Hoja de repaso: Bases et intuition des probabilités

📋 Plan du Cours

1. Variables aléatoires et probabilités
2. Lois de probabilité usuelles
3. Fonction de répartition
4. Vecteurs discrets et marginales
5. Indépendance et loi conditionnelle
6. Covariance et corrélation linéaire
7. Théorèmes de convergence
8. R et simulations élémentaires

📖 1. Variables aléatoires et probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire discrète : A un support formé des valeurs possibles qu’elle peut prendre, et le cardinal de ce support est fini ou au plus dénombrable.
• Variable aléatoire continue : A un support inclus dans R, et le cardinal de ce support est infini.

📝 Points essentiels

• Pour une variable aléatoire continue, les probabilités ponctuelles sont nulles : pour tout x appartenant au support, P(X = x) = 0.
• Pour une variable discrète, la distribution de probabilité vérifie 0 < P(X = x) ≤ 1 pour tout x du support et la somme des probabilités sur le support vaut 1.
• Pour une variable continue, la densité f vérifie f(x) ≥ 0 pour tout x réel et son intégrale sur R vaut 1.
• Pour une variable discrète, l’espérance vaut E[X] = ∑ xP(X = x), la variance vaut V[X] = ∑ (x - E[X])²P(X = x) si E[X] < ∞, et l’écart type vaut √V[X].
• Pour une variable continue de densité f, l’espérance vaut E[X] = ∫ xf(x)dx, la variance vaut V[X] = ∫ (x - E[X])²f(x)dx si E[X] < ∞, et l’écart type vaut √V[X].

📖 2. Lois de probabilité usuelles

📝 Points essentiels

• La loi de Bernoulli B(p) sur {0,1} vérifie P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 - p, E[X] = p et V[X] = p(1 - p), avec p dans ]0,1[.
• La loi binomiale Bin(n,p) sur {0, ···, n} vérifie P(X = k) = C(n,k)p^k(1 - p)^(n-k), E[X] = np et V[X] = np(1 - p).
• La loi de Poisson P(λ) sur N vérifie P(X = k) = λ^k e^{-λ}/k!, E[X] = λ et V[X] = λ, avec λ > 0.
• La loi exponentielle E(λ) sur R+* a pour densité λe^{-λx} pour x > 0, pour espérance 1/λ et pour variance 1/λ².
• La loi normale centrée réduite N(0,1) sur R a pour densité (1/√(2π))exp(-x²/2), pour espérance 0 et pour variance 1.
• La loi uniforme discrète sur {1, ···, n} vérifie P(X = k) = 1/n, E[X] = (n + 1)/2 et V[X] = (n + 1)(n - 1)/12.
• La loi géométrique G(p) sur N* vérifie P(X = k) = p(1 - p)^(k-1), E[X] = 1/p et V[X] = (1 - p)/p².
• La loi uniforme continue U([a,b]) sur [a,b] a pour densité 1/(b - a), pour espérance (a + b)/2 et pour variance (b - a)²/12, avec a < b.
• La loi gamma G(k,θ) sur R+* a pour densité (θ^k/Γ(k))x^(k-1)e^{-θx} pour x > 0, pour espérance k/θ et pour variance k/θ².

📖 3. Fonction de répartition

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de répartition : D’une variable aléatoire X est la fonction F définie sur R par F(t) = P(X ≤ t).

📝 Points essentiels

• La fonction de répartition F est croissante, définie sur R et à valeurs dans [0,1].
• Si X est discrète, F est une fonction en escalier, tandis que si X est continue, F est continue et sa dérivée est la densité f.

📖 4. Vecteurs discrets et marginales

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi jointe : D’un couple discret (X,Y) est la famille des probabilités P(X = x, Y = y) pour (x,y) appartenant à SuppX × SuppY.
• Loi marginale : De X s’obtient à partir de la loi jointe en sommant sur toutes les valeurs de Y : P(X = x) = ∑y P(X = x, Y = y).

📝 Points essentiels

• Dans une loi jointe discrète, chaque probabilité P(X = x, Y = y) appartient à [0,1] et la somme sur tous les couples du support vaut 1.
• De même, la loi marginale de Y s’obtient par P(Y = y) = ∑x P(X = x, Y = y).
• Dans l’exemple du tableau donné, les marginales sont P(X = 0) = 0,3, P(X = 1) = 0,1, P(X = 2) = 0,6 et P(Y = -1) = 0,4, P(Y = 1) = 0,6.

📖 5. Indépendance et loi conditionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance : X et Y sont indépendantes si et seulement si, pour tout x du support de X et tout y du support de Y, P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y).
• Loi conditionnelle : De Y sachant X = x est la famille des probabilités P(Y = y | X = x) pour y appartenant au support de Y.

📝 Points essentiels

• Pour tout y du support de Y et tout x du support de X, P(Y = y | X = x) = P(Y = y, X = x)/P(X = x).
• Pour un x fixé, les probabilités conditionnelles vérifient P(Y = y | X = x) ∈ [0,1] et ∑y P(Y = y | X = x) = 1.
• Dans l’exemple fourni, P(Y = 1 | X = 0) = 0,1/0,3 = 1/3 et P(Y = -1 | X = 0) = 0,2/0,3 = 2/3.

