+1) 4 et π(x ) = PH0 (∣W + n (X ) − n(n+1) 4 ∣ ≥ ∣W + n (x ) − n(n+1) 4 ∣) H+ 1 ∶ m > 0 (càd H+ 1 ∶̃ P1 ⊗ . . . ⊗̃ Pn ∈ F+ 1 l’ensemble des̃ P1 ⊗ . . . ⊗̃ Pn ∈ F tels que la médiane commune m des̃ Pi est > 0 ↝ "les Ui auront tendance à prendre des valeurs plus grandes que les Vi , et W + n (X ) aura donc")
38. Détail source à réviser : 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Test de Student d’égalité des moyennes Avertissement : tout ce qui concerne ce test est admis. Si l’on a un a priori sur le fait que les lois sont (Source: "2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Test de Student d’égalité des moyennes Avertissement : tout ce qui concerne ce test est admis. Si l’on a un a priori sur le fait que les lois sont normales et de même variance σ2 ∈ R⋆ + inconnue, on pose (E , E) = (Rn+p , B(Rn+p )) F = {N (μ1, σ2)⊗n ⊗ N (μ2, σ2)⊗p ; μ1, μ2 ∈ R} ;")
39. Détail source à réviser : < μ2}) : φ− α(X ) = 1T (X )<qt(n+p−2) α et π(x ) = PH0 (T (X ) ≤ T (x )) ; pour une réalisation x = (u1, . . . , un, v1, . . . , vp ) de l’observation X = (U1, . . . , Un, V1, . . . , Vp ) 67/82 1. Introduction : Exemple (Source: "< μ2}) : φ− α(X ) = 1T (X )<qt(n+p−2) α et π(x ) = PH0 (T (X ) ≤ T (x )) ; pour une réalisation x = (u1, . . . , un, v1, . . . , vp ) de l’observation X = (U1, . . . , Un, V1, . . . , Vp ) 67/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Commandes Python : pour u = (u1, . . . , un) et")
40. Détail source à réviser : de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Test de Mann-Whitney : un exemple de situation concrète où l’appliquer On s’intéresse à l’effet d’une dose faible de Cambendazole sur les infections des so (Source: "de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Test de Mann-Whitney : un exemple de situation concrète où l’appliquer On s’intéresse à l’effet d’une dose faible de Cambendazole sur les infections des souris par la Trichinella Spiralis. Seize souris ont été infectées par un même nombre de larves de Trichinella et ensuite réparties au")
41. Détail source à réviser : lois P⊗n 1 ⊗ P⊗p 2 tel que P1, P2 sont des lois de probabilités continues sur R, "shiftées" l’une par rapport à l’autre : il existe un réel z0 tel que FP1 (.) = FP2 (. − z0) Observation X = (U1, . . . , Un, V1, . . . , V (Source: "lois P⊗n 1 ⊗ P⊗p 2 tel que P1, P2 sont des lois de probabilités continues sur R, "shiftées" l’une par rapport à l’autre : il existe un réel z0 tel que FP1 (.) = FP2 (. − z0) Observation X = (U1, . . . , Un, V1, . . . , Vp ) de loi P⊗n 1 ⊗ P⊗p 2 ∈ F ; H0 ∶ P⊗n 1 ⊗ P⊗p 2 ∈ F0 où F0 est l’ensemble des lois P⊗n 1 ⊗ P⊗p 2 ∈ F tel que le shift z0 soit nul, càd")
42. Détail source à réviser : 1 est l’ensemble des P⊗n 1 ⊗ P⊗p 2 ∈ F tel que le shift z0 est non-nul) φ± α(X ) = 1∣Σn(X )− np 2 ∣>qMW(n,p) 1− α 2 − np 2 et π(x ) = PH0 (∣Σn(X ) − np 2 ∣ ≥ ∣Σn(x ) − np 2 ∣) H+ 1 ∶ z0 > 0 (càd H+ 1 ∶ P⊗n 1 ⊗ P⊗p 2 ∈ F+ (Source: "1 est l’ensemble des P⊗n 1 ⊗ P⊗p 2 ∈ F tel que le shift z0 est non-nul) φ± α(X ) = 1∣Σn(X )− np 2 ∣>qMW(n,p) 1− α 2 − np 2 et π(x ) = PH0 (∣Σn(X ) − np 2 ∣ ≥ ∣Σn(x ) − np 2 ∣) H+ 1 ∶ z0 > 0 (càd H+ 1 ∶ P⊗n 1 ⊗ P⊗p 2 ∈ F+ 1 où F+ 1 est l’ensemble des P⊗n 1 ⊗ P⊗p 2 ∈ F tq le shift z0 est >0 ↝ "les Ui auront tendance à prendre des valeurs plus grandes que les")
