Hoja de repaso: Géométrie, probabilités et analyse

📋 Plan du Cours

1. Combinatoire et dénombrement
2. Suites numériques
3. Vecteurs et géométrie de l’espace
4. Propriétés des plans et applications
5. Épreuves de Bernoulli et loi binomiale
6. Limites et asymptotes
7. Produit scalaire et orthogonalité
8. Dérivation et convexité
9. Convexité et points d’inflexion
10. Sommes et échantillons aléatoires
11. Fonction logarithme népérien

📖 1. Combinatoire et dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinal d’un ensemble fini : Un ensemble fini de cardinal n est un ensemble dont les éléments peuvent être numérotés de 1 à n, avec un numéro unique par élément, et son cardinal est noté card(E)=n.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 L’intersection A∩B contient les éléments communs à A et B, tandis que la réunion A∪B contient les éléments appartenant à au moins l’un des deux ensembles.

📐 Formule — Pour deux parties A et B d’un ensemble fini, card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B), et si A et B sont disjointes, card(A∪B)=card(A)+card(B).

📐 Formule — Si E et F sont finis, alors card(E×F)=card(E)×card(F), et pour un ensemble E de cardinal n, card(E^p)=n^p.

📐 Formule — Le nombre d’arrangements de k éléments distincts parmi n éléments est n(n-1)…(n-k+1)=n!/(n-k)! pour 1≤k≤n.

📐 Formule — Le nombre de combinaisons de k éléments parmi n est noté (n k) et vaut n!/[k!(n-k)!] pour 0≤k≤n.

Compléments

📐 Formule — Le nombre de parties d’un ensemble E à n éléments est 2^n.

📐 Formule — Les coefficients binomiaux vérifient (n k)=(n n-k), (n k)=(n-1 k-1)+(n-1 k), et leur somme de k=0 à n vaut 2^n.

💡 Astuce mémo

Réunir, multiplier, choisir

📖 2. Suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite (u_n) est croissante si, pour tout n∈N, u_{n+1}≥u_n, et elle est strictement croissante si u_{n+1}>u_n.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Une suite arithmétique de raison r vérifie u_{n+1}=u_n+r et son terme général est u_n=u_0+nr.

📐 Formule — La somme des termes d’une suite arithmétique vérifie u_0+u_1+…+u_n=(n+1)(u_0+u_n)/2.

📐 Formule — Une suite géométrique de raison q vérifie u_{n+1}=u_nq et son terme général est u_n=u_0q^n.

📐 Formule — Pour q≠1, la somme d’une suite géométrique vérifie u_0+u_1+…+u_n=u_0(1-q^{n+1})/(1-q).

🔄 Processus — Pour démontrer une proposition P_n par récurrence à partir du rang n_0, il faut établir l’initialisation de P_{n_0}, puis l’hérédité montrant que P_k implique P_{k+1} pour k≥n_0.

📌 Une suite croissante et majorée ou décroissante et minorée est convergente.

📐 Formule — Pour la suite géométrique (q^n), si q>1 la limite vaut +∞, si q=1 elle vaut 1, si -1<q<1 elle vaut 0, et si q≤-1 la suite n’a pas de limite.

💡 Astuce mémo

Récurrence → terme → limite

📖 3. Vecteurs et géométrie de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs u⃗ et v⃗ sont colinéaires s’il existe un réel k tel que u⃗=kv⃗ ou v⃗=ku⃗.
• Base de l’espace : Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l’espace et tout vecteur de l’espace s’écrit de manière unique sous la forme x i⃗+y j⃗+z k⃗.
• Repère de l’espace : Formé d’un point O et de trois vecteurs i⃗, j⃗, k⃗ non coplanaires, et tout point M possède alors des coordonnées uniques vérifiant OM⃗=x i⃗+y j⃗+z k⃗.
• Vecteurs coplanaires : Trois vecteurs sont coplanaires si les points obtenus en les représentant depuis un même point sont coplanaires.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Une droite est caractérisée par un point et un vecteur directeur non nul, et ses points M vérifient AM⃗=xu⃗ pour un réel x.

📐 Formule — Deux vecteurs non colinéaires u⃗ et v⃗, associés à un point A, définissent un plan dont les points M vérifient AM⃗=xu⃗+yv⃗ pour deux réels x et y.

📌 Deux droites de l’espace peuvent être sécantes, parallèles ou non coplanaires ; lorsqu’elles sont coplanaires et ont des vecteurs directeurs colinéaires, elles sont parallèles ou confondues.

Compléments

📌 Une droite et un plan peuvent être sécants, parallèles ou avec la droite incluse dans le plan.

💡 Astuce mémo

Point + direction pour une droite ; point + deux directions pour un plan

📖 4. Propriétés des plans et applications

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Si un plan contient deux droites sécantes parallèles à un autre plan, alors ces deux plans sont parallèles.

📌 Si une droite est parallèle à un plan, tout plan la contenant et coupant ce plan le coupe suivant une droite parallèle à cette droite.

