Hoja de repaso: Géométrie affine et applications

📋 Plan du Cours

1. Notations de géométrie affine
2. Espaces affines et propriétés
3. Repères cartésiens et coordonnées
4. Changement de coordonnées
5. Sous-espaces affines
6. Barycentres et points pondérés
7. Repères affines et barycentriques
8. Convexité et enveloppe convexe
9. Applications affines et projections

📖 1. Notations de géométrie affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Corps commutatif k : Le corps k est l’ensemble de scalaires sur lequel on définit tous les espaces vectoriels et affine étudiés.
• k-espace vectoriel de dimension finie : Un k-espace vectoriel considéré dans le cours est supposé de dimension finie pour permettre les outils d’algèbre linéaire.
• Convention des lettres pour ensembles : Les ensembles de points sont notés par des lettres majuscules comme E ou F, tandis que les points sont notés par des petites lettres comme a ou b.
• Convention flèches sur objets vectoriels : Les espaces vectoriels et les vecteurs sont écrits avec une flèche pour distinguer le vectoriel de l’affine.

📝 Points essentiels

• Le cours étudie la géométrie affine en utilisant l’algèbre linéaire, sans notions métriques comme distance ou angle.
• Dans toute la suite, k désigne un corps commutatif et tous les k-espaces vectoriels considérés sont de dimension finie.
• Les ensembles (E, F, …) sont en majuscules et les points (a, b, …) sont en minuscules.
• Les espaces vectoriels (!E, !F) et les vecteurs (!v, !w, …) portent une flèche pour être distingués des points et ensembles affines.

📖 2. Espaces affines et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace affine : Un espace affine est un ensemble E muni d’un espace vectoriel directeur !E et d’une application ' : E×E→!E vérifiant les règles de composition des vecteurs et l’existence d’un point correspondant à un vecteur directeur donné.
• Direction d’un espace affine : La direction d’un espace affine est l’espace vectoriel directeur !E, formé des vecteurs !ab associés aux couples de points.
• Vectorialisation en a : La vectorialisation d’un espace affine en un point a donne une structure d’espace vectoriel sur E où a sert d’origine, et où la structure dépend du choix de a.
• Dimension d’un espace affine : La dimension d’un espace affine E est la dimension du corps directeur !E en tant qu’espace vectoriel sur k.

📝 Points essentiels

• (Relation de Chasles) Pour tous points a,b,c de E, on a !ab+!bc=!ac.
• (Translaté par un vecteur) Pour tout a∈E et tout !v∈!E, il existe un unique p∈E tel que !ap=!v.
• Pour tous a,b∈E, on a !aa=!0 et !ab=!ba ; de plus, !ab=!0 équivaut à a=b.
• On a l’équivalence !ab=!ac si et seulement si b=c.
• (vectorialisations) Pour un point a fixé, les applications p↦!ap et !v↦a+!v sont inverses, donc bijectives, et permettent de définir une addition et une multiplication par scalaire sur E.

💡 Astuce mémo

!aa = 0 et !ab = !0 ⇔ a=b (zéro vecteur entre points ⇔ points égaux).

📖 3. Repères cartésiens et coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère cartésien : Un repère cartésien de E est un couple (o,B) où o est un point de E et B est une base de la direction de E.
• Système de coordonnées cartésiennes : Le système de coordonnées cartésiennes d’un point a dans un repère R est le n-uplet des scalaires associés à la décomposition de !oa sur la base de R.
• Abscisse : Dans un espace affine de dimension 1, l’unique coordonnée cartésienne d’un point s’appelle son abscisse.
• Ordonnée : Dans un espace affine de dimension 2, la seconde coordonnée cartésienne d’un point s’appelle son ordonnée.
• Hauteur : Dans un espace affine de dimension 3, la troisième coordonnée cartésienne d’un point s’appelle généralement sa hauteur.