43. Détail source à réviser : d’homogénéité ?? ?? Pour n > 10 ou p > 10 : Test asymptotique de Mann-Whitney de taille α ∈]0, 1[, de H0 ∶ P1 = P2, contre H± 1 ∶ z0 ≠ 0 ↝ φ±;∞ α (X ) = 1∣T (X )∣>qN (0,1) 1− α 2 ; H+ 1 ∶ z0 > 0 ↝ φ+;∞ α (X ) = 1T (X )>q (Source: "d’homogénéité ?? ?? Pour n > 10 ou p > 10 : Test asymptotique de Mann-Whitney de taille α ∈]0, 1[, de H0 ∶ P1 = P2, contre H± 1 ∶ z0 ≠ 0 ↝ φ±;∞ α (X ) = 1∣T (X )∣>qN (0,1) 1− α 2 ; H+ 1 ∶ z0 > 0 ↝ φ+;∞ α (X ) = 1T (X )>qN (0,1) 1−α ; H− 1 ∶ z0 < 0 ↝ φ−;∞ α (X ) = 1T (X )<qN (0,1) α ; Commandes Python : mannwhitneyu(x = u, y = v , method="asymptotic",")
44. Détail source à réviser : 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Sous H0, la loi de T (X ) ne dépend pas de F et G, elle est dite loi de Kolmogorov-Smirnov KS(n, p) et elle correspond à la loi de ∣∣̂F Z (1) −̂ F (Source: "2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Sous H0, la loi de T (X ) ne dépend pas de F et G, elle est dite loi de Kolmogorov-Smirnov KS(n, p) et elle correspond à la loi de ∣∣̂F Z (1) −̂ F Z (2) ∣∣∞ = sup t∈]0,1[ ∣ 1 n n ∑ i=1 1Z (1) i ≤t − 1 p p ∑ j=1 1Z (2) j ≤t ∣ où Z (1) 1 , . . . , Z (1) n , Z (2) 1 , . . . , Z (2)")
45. Détail source à réviser : sur {w1, . . . , wd }} pour k = 1, 2, la loi de probabilité Pk sur {w1, . . . , wd } est caractérisée par le d-uplet (pk;1, . . . , pk;d ) ∈ [0, 1]d , où pk;ℓ ∶= Pk ({wℓ}) (d’où d ∑ ℓ=1 pk;ℓ = 1) par abus de notation, no (Source: "sur {w1, . . . , wd }} pour k = 1, 2, la loi de probabilité Pk sur {w1, . . . , wd } est caractérisée par le d-uplet (pk;1, . . . , pk;d ) ∈ [0, 1]d , où pk;ℓ ∶= Pk ({wℓ}) (d’où d ∑ ℓ=1 pk;ℓ = 1) par abus de notation, nous écrirons Pk = (pk;1, . . . , pk;d ) Observation X = (U1, . . . , Un, V1, . . . , Vp ) ∼ P⊗n 1 ⊗ P⊗p 2 ∈ F (c-à-d que l’on observe U1, .")
46. Détail source à réviser : Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire ↝ Partie I (vue durant le CMO4) 2/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulair (Source: "Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire ↝ Partie I (vue durant le CMO4) 2/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité "Botanique" de tests statistiques Tests de conformité Présentation...")
47. Détail source à réviser : Chapitre 1 pour la construction d’IC et d’estimateurs par la méthode des moments & celle du maximum de vraisemblance) 6/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’h (Source: "Chapitre 1 pour la construction d’IC et d’estimateurs par la méthode des moments & celle du maximum de vraisemblance) 6/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les quantiles 2.1.1. Dé...")
48. Détail source à réviser : 0) sous H0, T (X ) ∼ N (0, 1) 9/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la varia (Source: "0) sous H0, T (X ) ∼ N (0, 1) 9/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les quantiles 2.2.1. de variance connue, cas loi N 2.2.2. de variance connue, cas loi qq 2.2.3. de variance inc...")
49. Détail source à réviser : Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les quantile (Source: "Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les quantiles 2.2.1. de variance connue, cas loi N 2.2.2. de variance connue, cas loi qq 2.2.3. de variance inconnue, cas loi N 2.2.4. de variance in...")
50. Détail source à réviser : ttest−1samp(a = x, popmean = μ0 ref , alternative="less") 15/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’espérance d’un (Source: "ttest−1samp(a = x, popmean = μ0 ref , alternative="less") 15/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les quantiles 2.2.1. de variance connue, cas loi N 2.2.2. de variance connue, cas...")
