Hoja de repaso: Introduction aux suites et preuve par récurrence

📋 Plan du Cours

1. Définitions et notations des suites
2. Définition explicite et récurrente
3. Représentation graphique des suites par récurrence
4. Suites monotones croissantes décroissantes constantes
5. Suites majorées minorées bornées
6. Suites arithmétiques raison formule et somme
7. Suites géométriques raison formule et somme
8. Principe de récurrence et principe d’escalier
9. Rédiger une preuve par récurrence
10. Applications du raisonnement par récurrence

📖 1. Définitions et notations des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une liste ordonnée et numérotée de nombres réels.
• Terme de rang n : Le terme de rang n est le nombre réel associé à l’indice n dans la suite.
• Indice n : L’indice n est un entier qui indique le rang (le rang ou position) du terme dans la suite.
• Terme initial : Le terme initial est le premier terme de la suite, souvent noté u0 ou u1.
• Définition explicite : Une suite est définie explicitement quand chaque terme s’obtient directement par une formule un = f(n).

📝 Points essentiels

• On note une suite (un) ou (un)n∈N, et les réels un sont les termes de la suite.
• Les indices n sont des entiers, et le terme suivant s’écrit u_{n+1} tandis que le précédent s’écrit u_{n-1}.
• Le terme de rang n est u_n, et le terme suivant est u_{n+1} (pas u0, u41, un sans indice).
• Ne confonds pas (un) qui désigne la suite et un sans parenthèses qui désigne un terme.
• Une suite définie explicitement permet de calculer n’importe quel terme directement à partir de n.
• Une suite définie par récurrence nécessite le terme initial puis le calcul successif des termes précédents pour atteindre un rang donné.

💡 Astuce mémo

Indice en bas : u_n, u_{n+1}, u_{n-1} (le n “descend” en indice).

📖 2. Définition explicite et récurrente

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de récurrence : Une relation de récurrence exprime un terme $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, ce qui permet de calculer la suite pas à pas.
• Fonction de récurrence : Une fonction de récurrence est la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$, reliant directement deux termes consécutifs.
• Suite définie par récurrence : Une suite définie par récurrence est déterminée par une valeur initiale et une règle donnant $u_{n+1}$ à partir de $u_n$.
• Monotonie à partir d’un rang : La monotonie à partir d’un rang $n_0$ décrit le sens de variation seulement pour tous les indices $n\ge n_0$.

📝 Points essentiels

• Si $u_{n+1}=f(u_n)$, alors on peut calculer $u_1,u_2,\dots$ successivement à partir de $u_0$.
• Une suite est croissante à partir de $n_0$ si $u_{n+1}\ge u_n$ pour tout $n\ge n_0$.
• Une suite est décroissante à partir de $n_0$ si $u_{n+1}\le u_n$ pour tout $n\ge n_0$.
• Une suite est constante à partir de $n_0$ si $u_{n+1}=u_n$ pour tout $n\ge n_0$.
• Sans précision de $n_0$, la monotonie est considérée à partir du rang initial.
• La monotonie est dite stricte si l’inégalité entre $u_{n+1}$ et $u_n$ est stricte (toujours $<$ ou toujours $>$).

💡 Astuce mémo

Récurrence : $u_{n+1}=f(u_n)$ → même recette, un terme après l’autre.

📖 3. Représentation graphique des suites par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite est dite croissante si, à partir d’un certain rang, chaque terme est supérieur ou égal au précédent.
• Suite décroissante : Une suite est dite décroissante si, à partir d’un certain rang, chaque terme est inférieur ou égal au précédent.
• Différence un+1 − un : La différence un+1 − un compare deux termes consécutifs et permet de déduire le sens des variations.
• Rapport vn+1 / vn : Le rapport vn+1 / vn compare deux termes consécutifs par un facteur multiplicatif et sert à étudier les variations.

📝 Points essentiels

• Pour étudier la croissance, on calcule un+1 − un et on montre son signe (ici strictement positif).
• Si un+1 − un > 0 pour tout n ≥ n0, alors la suite (un) est croissante à partir de n0.
• Pour étudier la décroissance, on calcule vn+1 / vn et on encadre ce rapport.
• Si 0 < vn+1 / vn ≤ 1 pour tout n ≥ n0, alors la suite (vn) est décroissante à partir de n0.
• Dans l’exemple un = n² + 3n, on obtient un+1 − un = 2n + 4, donc > 0 car n ≥ 0.
• Dans l’exemple vn = (1/4)^n n², on obtient vn+1 / vn = (1/4)×(n+1)²/n² et on encadre (n+1)²/n² ≤ 2, d’où vn+1 / vn ≤ 1/2 < 1 et aussi ≥ 1/4.