📝 Points essentiels

• Dans un repère R=(o,B) avec B=(!v1,...,!vn), chaque point a s’écrit de façon unique a=o+∑_{i=1}^n ai !vi, ce qui définit ses coordonnées [a1,...,an]_R.
• Si dim E=1, alors [a]_R est l’abscisse de a; si dim E=2, la coordonnée d’indice 2 est l’ordonnée; si dim E=3, la coordonnée d’indice 3 est généralement la hauteur.
• Si R0=(o0,B0) et o0=[z1,...,zn]_R, et si M est la matrice de passage de B à B0, alors pour a=[x1,...,xn]R on a [y1,...,yn]R0 avec (y)=M^{-1}(x-z) sous forme coordonnée y_i=z_i+∑{j=1}^n (M^{-1}){i,j}(x_j-z_j).
• Avec les données de l’exemple, on obtient pour a=(1,2,3) la relation [1,1,2]_R=[1,2,1]_R0 pour les repères R et R0 choisis.

💡 Astuce mémo

Coordonnées : on “ramène” par le décalage o0 via z puis on “change de base” par M^{-1} (forme mentale y=M^{-1}(x−z)).

📖 4. Changement de coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées dans un repère : Les coordonnées d’un point dans un repère sont les coefficients qui expriment le point à partir de l’origine et des vecteurs de direction du repère.
• Matrice de passage : La matrice de passage encode la relation entre deux familles de vecteurs de direction et permet de transformer des coordonnées d’un repère vers un autre.
• Relation affine de coordonnées : La relation affine relie les coordonnées de mêmes coefficients d’un point exprimé avec des directions différentes, avec une partie linéaire et une translation par l’origine.

📝 Points essentiels

• Si les directions vérifient $!o0a=M\,!o\!a$ avec la décomposition via $!v_i,!w_j,!z_i$, alors les coordonnées vérifient pour tout $i\in\{1,\dots,n\}$ : $x_i=z_i+\sum_{j=1}^n m_{i,j}y_j$.
• Dans l’exemple, $a=(1,2,3)$ avec $a=[1,1,2]R$ et $o_0=[1,2,1]R$, les matrices $M$ et $M_1$ donnent $[y_1,y_2,y_3]_{R_0}= (1,2,1)$.
• Le changement de repère s’obtient en imposant l’égalité entre deux écritures du même vecteur : l’indépendance linéaire des directions force l’égalité terme à terme des coordonnées.

💡 Astuce mémo

Formule repère→repère : $x=z+My$ (les composantes nouvelles = anciennes + combinaison linéaire des composantes intermédiaires).

📖 5. Sous-espaces affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Caractérisation barycentrique : Un sous-espace affine est caractérisé par l’appartenance des barycentres de familles pondérées issues de ses points.
• Famille F(X) : La famille F(X) regroupe toutes les familles pondérées de points de X dont la somme des poids n’est pas nulle.
• Barycentre d’une famille pondérée : Le barycentre associe un point de E à une famille finie de points affectés de poids de somme non nulle.

📝 Points essentiels

• Pour une partie non vide X de E, tout barycentre de familles pondérées construites dans F(X) appartient à A↵(X).
• On a A↵(X)=bar(a1,λ1),…,(am,λm) pour tous (a1,λ1),…,(am,λm) dans F(X).
• X est un sous-espace affine de E si et seulement si le barycentre de toute famille pondérée dans F(X) appartient à X.
• Le barycentre d’une famille pondérée de points de X vérifie aussi l’égalité barycentrique avec n’importe quel point de E via la relation ⇣∑i λi⌘·b = ∑i λi·p(ai) pour b = bar(ai,λi).

💡 Astuce mémo

Pense à la règle : “dans X tout barycentre reste dans X” (et réciproquement), donc X est affine si les barycentres ne sortent jamais.

📖 6. Barycentres et points pondérés

🔑 Notions clés & Définitions

• A↵(X) : En géométrie affine, A↵(X) désigne l’ensemble des barycentres des familles de points pondérés construites à partir de X.
• Famille pondérée : Une famille pondérée est une liste de points munis de coefficients tels que la combinaison correspondante soit définie pour former un barycentre.
• Barycentre : Le barycentre d’une famille de points pondérés est le point affine résultant de la combinaison des points avec leurs poids.