51. Détail source à réviser : 4 Autres tests d’adéquation à une loi normale 4. Tests d’homogénéité 19/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’esp (Source: "4 Autres tests d’adéquation à une loi normale 4. Tests d’homogénéité 19/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les quantiles 2.3.1. d’espérance connue 2.3.2. d’espérance inconnue 2.3...")
52. Détail source à réviser : 1) sous H0, T (X ) ∼ χ2(n)20/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance (Source: "1) sous H0, T (X ) ∼ χ2(n)20/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les quantiles 2.3.1. d’espérance connue 2.3.2. d’espérance inconnue Test statistique de taille α ∈]0, 1[ de H0 ∶ σ...")
53. Détail source à réviser : 4 Autres tests d’adéquation à une loi normale 4. Tests d’homogénéité 24/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’esp (Source: "4 Autres tests d’adéquation à une loi normale 4. Tests d’homogénéité 24/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 2.1. Généralités 2.2. Tests sur l’espérance d’une loi 2.3. Tests sur la variance, cas N 2.4. Tests sur les quantiles Tests d’adéquation ?? Test sur les quantiles (dont la méd...")
54. Détail source à réviser : Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 3.4. Autres tests d’adéquation à une loi N 3.1.1. (Source: "Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 3.4. Autres tests d’adéquation à une loi N 3.1.1. Approche empirique 3.1.2. Diagramme quantile-quantile symétrie (↝ skewness) ? aplatissement (↝ kurtosis ) ? unimodal ? bimodal ? (HP) ↝ U...")
55. Détail source à réviser : faire un test d’adéquation à une loi de Kolmogorov-Smirnov (KS) pour les lois normales : faire un test de KS d’adéquation à une famille de lois normales pour les lois exponentielles : faire un test de KS d’adéquation à u (Source: "faire un test d’adéquation à une loi de Kolmogorov-Smirnov (KS) pour les lois normales : faire un test de KS d’adéquation à une famille de lois normales pour les lois exponentielles : faire un test de KS d’adéquation à une famille de lois exponentielles 29/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’h...")
56. Détail source à réviser : 4 Autres tests d’adéquation à une loi normale 4. Tests d’homogénéité 36/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. (Source: "4 Autres tests d’adéquation à une loi normale 4. Tests d’homogénéité 36/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 3.4. Autres tests d’adéquation à une loi N ?? ?? 3.2. Test du χ2 d’adéquation à une loi discrète Avertissemen...")
57. Détail source à réviser : chisquare(f−obs=n̂ Pn, f−exp=n Pref ) 39/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 3.4 (Source: "chisquare(f−obs=n̂ Pn, f−exp=n Pref ) 39/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 3.4. Autres tests d’adéquation à une loi N ?? ?? Table des matières 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 2.1 Génér...")
58. Détail source à réviser : :̂ Fn ∶ v ∈ R ↦ (̂ Fn(v ) ∶ ω ∈ Ω ↦̂ Fn(v )(ω) = 1 n n ∑ i=1 1]−∞;v ](Xi (ω)) =̂ Fn(ω, v ) = 1 n n ∑ i=1 1Xi ≤v (ω) = 1 n n ∑ i=1 1Xi (ω)≤v ) 42/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests (Source: ":̂ Fn ∶ v ∈ R ↦ (̂ Fn(v ) ∶ ω ∈ Ω ↦̂ Fn(v )(ω) = 1 n n ∑ i=1 1]−∞;v ](Xi (ω)) =̂ Fn(ω, v ) = 1 n n ∑ i=1 1Xi ≤v (ω) = 1 n n ∑ i=1 1Xi (ω)≤v ) 42/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 3.4. Autres tests d’adéquation à une...")
59. Détail source à réviser : 4 Autres tests d’adéquation à une loi normale 4. Tests d’homogénéité 48/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. (Source: "4 Autres tests d’adéquation à une loi normale 4. Tests d’homogénéité 48/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 3.4. Autres tests d’adéquation à une loi N ?? ?? 3.4. Autres tests d’adéquation à une loi normale Problématiq...")
60. Détail source à réviser : Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? "Botanique" de tests statistiques Tests de conformité Tests d’adéquation Tests d’homogénéité Présentation gén (Source: "Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? "Botanique" de tests statistiques Tests de conformité Tests d’adéquation Tests d’homogénéité Présentation générale Test du signe Test de Wilcoxon des rangs signés Test de Student d’égalité des moyennes Test de Mann-Whitney Test d’homogénéité de K...")