📌 Dans le théorème du toit, si trois plans deux à deux sécants déterminent deux droites parallèles dans un même plan, alors leur troisième droite d’intersection est parallèle à ces deux droites.

📌 Pour montrer que trois vecteurs sont coplanaires, il suffit d’exprimer l’un comme combinaison linéaire des deux autres ; ici n = AS + DS.

Compléments

🔄 Processus — Dans le repère (O ; OB, OC, OS), le point K défini par SK = 1/3 SD a pour coordonnées (-1/3 ; 0 ; 2/3).

💡 Astuce mémo

Deux plans, trois intersections : le toit

📖 5. Épreuves de Bernoulli et loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Univers probabilisé : Un univers probabilisé est constitué d’un univers fini Ω et d’une probabilité P sur Ω telle que la somme des probabilités des issues de Ω vaut 1.
• Variable aléatoire : Associe un nombre réel à chaque éventualité d’une expérience aléatoire.
• Loi de Bernoulli : Une épreuve de Bernoulli possède deux issues, appelées succès et échec, et sa variable de Bernoulli vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec.

📝 Points essentiels

🔄 Processus — Pour une succession indépendante d’épreuves, l’univers des possibles est le produit cartésien Ω1 × Ω2 × … × Ωn et la probabilité d’une issue composée est le produit des probabilités de ses composantes.

📐 Formule — Pour une variable de Bernoulli de paramètre p, P(X=1)=p, P(X=0)=1-p, E(X)=p et V(X)=p(1-p).

📐 Formule — Si X suit une loi binomiale B(n,p), alors pour 0 ≤ k ≤ n, P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k), E(X)=np, V(X)=np(1-p) et σ(X)=√V(X).

💡 Astuce mémo

Bernoulli répété donne binomiale

📖 6. Limites et asymptotes

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite en l’infini : Dire que f(x) tend vers l lorsque x tend vers +∞ ou −∞ signifie que f(x) appartient à tout intervalle ouvert contenant l dès que x est suffisamment éloigné dans la direction considérée.
• Asymptote horizontale : Si lim quand x tend vers +∞ ou −∞ de f(x) vaut L, alors la droite d’équation y=L est une asymptote horizontale à la courbe de f dans la direction considérée.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Les fonctions 1/x^k avec k impair non nul n’ont pas de limite en 0, car leurs limites à gauche et à droite sont respectivement −∞ et +∞, tandis que celles avec k pair ont une limite +∞ des deux côtés.

📌 Le théorème des gendarmes affirme que si u(x) ≤ f(x) ≤ v(x) et si u et v tendent toutes deux vers L, alors f tend vers L.

Compléments

• Pour tout entier naturel non nul k, lim quand x tend vers +∞ de x^k vaut +∞ et lim quand x tend vers ±∞ de 1/x^k vaut 0.

💡 Astuce mémo

À l’infini, près de a : lire la direction

📖 7. Produit scalaire et orthogonalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs orthogonaux : Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul ; pour deux vecteurs non nuls, cela équivaut à former un angle droit.
• Vecteur normal : Un vecteur non nul est normal à un plan s’il est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un repère orthonormé de l’espace, si u=(x,y,z) et v=(x',y',z'), alors u·v=xx'+yy'+zz'.

📐 Formule — Pour deux vecteurs non nuls, u·v=||u|| ||v|| cos(u;v), donc cos(u;v)=(u·v)/(||u|| ||v||).

📌 Une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est normal à ce plan ; elle est orthogonale au plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Compléments

🔄 Processus — Le projeté orthogonal M’ d’un point M sur un plan P appartient à P et le segment MM’ est orthogonal à P ; M’ est le point de P le plus proche de M.

💡 Astuce mémo

Produit nul : orthogonalité

📖 8. Dérivation et convexité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction convexe : Une fonction est convexe sur un intervalle si sa courbe est située au-dessous de chacune de ses sécantes.
• Dérivée seconde : D’une fonction est la dérivée de sa dérivée, notée f'' ou f^(2).

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une fonction g(x)=f(ax+b), on a g'(x)=a f'(ax+b) lorsque f est dérivable en ax+b.

📐 Formule — Pour une composée g=f∘u, on a g'(x)=u'(x)f'(u(x)).

📌 Une fonction dérivable est convexe si et seulement si sa dérivée est croissante, et elle est concave si et seulement si sa dérivée est décroissante.

📌 Une fonction deux fois dérivable est convexe si et seulement si sa dérivée seconde est positive, et concave si et seulement si sa dérivée seconde est négative.

💡 Astuce mémo

Seconde dérivée : signe et courbure

📖 9. Convexité et points d’inflexion

🔑 Notions clés & Définitions

• Point d’inflexion : Un point où la courbe représentative traverse sa tangente et où la convexité de la fonction change.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 La courbe d’une fonction convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes, tandis que la courbe d’une fonction concave est au-dessous de chacune de ses tangentes.

📌 Si une fonction est deux fois dérivable et si sa dérivée seconde s’annule en changeant de signe en a, alors le point de coordonnées (a,f(a)) est un point d’inflexion.