📝 Points essentiels

• Si $X$ est non vide, alors $A↵(X)$ est exactement l’ensemble des barycentres des familles pondérées dont tous les points sont dans $X$.
• Pour un sous-espace affine $X$ de $E$, le barycentre de toute famille de points pondérés issus de $F(X)$ appartient à $X.
• Réciproquement, si pour toute famille de points pondérés issue de $F(X)$ le barycentre appartient à $X$, alors $X$ est un sous-espace affine de $E$.
• Les barycentres de deux points distincts forment la droite affine définie par ces points, et les barycentres de trois points non alignés forment le plan affine défini par ces points.

💡 Astuce mémo

Test d’affinité : « tous les barycentres restent dans $X$ » ⇔ $X$ est affine (pour des poids venant de $F(X)$).

📖 7. Repères affines et barycentriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées barycentriques : Les coordonnées barycentriques de p dans un repère affine sont les coefficients qui expriment p comme combinaison de points du repère, avec somme égale à 1.
• Système barycentrique : Le système barycentrique d’un point p est le (n+1)-uplet des coordonnées barycentriques de p dans un repère affine fixé.

📝 Points essentiels

• Dans un repère affine R=(a0,…,an), tout point p admet un (n+1)-uplet unique (0,…,n) tel que 0+···+n=1 et p=bar(a0,0),…,(an,n).
• Si un (n+1)-uplet (\mu{}0,…,\mu{}n) vérifie \mu{}0+···+\mu{}n=1 et p=bar(a0,\mu{}0),…,(an,\mu{}n), alors \mu{}i=i pour i=1,…,n et \mu{}0=0.
• Si R=(a0,…,an) est un repère affine et S=(a0,!a0a1,…,!a0an) un repère cartésien associé, alors un point p de coordonnées barycentriques (0,…,n) dans R a pour coordonnées cartésiennes [1,…,n]S.
• Si S=(o,B) est un repère cartésien avec B=(!v1,…,!vn), alors R=(o,o+!v1,…,o+!vn) est un repère affine, et si p=[1,…,n]S alors les coordonnées barycentriques de p dans R sont (1,1,…,n, n).

💡 Astuce mémo

Barycentres = somme 1 : p s’écrit avec des poids qui totalisent 1, et l’unicité fixe chaque poids.

📖 8. Convexité et enveloppe convexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Enveloppe convexe : Ensemble des points obtenus en prenant l’intersection de toutes les parties convexes de $E$ qui contiennent $X$, et noté $\mathrm{Conv}(X)$.
• Combinaison convexe : Expression d’un point comme barycentre $\mathrm{bar}(a_1,\lambda_1,\dots,a_r,\lambda_r)$ avec $\lambda_i>0$ et $\lambda_1+\cdots+\lambda_r=1$.

📝 Points essentiels

• Si $I$ est l’ensemble des parties convexes de $E$ contenant $X$, alors $\mathrm{Conv}(X)=\bigcap_{Y\in I}Y$, et cet ensemble est convexe.
• $\mathrm{Conv}(X)$ est la plus petite partie convexe de $E$ (pour l’inclusion) qui contient $X$.
• Un point appartient à $\mathrm{Conv}(X)$ exactement quand il peut s’écrire comme une combinaison convexe de points de $X$.
• On a $\mathrm{Conv}(X)=X$ si et seulement si $X$ est convexe.
• Si $Y\subset X$ et $Y$ est non vide, alors $\mathrm{Conv}(Y)\subset \mathrm{Conv}(X)$.
• Pour $\{a_1,\dots,a_r\}\subset E$, $\mathrm{Conv}(\{a_1,\dots,a_r\})=\{\mathrm{bar}(a_1,\lambda_1,\dots,a_r,\lambda_r);\lambda_i>0,\lambda_1+\cdots+\lambda_r=1\}$, et en particulier $\mathrm{Conv}(\{a_1,a_2\})=[a_1a_2]$.

💡 Astuce mémo

Intersection d’abord : l’enveloppe convexe est le plus petit convexe contenant $X$, donc c’est ce que tous les convexes contenant $X$ partagent.