61. Détail source à réviser : Plusieurs sortes de tests : tests sur des comportements "moyens" tests globaux sur les lois 52/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Cadre gé (Source: "Plusieurs sortes de tests : tests sur des comportements "moyens" tests globaux sur les lois 52/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Cadre général : on dispose de deux échantillons U1, . . . , Un et V1, . . . , Vp (n, p ∈ N⋆) ; Problématique générale : est-ce que les Ui et les...")
62. Détail source à réviser : ↝ on applique le Test de Wilcoxon des rangs signés 55/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? 2 Cas où n et p peuvent être différents : 2.1 Cas (Source: "↝ on applique le Test de Wilcoxon des rangs signés 55/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? 2 Cas où n et p peuvent être différents : 2.1 Cas U1, ., Un i.i.d., V1, ., Vp i.i.d., (Ui )1≤i≤n ⊥⊥ (Vj )1≤j≤p : 2.1.1 ↝ Test de Mann-Whitney 2.1.2 Si l’on sait qu’ils proviennent de loi...")
63. Détail source à réviser : Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Statistique du test du signe T (X ) ∶= n ∑ i=1 Xi = n ∑ i=1 1Ui −Vi >0 ↝ sous H0, T (X ) est de loi B(n, 1 2 (Source: "Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Statistique du test du signe T (X ) ∶= n ∑ i=1 Xi = n ∑ i=1 1Ui −Vi >0 ↝ sous H0, T (X ) est de loi B(n, 1 2 ) (symétrique par rapport à n 2 ) Test du signe de niveau α ∈]0, 1[ de H0 ∶ m = 0 contre H± 1 ∶ m ≠ 0 ↝ φ± α(X ) ∶= 1∣T (X )− n 2 ∣>qBin(...")
64. Détail source à réviser : Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Statistique du test de Wilcoxon des rangs signés : W + n (X ) ∶= n ∑ i=1 R∣X ∣(i)1Xi >0 où R∣X ∣(i) est la v. (Source: "Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Statistique du test de Wilcoxon des rangs signés : W + n (X ) ∶= n ∑ i=1 R∣X ∣(i)1Xi >0 où R∣X ∣(i) est la v.a.r. du rang de ∣Xi ∣ parmi ∣X1∣, . . . , ∣Xn∣ ordonnés par ordre croissant (exemples : R∣X ∣(i) = 1 si ∣Xi ∣ = min(∣X1∣, . . . , ∣Xn ∣),...")
65. Détail source à réviser : Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Pour n > 20 : Test asymptotique de Wilcoxon des rangs signés de taille α ∈]0, 1[, de H0 ∶ m = 0, contre H± 1 (Source: "Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Pour n > 20 : Test asymptotique de Wilcoxon des rangs signés de taille α ∈]0, 1[, de H0 ∶ m = 0, contre H± 1 ∶ m ≠ 0 ↝ φ±;∞ α (X ) = 1∣T (X )∣>qN (0,1) 1− α 2 ; H+ 1 ∶ m > 0 ↝ φ+;∞ α (X ) = 1T (X )>qN (0,1) 1−α ; H− 1 ∶ m < 0 ↝ φ−;∞ α (X ) = 1T (...")
66. Détail source à réviser : Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Commandes Python : pour u = (u1, . . . , un) et v = (v1, . . . , vp ), scipy.stats.ttest−ind(a = u, b = v , e (Source: "Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Commandes Python : pour u = (u1, . . . , un) et v = (v1, . . . , vp ), scipy.stats.ttest−ind(a = u, b = v , equal−var=True, alternative="two-sided") scipy.stats.ttest−ind(a = u, b = v , equal−var=True, alternative="greater") scipy.stats.ttest−ind...")
67. Détail source à réviser : , Vp ) de loi P⊗n 1 ⊗ P⊗p 2 ∈ F ; H0 ∶ P⊗n 1 ⊗ P⊗p 2 ∈ F0 où F0 est l’ensemble des lois P⊗n 1 ⊗ P⊗p 2 ∈ F tel que le shift z0 soit nul, càd H0 ∶ P1 = P2 ; 71/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conform (Source: ", Vp ) de loi P⊗n 1 ⊗ P⊗p 2 ∈ F ; H0 ∶ P⊗n 1 ⊗ P⊗p 2 ∈ F0 où F0 est l’ensemble des lois P⊗n 1 ⊗ P⊗p 2 ∈ F tel que le shift z0 soit nul, càd H0 ∶ P1 = P2 ; 71/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Statistique de Mann-Whitney : Σn(X ) ∶= n ∑ i=1 RUi − n(n + 1) 2 où RUi est la v.a...")
