Hoja de repaso: Automatique des systèmes

📋 Plan du Cours

1. Schémas et boucles automatiques
2. Représentations temporelle et de Laplace
3. Modèles et stabilité des systèmes
4. Systèmes du premier ordre
5. Systèmes du second ordre
6. Analyse fréquentielle de Bode
7. Stabilité et précision en boucle fermée

📖 1. Schémas et boucles automatiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Système automatique : Réalise une ou plusieurs tâches sans intervention humaine, notamment des tâches dangereuses, répétitives et pénibles, ou nécessitant précision et sécurité.
• Capteur : Détecte un phénomène physique lié au système ou à son environnement et quantifie une grandeur comme la vitesse, la position, la température ou la pression.
• Correcteur : Élabore la commande du système à partir de l’écart entre la consigne et la sortie mesurée, puis actualise cette commande selon l’évolution du système.

★ À maîtriser

• En boucle ouverte, la sortie dépend de l’entrée et des perturbations sans rétroaction, tandis qu’en boucle fermée la rétroaction modifie la commande selon la consigne et la sortie mesurée.

Compléments

• Dans l’exemple d’une personne à vélo, le cerveau est le correcteur, la personne et le vélo constituent le système, et les yeux jouent le rôle de capteur.

💡 Astuce mémo

Consigne → comparateur → correcteur → système → capteur

📖 2. Représentations temporelle et de Laplace

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformée de Laplace : Associe à une fonction temporelle f(t) une fonction complexe F(p), tandis que la transformée inverse permet de revenir au domaine temporel.

★ À maîtriser

📐 Formule — La transformée de Laplace d’une fonction temporelle vérifie $F(p)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_0^{\infty} f(t)e^{-pt}\,dt.$

📐 Formule — Avec des conditions initiales nulles, la dérivée d’ordre n vérifie $\mathcal{L}\left\{\frac{d^n f}{dt^n}\right\}=p^nF(p)$ et une intégrale d’ordre n vérifie $\mathcal{L}\{\int\cdots\int f(t)\,dt\}=\frac{F(p)}{p^n}.$

📐 Formule — Les théorèmes des valeurs initiale et finale donnent respectivement $f(0^+)=\lim_{p\to\infty}pF(p)$ et $f(\infty)=\lim_{p\to0}pF(p).$

Compléments

📐 Formule — La propriété de retard temporel vérifie $\mathcal{L}\{f(t-T)\}=e^{-pT}F(p)$ et l’amortissement exponentiel vérifie $\mathcal{L}\{f(t)e^{-at}\}=F(p+a).$

💡 Astuce mémo

Temps : équations différentielles ; Laplace : polynômes

📖 3. Modèles et stabilité des systèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert : D’un système linéaire est le rapport $G(p)=\frac{Y(p)}{U(p)}=\frac{N(p)}{D(p)}$ entre la sortie et l’entrée dans le domaine de Laplace.
• Pôles du système : Les racines de l’équation caractéristique $D(p)=0$, c’est-à-dire les racines du dénominateur de la fonction de transfert.

★ À maîtriser

📌 Un système est stable si tous ses pôles ont une partie réelle négative et instable si au moins un pôle possède une partie réelle positive.

Compléments

📌 Si le degré du numérateur est inférieur ou égal à celui du dénominateur, le système est causal et sa fonction de transfert est propre.

• Plus les pôles sont éloignés de l’axe imaginaire, c’est-à-dire grands en valeur absolue dans la partie réelle négative, plus le système est rapide.

💡 Astuce mémo

Pôles à gauche → stabilité et rapidité

📖 4. Systèmes du premier ordre

★ À maîtriser

📐 Formule — Un système du premier ordre a pour fonction de transfert normalisée $G(p)=\frac{K}{1+\tau p}$, où K est le gain statique et τ la constante de temps.

📐 Formule — Le système du premier ordre possède un unique pôle donné par $p=-\frac{1}{\tau}.$

📐 Formule — Pour un échelon unité, la réponse indicielle du premier ordre est $y(t)=K\left(1-e^{-t/\tau}\right)u(t).$

📐 Formule — Pour un système du premier ordre, le temps de réponse à 5 % vaut $T_r=2,99\tau\approx3\tau$ et le temps de montée entre 10 % et 90 % vaut $T_m=2,2\tau.$

Compléments

• À t=τ, la réponse vaut 0,63K, et à t=5τ elle vaut environ 0,99K, donc pratiquement K.

📖 5. Systèmes du second ordre

★ À maîtriser

📐 Formule — Un système du second ordre a pour fonction de transfert normalisée $G(p)=\frac{K}{1+\frac{2m}{\omega_0}p+\frac{p^2}{\omega_0^2}}$, où K est le gain statique, ω₀ la pulsation naturelle et m le coefficient d’amortissement.