📖 9. Applications affines et projections

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection affine : Application affine qui envoie chaque point sur le sous-espace affine F en restant parallèle au sous-espace vectoriel directeur G.
• Projection linéaire associée : Projection linéaire sur l’espace vectoriel directeur qui fournit la partie linéaire de la projection affine.

📝 Points essentiels

• Pour une projection affine sur F parallèlement à G, l’image de tout point est un point de F et la direction des translations possibles est G.
• Dans le cas de la projection affine p_{F,G}, la dérivée vérifie p_{F,G}’=π_{F,G}, où π_{F,G} est la projection de l’espace vectoriel sur f en parallélisme avec G.
• Si f est une application affine de E vers F, alors f(G) est un sous-espace affine de F de direction f(G’), et si f^{-1}(H) est non vide alors f^{-1}(H) est un sous-espace affine de E de direction f^{-1}(H’).
• Si F=E, l’ensemble des points fixes Inv(f) non vide est un sous-espace affine de direction ker(f’−Id_E’).
• Les propriétés suivantes sont équivalentes : f est une projection affine, f∘f=f, et f’ est un projecteur avec Inv(f)≠∅.
• Si ker(f’−Id_E’)={0}, alors Inv(f) est un singleton.

💡 Astuce mémo

Projection affine ↔ idempotence : f∘f=f (comme un projecteur).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre points (minuscules) et ensembles (majuscules) : tu dois distinguer E/F des points a/b, et !E des points affines.
2. Croire que la relation de Chasles est métrique : ici !ab+!bc=!ac (vecteurs directeurs), sans distance ni angle.
3. Penser que !ab=!0 implique seulement “parallèle” : dans le cours, !ab=!0 équivaut à a=b.
4. Oublier que l’addition sur E dépend du choix d’origine a (vectorialisation) : la structure n’est pas canonique.
5. Se tromper de sens dans changement de repère cartésien : on utilise y=M^{-1}(x−z), pas x−z=M y.
6. Confondre convexité et affine : un sous-espace affine est convexe, mais une partie convexe n’est pas forcément un sous-espace affine.
7. Penser qu’une application est affine “par images de segments” : dans le cours, l’équivalence clé est la conservation des barycentres (Th. 12.2).

✅ Checklist Examen

1. Énoncer les axiomes (A1) et (A2) d’un espace affine et écrire la notation !ab='(a,b).
2. Montrer les propriétés de Proposition 2.5 : !aa=0, symétrie !ab=!ba, et équivalence !ab=!0 ⇔ a=b.
3. Expliquer la vectorialisation en un point a et préciser que l’origine fixée change la structure.
4. Définir repère cartésien R=(o,B) et écrire l’écriture unique a=o+∑ ai!vi, donc [a1,...,an]_R.
5. Savoir donner le changement de coordonnées cartésiennes : y=M^{-1}(x−z) avec o0=[z1,...,zn]_R et la matrice de passage M.
6. Définir un sous-espace affine F=a+!F et caractériser F par le fait que le barycentre de toute famille pondérée de F reste dans F (Th. 8.9).
7. Définir coordonnées barycentriques dans un repère affine (a0,...,an) via p=bar(a0,\mu{}0),..., (an,\mu{}n) avec \mu{}0+...+\mu{}n=1 et l’unicité (Th. 9.6).
8. Relier barycentriques et cartésiennes : si S est cartésien associé, alors p=[1,...,n]_S quand p a pour barycentriques (0,...,n).
9. Définir segment [ab] et convexité : X convexe ⇔ [ab]⊂X pour tout a,b∈X, et décrire Conv(X) comme plus petit convexe contenant X.
10. Définir application affine f et l’application linéaire associée !f ; puis caractériser translation (Th. 11.4) et homothétie (Th. 11.6).
11. Savoir identifier une projection affine : f∘f=f ⇔ !f projecteur avec Inv(f)≠∅ (Cor. 11.12).
12. Appliquer la caractérisation barycentrique : f affine ⇔ f conserve les barycentres (Th. 12.2).