68. Détail source à réviser : 1T (X )<qN (0,1) α ; Commandes Python : mannwhitneyu(x = u, y = v , method="asymptotic", alternative="two-sided") mannwhitneyu(x = u, y = v , method="asymptotic", alternative="greater") mannwhitneyu(x = u, y = v , method (Source: "1T (X )<qN (0,1) α ; Commandes Python : mannwhitneyu(x = u, y = v , method="asymptotic", alternative="two-sided") mannwhitneyu(x = u, y = v , method="asymptotic", alternative="greater") mannwhitneyu(x = u, y = v , method="asymptotic", alternative="less") 75/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’...")
69. Détail source à réviser : Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Statistique du test du χ2 : T (X ) = d ∑ ℓ=1 ( ( n ∑ i=1 1Ui =wℓ − n̂ pℓ )2 n̂ pℓ + ( p ∑ j=1 1Vj =wℓ − p̂ pℓ (Source: "Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Statistique du test du χ2 : T (X ) = d ∑ ℓ=1 ( ( n ∑ i=1 1Ui =wℓ − n̂ pℓ )2 n̂ pℓ + ( p ∑ j=1 1Vj =wℓ − p̂ pℓ )2 p̂ pℓ ) où̂ pℓ ∶= 1 n+p ( n ∑ i=1 1Ui =wℓ + p ∑ j=1 1Vj =wℓ ) ↝ sous H0, T (X ) L → n→+∞ χ2(d − 1) ; Test d’homogénéité du χ2 asympto...")
70. Détail source à réviser : ttest−ind(a = u, b = v , equal−var=True, alternative="less") 68/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Remarque : dans le cas général où l’on (Source: "ttest−ind(a = u, b = v , equal−var=True, alternative="less") 68/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Remarque : dans le cas général où l’on veut tester l’égalité des espérances des lois de deux échantillons, sans supposer qu’elles sont normales, ni de même variance, on utilise...")
71. Détail source à réviser : Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Test de Mann-Whitney : un exemple de situation concrète où l’appliquer On s’intéresse à l’effet d’une dose fa (Source: "Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Test de Mann-Whitney : un exemple de situation concrète où l’appliquer On s’intéresse à l’effet d’une dose faible de Cambendazole sur les infections des souris par la Trichinella Spiralis. Seize souris ont été infectées par un même nombre de larv...")
72. Détail source à réviser : Au bout d’une semaine, toutes les souris ont été sacrifiées et les nombres de vers adultes retrouvés dans l’intestin de chaque souris sont les suivants : Souris non traitées 51 55 62 63 65 68 71 75 79 Souris traitées 47 (Source: "Au bout d’une semaine, toutes les souris ont été sacrifiées et les nombres de vers adultes retrouvés dans l’intestin de chaque souris sont les suivants : Souris non traitées 51 55 62 63 65 68 71 75 79 Souris traitées 47 49 53 57 60 61 67 70/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ??...")
73. Détail source à réviser : y(n, p), à valeurs dans J0, npK, et symétrique par rapport à np 2 , pour n, p ≤ 10, ses quantiles sont tabulés ; pour n > 10 ou p > 10, on utilise l’approximation asymptotique suivante : sous H0, T (X ) ∶= Σn(X ) − np 2 (Source: "y(n, p), à valeurs dans J0, npK, et symétrique par rapport à np 2 , pour n, p ≤ 10, ses quantiles sont tabulés ; pour n > 10 ou p > 10, on utilise l’approximation asymptotique suivante : sous H0, T (X ) ∶= Σn(X ) − np 2 √ np(n+p+1) 12 L → n,p→+∞ N (0, 1) 72/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’...")
74. Détail source à réviser : Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Commandes Python : mannwhitneyu(x = u, y = v , method="exact", alternative="two-sided", use−continuity=False) (Source: "Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Commandes Python : mannwhitneyu(x = u, y = v , method="exact", alternative="two-sided", use−continuity=False) mannwhitneyu(x = u, y = v , method="exact", alternative="greater", use−continuity=False) mannwhitneyu(x = u, y = v , method="exact", alt...")
75. Détail source à réviser : u(x = u, y = v , method="exact", alternative="two-sided", use−continuity=False) mannwhitneyu(x = u, y = v , method="exact", alternative="greater", use−continuity=False) mannwhitneyu(x = u, y = v , method="exact", alterna (Source: "u(x = u, y = v , method="exact", alternative="two-sided", use−continuity=False) mannwhitneyu(x = u, y = v , method="exact", alternative="greater", use−continuity=False) mannwhitneyu(x = u, y = v , method="exact", alternative="less", use−continuity=False) 74/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’...")