• Pour m>1, les pôles sont réels négatifs et le système est très amorti non oscillant ; pour m=1, le système possède un pôle double réel négatif ; pour 0<m<1, les pôles sont complexes conjugués à partie réelle négative et le système est oscillant amorti.

• Le dépassement augmente lorsque le coefficient d’amortissement m diminue.

Compléments

📐 Formule — Le discriminant réduit des pôles du second ordre est $\Delta'=\frac{m^2-1}{\omega_0^2}.$

• Pour m=0, les pôles sont imaginaires purs et le système est sans amortissement ; pour m<0, les pôles ont une partie réelle positive et le système est divergent.

• À coefficient d’amortissement constant, une pulsation naturelle ω₀ plus grande éloigne les pôles de l’axe imaginaire et rend le système plus rapide, tandis que la réponse indicielle converge vers K.

📖 6. Analyse fréquentielle de Bode

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme de Bode : Représente le gain et la phase d’une fonction de transfert en fonction de la pulsation sur une échelle logarithmique.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le gain en décibels et la phase du diagramme de Bode sont donnés par $G_{dB}=20\log|G(j\omega)|$ et $\phi=\operatorname{Arg}(G(j\omega)).$

• Pour un système du premier ordre, la pulsation de coupure vaut $\omega_c=\frac{1}{\tau}$, le gain chute de −3 dB et la phase vaut −45° à cette pulsation.

📐 Formule — Pour 0<m<\frac{1}{\sqrt{2}}, le système du second ordre présente une résonance à la pulsation $\omega_r=\omega_0\sqrt{1-2m^2}.$

Compléments

• Pour un système du second ordre avec m=1, la pulsation naturelle correspond à une chute de gain de −3 dB et à une phase de −90°.

💡 Astuce mémo

Gain : amplitude ; phase : déphasage

📖 7. Stabilité et précision en boucle fermée

★ À maîtriser

📐 Formule — Avec un retour unitaire, la fonction de transfert en boucle fermée est $FTBF(p)=\frac{G(p)}{1+G(p)}=\frac{C(p)H(p)}{1+C(p)H(p)}.$

• La stabilité en boucle fermée s’étudie en calculant les pôles issus de l’équation caractéristique $1+C(p)H(p)=0,$ associée au point critique de la FTBO de gain 0 dB et de phase −180°.

📐 Formule — La marge de gain se calcule à la pulsation où la phase vaut −180° par $m_G=0\,\mathrm{dB}-20\log|G(j\omega_G)|.$

📐 Formule — La marge de phase se calcule à la pulsation où le gain vaut 0 dB par $m_\phi=\operatorname{Arg}G(j\omega_\phi)-(-180^\circ).$

📌 Un système est stable en boucle fermée si ses marges de gain et de phase sont positives ; une bonne stabilité est associée à une marge de phase comprise entre 45° et 55° et à une marge de gain supérieure à 6 dB.

• Le critère de Routh-Hurwitz s’applique au polynôme caractéristique de la FTBF ordonné par puissances décroissantes et permet de déterminer la stabilité sans calculer explicitement les pôles.

📌 Le système en boucle fermée est stable si les coefficients du polynôme caractéristique sont présents et de même signe et si les coefficients de la première colonne du tableau de Routh sont tous de même signe ; le nombre de changements de signe de cette colonne donne le nombre de pôles instables.

📐 Formule — L’erreur en boucle fermée vérifie $E(p)=\frac{1}{1+G(p)}X_d(p)$ et son erreur permanente se calcule par $\lim_{t\to\infty}e(t)=\lim_{p\to0}pE(p).$

📐 Formule — Pour une consigne échelon unité, l’erreur de position vaut $e_{pos}=\lim_{p\to0}\frac{1}{1+G(p)}.$

Compléments

📐 Formule — Pour une rampe de vitesse et une rampe d’accélération, les erreurs permanentes valent respectivement $e_{vit}=\lim_{p\to0}\frac{1}{p(1+G(p))}$ et $e_{acc}=\lim_{p\to0}\frac{1}{p^2(1+G(p))}.$

💡 Astuce mémo

FTBF → marges/Routh → erreur finale

📊 Tableaux de synthèse

Régimes du système du second ordre

Coefficient m	Pôles	Régime
> 1	Deux pôles réels négatifs	Très amorti, non oscillant
= 1	Pôle double réel négatif	Amorti, non oscillant
0 < m < 1	Pôles complexes conjugués à partie réelle négative	Oscillant amorti
= 0	Pôles imaginaires purs	Oscillant sans amortissement
< 0	Pôles complexes à partie réelle positive	Divergent