📖 6. Covariance et corrélation linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Covariance : Pour deux variables aléatoires X et Y d’espérance finie et de variance finie non nulle, Cov(X,Y) = ∑x∑y (x - E[X])(y - E[Y])P(X = x, Y = y).
• Coefficient de corrélation linéaire : Vaut ρ(X,Y) = Cov(X,Y)/(√V(X)√V(Y)) pour des variables d’espérance finie et de variance finie non nulle.

📝 Points essentiels

• Si X et Y sont indépendantes, alors Cov(X,Y) = 0, mais la réciproque est fausse sauf pour un vecteur gaussien.
• Le coefficient de corrélation vérifie |ρ(X,Y)| ≤ 1, et |ρ(X,Y)| = 1 implique un lien linéaire entre X et Y.
• La covariance est symétrique : Cov(X,Y) = Cov(Y,X), et Cov(X,X) = V(X).

📖 7. Théorèmes de convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi des grands nombres : Si X1, X2, ··· sont i.i.d. et vérifient E[Xi] = m < ∞, alors la moyenne empirique (1/n)∑_{i=1}^n Xi converge en probabilité vers m quand n tend vers +∞.

📖 8. R et simulations élémentaires

📝 Points essentiels

• Les commandes élémentaires citées sont max(), min(), sum(), cumsum(), mean(), median(), sort(), sd(), cor() et which.max().
• Pour fixer la graine aléatoire et rendre les résultats reproductibles, on utilise la commande set.seed(1234).
• Un tirage de n = 5 valeurs selon une loi normale de moyenne 10 et d’écart type 2 s’effectue avec la commande rnorm(5,10,2).
• La probabilité P(X ≤ 12) pour une loi normale de moyenne 10 et d’écart type 2 se calcule par pnorm(12,10,2) et vaut 0.8413447.
• Les avantages cités de R et RStudio sont des méthodes récentes, le caractère multi-plateforme et la gratuité.
• L’installation du package tidyverse s’effectue avec la commande install.packages("tidyverse").
• Les familles de lois citées dans R sont unif(.,.), geom(.), norm(.,.), binom(.,.), exp(.), pois(.), beta(.,.), t(.), chisq(.), f(.,.) et gamma(.,.).
• Le premier quartile d’une loi normale de moyenne 10 et d’écart type 2 se calcule par qnorm(0.25,10,2), ce qui donne 8.65102.
• Les probabilités ponctuelles d’une loi de Poisson de paramètre 4 aux valeurs 0, 1 et 2 se calculent par dpois(0:2,4) et valent 0.01831564, 0.07326256 et 0.14652511.
• Les probabilités d’une loi binomiale B(10,0.25) se calculent par dbinom(0:10,10,0.25), et leur somme vérifiée par sum(V) vaut 1.

📊 Tableaux de synthèse

Lois discrètes usuelles

Loi	Support	Espérance	Variance
Bernoulli B(p)	{0,1}	p	p(1-p)
Binomiale Bin(n,p)	{0,···,n}	np	np(1-p)
Poisson P(λ)	N	λ	λ
Géométrique G(p)	N*	1/p	(1-p)/p²

Lois continues usuelles

Loi	Support	Espérance	Variance
Uniforme U([a,b])	[a,b]	(a+b)/2	(b-a)²/12
Exponentielle E(λ)	R+*	1/λ	1/λ²
Normale N(μ,σ)	R	μ	σ²
Gamma G(k,θ)	R+*	k/θ	k/θ²

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Variable aléatoire continue a un support inclus dans R mais de cardinal infini.
2. Variable aléatoire discrète peut aussi prendre des valeurs numériques mais son support est fini ou dénombrable.
3. P(X = x) = 0 ne signifie pas que x ne peut pas être pris par la variable.
4. Densité de probabilité concerne le cas continu, pas le cas discret.
5. La densité f(x) n’est pas une probabilité ponctuelle P(X = x).
6. Variance et écart type ne sont pas la même quantité.
7. L’intégrale remplace la somme dans le cas continu.

✅ Checklist Examen

1. Variable aléatoire discrète
2. La loi de Bernoulli B(p) sur {0,1} vérifie P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 - p, E[X] = p et V[X] = p(1 - p), avec p dans ]0,1[.
3. Fonction de répartition
4. Loi jointe
5. Indépendance
6. Covariance
7. Loi des grands nombres
8. Les commandes élémentaires citées sont max(), min(), sum(), cumsum(), mean(), median(), sort(), sd(), cor() et which.max().
9. Variable aléatoire continue
10. La loi binomiale Bin(n,p) sur {0, ···, n} vérifie P(X = k) = C(n,k)p^k(1 - p)^(n-k), E[X] = np et V[X] = np(1 - p).
11. La fonction de répartition F est croissante, définie sur R et à valeurs dans [0,1].
12. Dans une loi jointe discrète, chaque probabilité P(X = x, Y = y) appartient à [0,1] et la somme sur tous les couples du support vaut 1.
13. Loi conditionnelle
14. Si X et Y sont indépendantes, alors Cov(X,Y) = 0, mais la réciproque est fausse sauf pour un vecteur gaussien.
15. Pour fixer la graine aléatoire et rendre les résultats reproductibles, on utilise la commande set.seed(1234).
16. Pour une variable aléatoire continue, les probabilités ponctuelles sont nulles : pour tout x appartenant au support, P(X = x) = 0.