76. Détail source à réviser : Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Sous H0, la loi de T (X ) ne dépend pas de F et G, elle est dite loi de Kolmogorov-Smirnov KS(n, p) et elle c (Source: "Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Sous H0, la loi de T (X ) ne dépend pas de F et G, elle est dite loi de Kolmogorov-Smirnov KS(n, p) et elle correspond à la loi de ∣∣̂F Z (1) −̂ F Z (2) ∣∣∞ = sup t∈]0,1[ ∣ 1 n n ∑ i=1 1Z (1) i ≤t − 1 p p ∑ j=1 1Z (2) j ≤t ∣ où Z (1) 1 , . . . ,...")
77. Détail source à réviser : Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Application pratique : pour n, p petits, les quantiles de la loi KS(n, p) sont tabulés : Commandes Python : p (Source: "Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Application pratique : pour n, p petits, les quantiles de la loi KS(n, p) sont tabulés : Commandes Python : pour u = (u1, . . . , un) et v = (v1, . . . , vp ), scipy.stats.kstest(rvs = u, cdf = v , alternative=’two-sided’) scipy.stats.kstest(rvs...")
78. Détail source à réviser : kstest(rvs = u, cdf = v , alternative=’less’) 78/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Test d’homogénéité du χ2 Avertissement : tout ce qui c (Source: "kstest(rvs = u, cdf = v , alternative=’less’) 78/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Test d’homogénéité du χ2 Avertissement : tout ce qui concerne ce test est admis. Modèle statistique : n, p ∈ N⋆ peuvent être différents, d ≥ 2, E ∶= {w1, . . . , wd }n+p , E ∶= P(E ), où w1,...")
79. Détail source à réviser : 1 n+p ( n ∑ i=1 1Ui =wℓ + p ∑ j=1 1Vj =wℓ ) ↝ sous H0, T (X ) L → n→+∞ χ2(d − 1) ; Test d’homogénéité du χ2 asymptotique de taille α ∈]0, 1[ de H0 ∶ P1 = P2 contre H1 ∶ P1 ≠ P2 (càd contre H1 ∶ ∃ℓ ∈ J1, dK, p1;ℓ ≠ p2;ℓ) (Source: "1 n+p ( n ∑ i=1 1Ui =wℓ + p ∑ j=1 1Vj =wℓ ) ↝ sous H0, T (X ) L → n→+∞ χ2(d − 1) ; Test d’homogénéité du χ2 asymptotique de taille α ∈]0, 1[ de H0 ∶ P1 = P2 contre H1 ∶ P1 ≠ P2 (càd contre H1 ∶ ∃ℓ ∈ J1, dK, p1;ℓ ≠ p2;ℓ) φ∞ α (X ) ∶= 1T (X )>qχ2(d−1) 1−α 80/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’h...")
80. Détail source à réviser : Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Savoir formaliser votre test statistique (vous serez évalués sur la qualité de votre rédaction) ; Définir cla (Source: "Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Savoir formaliser votre test statistique (vous serez évalués sur la qualité de votre rédaction) ; Définir clairement l’hypothèse nulle H0 et l’hypothèse alternative H1 de votre test ; Définir précisément la statistique de test que vous allez util...")
81. Détail source à réviser : , vd } (càd H0 ∶ P⊗n ∈ F0 où cet ensemble est le singleton {(Pref )⊗n } ) ; 37/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du (Source: ", vd } (càd H0 ∶ P⊗n ∈ F0 où cet ensemble est le singleton {(Pref )⊗n } ) ; 37/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 3.4. Autres tests d’adéquation à une loi N ?? ?? Statistique du test du χ2 : T (X ) = D2 n (̂Pn, Pref...")
82. Détail source à réviser : 4 Autres tests d’adéquation à une loi normale 4. Tests d’homogénéité 40/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. (Source: "4 Autres tests d’adéquation à une loi normale 4. Tests d’homogénéité 40/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité 3.1. Généralités 3.2. Test du χ2 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov 3.4. Autres tests d’adéquation à une loi N ?? ?? 3.3. Test de Kolmogorov-Smirnov d’adéquation à une loi conti...")
83. Détail source à réviser : Tests de conformité Tests d’adéquation Tests d’homogénéité Présentation générale Test du signe Test de Wilcoxon des rangs signés Test de Student d’égalité des moyennes Test de Mann-Whitney Test d’homogénéité de Kolmogoro (Source: "Tests de conformité Tests d’adéquation Tests d’homogénéité Présentation générale Test du signe Test de Wilcoxon des rangs signés Test de Student d’égalité des moyennes Test de Mann-Whitney Test d’homogénéité de Kolmogorov-Smirnov Test d’homogénéité du χ2 51/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’...")
