Cuestionario: Calcul de la pente et tangente à une courbe — 10 preguntas

1. Quelle expression décrit le mieux une sécante à une courbe ?

A. La position limite d’une droite quand un point se rapproche

B. La droite passant par deux points de la courbe

C. La courbe elle-même au voisinage du point

D. La droite de pente nulle passant par le point étudié

Answer: (B)

Explicación

La sécante est définie comme la droite passant par deux points de la courbe. La tangente, elle, correspond à une position limite de la sécante.

2. Dans l’étude d’une courbe, comment obtient-on la tangente à partir d’une sécante ?

A. En remplaçant directement h par 0 dans le quotient

B. En faisant tendre le second point vers le point d’étude

C. En prenant une droite parallèle à l’axe des ordonnées

D. En reliant deux points quelconques de la courbe

Answer: (B)

Explicación

La tangente est la position limite de la sécante lorsque le second point se rapproche du point d’étude. Remplacer directement h par 0 dans le quotient est incorrect.

3. Que représente le quotient (f(a+h)−f(a))/h ?

A. Le coefficient directeur de la courbe entière

B. Le taux d’accroissement de f entre a et a+h

C. La valeur de la dérivée en tout point

D. L’ordonnée du point de tangence

Answer: (B)

Explicación

Ce quotient mesure la variation moyenne de la fonction entre a et a+h. Il correspond donc au taux d’accroissement.

4. Que devient le coefficient directeur de la tangente lorsque h tend vers 0 ?

A. Le point A(a; f(a))

B. La limite du taux d’accroissement

C. La différence f(a+h)−f(a)

D. Le rapport inverse h/(f(a+h)−f(a))

Answer: (B)

Explicación

Le coefficient directeur de la tangente est la limite du taux d’accroissement quand h tend vers 0. C’est cette limite qui donne la pente instantanée.

5. Quand dit-on qu’une fonction est dérivable en a ?

A. Quand la fonction est définie sur tout un intervalle

B. Quand la courbe est nécessairement une droite

C. Quand la pente est toujours égale à 0

D. Quand le taux d’accroissement admet une limite finie quand h tend vers 0

Answer: (D)

Explicación

Une fonction est dérivable en a si la limite du taux d’accroissement existe et est finie. Cela ne signifie pas que la fonction est affine ou nulle.

6. Que désigne la notation f’(a) ?

A. L’abscisse du point de tangence

B. La valeur moyenne de f sur [a, a+h]

C. Le nombre dérivé de f en a

D. Le coefficient de h dans f(a+h)

Answer: (C)

Explicación

La notation f’(a) désigne le nombre dérivé de la fonction en l’abscisse a. C’est aussi le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a.

7. Pour f(x)=3x²+4x−5, quelle est la valeur de f’(1) ?

A. 10

B. 4

C. −10

D. 3

Answer: (A)

Explicación

Le calcul du taux d’accroissement donne 10+3h, puis la limite quand h→0 vaut 10. On obtient donc f’(1)=10.

8. Pour f(x)=−x²+3, quelle est la dérivée en a ?

A. −2a

B. −a²

C. −2

D. 2a

Answer: (A)

Explicación

Le quotient se simplifie en −2a−h, puis sa limite quand h→0 vaut −2a. Cette valeur est vraie pour tout réel a.

9. Quelle est la forme finale de l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a ?

A. y=f’(a)x+a

B. y=f(a)(x−f’(a))+a

C. y=f’(a)(x−a)+f(a)

D. y=f(a)x+f’(a)

Answer: (C)

Explicación

La tangente a pour pente f’(a) et passe par le point A(a; f(a)), ce qui conduit à y=f’(a)(x−a)+f(a). Cette forme évite les erreurs sur la constante.

10. Dans l’écriture y=f’(a)x+p de la tangente, à quoi est égal p ?

A. f(a)−f’(a)×a

B. f(a)+f’(a)×a

C. a−f(a)×f’(a)

D. f’(a)−f(a)×a

Answer: (A)

Explicación

Comme la tangente passe par A(a; f(a)), on remplace x par a et y par f(a), ce qui donne p=f(a)−f’(a)×a. C’est le terme constant de la droite.