Compléments

• Pour f(x)=x³, la fonction est concave sur ]−∞;0] et convexe sur [0;+∞[, donc l’origine O(0;0) est un point d’inflexion.

💡 Astuce mémo

f′ croît : convexe ; f′ décroît : concave

📖 10. Sommes et échantillons aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de variables aléatoires : La somme de deux variables aléatoires réelles X et Y est la variable aléatoire qui associe à chaque issue ω le réel X(ω)+Y(ω), et se note X+Y.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une variable aléatoire X prenant les valeurs x₁,…,xₙ avec les probabilités p₁,…,pₙ, l’espérance est E(X)=∑ᵢ₌₁ⁿ pᵢxᵢ.

📐 Formule — L’espérance est linéaire : E(X+Y)=E(X)+E(Y) et E(aX)=aE(X) pour tout réel a.

📐 Formule — La variance d’une variable aléatoire X vérifie V(X)=E((X−E(X))²)=E(X²)−E(X)².

📌 Si X et Y sont indépendantes, alors V(X+Y)=V(X)+V(Y), tandis que V(X+b)=V(X) pour toute constante b.

📐 Formule — Pour tout réel a, V(aX)=a²V(X) et σ(aX)=|a|σ(X).

📐 Formule — Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors E(X)=np, V(X)=np(1−p) et σ(X)=√(np(1−p)).

📐 Formule — La moyenne empirique Mₙ=Sₙ/n vérifie E(Mₙ)=E(X), V(Mₙ)=V(X)/n et σ(Mₙ)=σ(X)/√n.

Compléments

📐 Formule — Pour un échantillon indépendant et identiquement distribué X₁,…,Xₙ de même loi que X, la somme Sₙ vérifie E(Sₙ)=nE(X), V(Sₙ)=nV(X) et σ(Sₙ)=√nσ(X).

💡 Astuce mémo

Espérance s’additionne, variance s’additionne si indépendance

📖 11. Fonction logarithme népérien

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction logarithme népérien : La bijection réciproque de la fonction exponentielle, définie de ]0;+∞[ vers R.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Pour x>0 et y réel, ln(x)=y si et seulement si x=eʸ ; en particulier, ln(eˣ)=x et eˡⁿ⁽ˣ⁾=x.

📐 Formule — Pour a,b>0 et tout entier relatif n, ln(ab)=ln(a)+ln(b), ln(1/a)=−ln(a), ln(b/a)=ln(b)−ln(a) et ln(aⁿ)=nln(a).

📌 La fonction ln est strictement croissante et dérivable sur ]0;+∞[, avec ln′(x)=1/x.

• La fonction ln vérifie ln(1)=0, elle est négative sur ]0;1[, positive sur ]1;+∞[, et ses limites sont −∞ en 0⁺ et +∞ en +∞.

📌 Pour résoudre ln(A(x))=ln(B(x)) ou comparer ln(A(x)) et ln(B(x)), il faut d’abord imposer A(x)>0 et B(x)>0 ; sur cet ensemble, ln(A(x))=ln(B(x)) équivaut à A(x)=B(x) et ln(A(x))<ln(B(x)) équivaut à A(x)<B(x).

Compléments

📐 Formule — Si u est dérivable et strictement positive sur un intervalle, alors (ln(u))′=u′/u sur cet intervalle.

🔄 Processus — Pour étudier une suite définie par uₙ₊₁=f(uₙ), on peut montrer par récurrence qu’elle reste dans un intervalle stable, étudier le signe de uₙ₊₁−uₙ, puis utiliser la convergence monotone si la suite est monotone et bornée.

💡 Astuce mémo

ln et exp sont réciproques

📊 Tableaux de synthèse

Arrangements et combinaisons

Notion	Ordre	Formule
Arrangement de k parmi n	Pris en compte	n!/(n-k)!
Combinaison de k parmi n	Non pris en compte	n!/[k!(n-k)!]
Permutation de n éléments	Pris en compte, avec k=n	n!

Repères de l’orthogonalité spatiale

Notion	Critère	Conséquence
Vecteurs orthogonaux	u·v=0	Directions perpendiculaires si les vecteurs sont non nuls
Droite orthogonale à un plan	Vecteur directeur normal au plan	La droite est orthogonale à toutes les droites du plan
Plans perpendiculaires	Vecteurs normaux orthogonaux	Les deux plans sont perpendiculaires

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Le cardinal ne désigne pas le nombre d’éléments d’un ensemble infini.
2. Une suite croissante peut avoir des termes égaux ; elle n’est strictement croissante que si toutes les inégalités sont strictes.
3. Des vecteurs colinéaires peuvent avoir des sens opposés.
4. Le théorème concerne trois plans deux à deux sécants, et non deux plans quelconques.
5. Un événement est une partie de Ω, tandis qu’une issue est un élément de Ω.
6. À −∞, la limite de x^k dépend de la parité de k : elle vaut −∞ si k est impair et +∞ si k est pair.
7. Le produit scalaire nul peut aussi provenir de l’un des deux vecteurs nul.