84. Détail source à réviser : 1 Cas n = p 2 Cas où n et p peuvent être différents 53/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? 1 Cas n = p : 1.1 Cas (U1, V1), . . . , (Un, Vn) (Source: "1 Cas n = p 2 Cas où n et p peuvent être différents 53/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? 1 Cas n = p : 1.1 Cas (U1, V1), . . . , (Un, Vn) indépendants : ↝ ce cas sera dit "de deux échantillons appariés" Remarque : on ne suppose pas du tout ici Ui et Vi indépendants Exemple...")
85. Détail source à réviser : Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? 1.1.1 Cas où l’on ne dispose que du signe des Ui − Vi , i ∈ J1, nK Exemple dans le cas de l’entreprise pharma (Source: "Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? 1.1.1 Cas où l’on ne dispose que du signe des Ui − Vi , i ∈ J1, nK Exemple dans le cas de l’entreprise pharmaceutique : en fait I1,i et I2,i sont un seul et même individu mais testé deux jours consécutifs : le 1er jour il reçoit le traitement T1,...")
86. Détail source à réviser : Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Test du signe : un exemple de situation concrète où l’appliquer On veut tester l’efficacité d’un nouveau trai (Source: "Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Test du signe : un exemple de situation concrète où l’appliquer On veut tester l’efficacité d’un nouveau traitement contre les migraines. On dispose d’un échantillon de 18 personnes sujettes aux migraines à qui l’on fournit une quantité égale de...")
87. Détail source à réviser : Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Test du signe : formalisme Modèle statistique sous-jacent caché : ↝ ((U1, V1), . . . , (Un, Vn)) vecteur aléa (Source: "Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Test du signe : formalisme Modèle statistique sous-jacent caché : ↝ ((U1, V1), . . . , (Un, Vn)) vecteur aléatoire à valeurs dans R2n, ↝ de loi P1 ⊗ . . . ⊗ Pn (càd ∀i ∈ J1, nK, (Ui , Vi ) vecteur aléatoire à valeurs dans R2 de loi Pi , et les {(...")
88. Détail source à réviser : ney & Sandra Bullock) , Her (Joaquin Phoenix & Amy Adams) , Nebraska (Bruce Dern & June Squibb) , Philomena (Steve Coogan & Judi Dench) , Twelve Years a Slave (Chiwetel Ejiofor & Lupita Nyong’o) , Le Loup de Wall Street (Source: "ney & Sandra Bullock) , Her (Joaquin Phoenix & Amy Adams) , Nebraska (Bruce Dern & June Squibb) , Philomena (Steve Coogan & Judi Dench) , Twelve Years a Slave (Chiwetel Ejiofor & Lupita Nyong’o) , Le Loup de Wall Street (Leonardo DiCaprio & Margot Robbie)60/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’...")
89. Détail source à réviser : ) ; pour n > 20, on utilise l’approximation asymptotique suivante : sous H0, T (X ) ∶= W + n (X )− n(n+1) 4√ n(n+1)(2n+1) 24 L → n→+∞ N (0, 1) 62/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests (Source: ") ; pour n > 20, on utilise l’approximation asymptotique suivante : sous H0, T (X ) ∶= W + n (X )− n(n+1) 4√ n(n+1)(2n+1) 24 L → n→+∞ N (0, 1) 62/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Pour n ≤ 20 : Test exact de Wilcoxon des rangs signés de niveau α ∈]0, 1[, de H0 ∶ m = 0, cont...")
90. Détail source à réviser : Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? En pratique : Vérifier qu’il n’y a pas d’ex aequo, et comme n est petit, s’il y en a, passer au test du signe (Source: "Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? En pratique : Vérifier qu’il n’y a pas d’ex aequo, et comme n est petit, s’il y en a, passer au test du signe (si n était grand, on modifierait très légèrement les valeurs ex aequo de façon à ce qu’il n’y ait plus d’ex aequo, et l’on passerait au...")
91. Détail source à réviser : Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Test de Student d’égalité des moyennes Avertissement : tout ce qui concerne ce test est admis. Si l’on a un a (Source: "Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’homogénéité ?? ?? Test de Student d’égalité des moyennes Avertissement : tout ce qui concerne ce test est admis. Si l’on a un a priori sur le fait que les lois sont normales et de même variance σ2 ∈ R⋆ + inconnue, on pose (E , E) = (Rn+p , B(Rn+p )) F = {N (μ1, σ2...")
92. Détail source à réviser : , Vp ) de loi PX = N (μ1, σ2)⊗n ⊗ N (μ2, σ2)⊗p ∈ F ; H0 ∶ μ1 = μ2, càd PX ∈ F0 ∶= {N (μ, σ2)⊗(n+p); μ ∈ R} Statistique du test de Student d’égalité des moyennes : T (X ) ∶= Un − V p √ ( 1 n + 1 p ) 1 n+p−2 ( n ∑ i=1 ( Ui (Source: ", Vp ) de loi PX = N (μ1, σ2)⊗n ⊗ N (μ2, σ2)⊗p ∈ F ; H0 ∶ μ1 = μ2, càd PX ∈ F0 ∶= {N (μ, σ2)⊗(n+p); μ ∈ R} Statistique du test de Student d’égalité des moyennes : T (X ) ∶= Un − V p √ ( 1 n + 1 p ) 1 n+p−2 ( n ∑ i=1 ( Ui − Un )2 + p ∑ j=1 ( Vj − V p )2 ) 66/82 1. Introduction : Exemple & Vocabulaire 2. Tests de conformité 3. Tests d’adéquation 4. Tests d’...")
93. Détail source à réviser : E) = (Rn+p , B(Rn+p )) ; F est l’ensemble des lois P⊗n 1 ⊗ P⊗p 2 tel que P1, P2 sont des lois de probabilités continues sur R, "shiftées" l’une par rapport à l’autre : il existe un réel z0 tel que FP1 ( (Source: "E) = (Rn+p , B(Rn+p )) ; F est l’ensemble des lois P⊗n 1 ⊗ P⊗p 2 tel que P1, P2 sont des lois de probabilités continues sur R, "shiftées" l’une par rapport à l’autre : il existe un réel z0 tel que FP1 (")
94. Détail source à réviser : 1) ; Test d’homogénéité du χ2 asymptotique de taille α ∈]0, 1[ de H0 ∶ P1 = P2 contre H1 ∶ P1 ≠ P2 (càd contre H1 ∶ ∃ℓ ∈ J1, dK, p1;ℓ ≠ p2;ℓ) φ∞ α (X ) ∶= 1T (X )>qχ2(d−1) 1−α 80/82 1 (Source: "1) ; Test d’homogénéité du χ2 asymptotique de taille α ∈]0, 1[ de H0 ∶ P1 = P2 contre H1 ∶ P1 ≠ P2 (càd contre H1 ∶ ∃ℓ ∈ J1, dK, p1;ℓ ≠ p2;ℓ) φ∞ α (X ) ∶= 1T (X )>qχ2(d−1) 1−α 80/82 1")
95. Détail source à réviser : p) et elle correspond à la loi de ∣∣̂F Z (1) −̂ F Z (2) ∣∣∞ = sup t∈]0,1[ ∣ 1 n n ∑ i=1 1Z (1) i ≤t − 1 p p ∑ j=1 1Z (2) j ≤t ∣ où Z (1) 1 , (Source: "p) et elle correspond à la loi de ∣∣̂F Z (1) −̂ F Z (2) ∣∣∞ = sup t∈]0,1[ ∣ 1 n n ∑ i=1 1Z (1) i ≤t − 1 p p ∑ j=1 1Z (2) j ≤t ∣ où Z (1) 1 ,")
96. Détail source à réviser : 2) ; Sous H0, Σn(X ) suit la loi dite de Mann-Whitney(n, p), à valeurs dans J0, npK, et symétrique par rapport à np 2 , pour n, p ≤ 10, ses quantiles sont tabulés ; pour n > 10 ou p > 10, on utilise l’approximation asymp (Source: "2) ; Sous H0, Σn(X ) suit la loi dite de Mann-Whitney(n, p), à valeurs dans J0, npK, et symétrique par rapport à np 2 , pour n, p ≤ 10, ses quantiles sont tabulés ; pour n > 10 ou p > 10, on utilise l’approximation asymptotique suivante : sous H0, T (X ) ∶= Σn(X ) − np 2 √ np(n+p+1) 12 L → n,p→+∞ N (0, 1) 72/82 1")

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des tests de conformité

Principaux pièges en tests statistiques

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre test unilatéral et bilatéral.
2. Utiliser un test χ2 avec des effectifs faibles.
3. Interpréter la p-valeur comme la probabilité que H0 soit vraie.
4. Négliger les conditions d'application des tests.
5. Choisir un seuil α inapproprié.
6. Utiliser un test inadapté à la nature des données.
7. Ignorer la distribution de la statistique sous H0.

✅ Checklist Examen

1. Identifier la nature de la loi à tester.
2. Vérifier les conditions d'application du test.
3. Calculer la statistique de test.
4. Comparer à la région de rejet ou utiliser la p-valeur.
5. Interpréter correctement le résultat.
6. Vérifier la taille de l'échantillon.
7. Choisir le test approprié selon la loi.
8. Utiliser Python pour automatiser et interpréter.
9. Respecter le niveau de signification α.
10. Comparer plusieurs tests si nécessaire.