💡 Astuce mémo

Croissance : je regarde un+1 − un (signe). Décroissance : je regarde vn+1/vn (facteur ≤ 1).

📖 4. Suites monotones croissantes décroissantes constantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite strictement croissante : Une suite est strictement croissante si chaque terme est strictement plus grand que le précédent.
• Suite strictement décroissante : Une suite est strictement décroissante si chaque terme est strictement plus petit que le précédent.
• Suite constante : Une suite est constante si tous ses termes sont égaux entre eux.
• Suite arithmétique : Une suite arithmétique vérifie une relation de la forme $u_{n+1}=u_n+r$ avec une raison $r$ constante.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique de raison $r$, si $r>0$ alors la suite est strictement croissante.
• Pour une suite arithmétique de raison $r$, si $r<0$ alors la suite est strictement décroissante.
• Pour une suite arithmétique de raison $r$, si $r=0$ alors la suite est constante.
• Pour une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$, la formule explicite est $u_n=u_0+nr$.
• Pour $v_n=25n^2-10n+6$, on peut étudier $f(x)=25x^2-10x+6$ : sa parabole est tournée vers le haut, donc son minimum sur $\mathbb R$ est atteint au sommet.
• Le sommet de $f(x)=ax^2+bx+c$ a pour abscisse $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et pour ordonnée $\beta=f(\alpha)$, ici $\alpha=0,2$ et $\beta=5$, donc $v_n\ge 5$ pour tout $n\in\mathbb N$.

💡 Astuce mémo

Raison $r$ → signe : $+$ croît, $-$ décroît, $0$ constant ; parabole vers le haut → minimum au sommet.

📖 5. Suites majorées minorées bornées

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : Une suite est majorée s’il existe un réel M tel que tous ses termes vérifient $u_n\le M$.
• Suite minorée : Une suite est minorée s’il existe un réel m tel que tous ses termes vérifient $u_n\ge m$.
• Suite bornée : Une suite est bornée s’il existe deux réels m et M tels que $m\le u_n\le M$ pour tout $n$.
• Monotonie : Une suite est monotone si elle est soit toujours croissante, soit toujours décroissante à partir d’un certain rang.

📝 Points essentiels

• Pour montrer qu’une suite est majorée, il suffit de trouver un M qui majore tous les termes $u_n$.
• Pour montrer qu’une suite est minorée, il suffit de trouver un m qui minore tous les termes $u_n$.
• Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
• Si une suite est monotone et bornée, elle converge (théorème de convergence monotone).
• Dans une suite géométrique de raison $q>0$, la monotonie dépend de $q$ et du signe de $u_0$ : $0<q<1$ donne décroissance si $u_0>0$ et croissance si $u_0<0$, tandis que $q>1$ donne croissance si $u_0>0$ et décroissance s
• memoryHook

💡 Astuce mémo

Majorée = plafond, minorée = plancher, bornée = les deux (m et M).

📖 6. Suites arithmétiques raison formule et somme

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite où chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante $q$.
• Raison $q$ : Constante de multiplication qui relie deux termes consécutifs d’une suite géométrique.
• Terme général $u_n$ : Expression donnant directement le terme de rang $n$ en fonction de $n$ et des paramètres de la suite.
• Somme géométrique : Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique, calculable via une formule fermée.

📝 Points essentiels

• Si $u_n=u_0\,q^n$, alors $u_n$ s’exprime directement à partir de $u_0$ et de $q$.
• Dans l’exemple, $u_0=2$ et $q=4$, donc $u_n=2\times 4^n$.
• Si $u_0>0$ et $q>1$, alors la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
• Pour $S=\sum_{i=3}^{10}u_i$, on compte $10-3+1=8$ termes.
• La somme géométrique se calcule par $\sum_{k=0}^{m} a r^k=a\,\dfrac{1-r^{m+1}}{1-r}$, ici avec une factorisation menant à $S=2\times 4^3\,\dfrac{1-4^8}{1-4}$.
• Dans l’exemple, $S=2796160$ après simplification de $128\times\dfrac{1-65536}{-3}$.

💡 Astuce mémo

Croissance : $u_0>0$ et $q>1$ ⇒ flèche vers le haut ; Somme : $\text{premier}\times\dfrac{1-q^{\text{nb termes}}}{1-q}$.

📖 7. Suites géométriques raison formule et somme

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de récurrence : Principe de logique qui permet de prouver qu’une proposition P(n) est vraie pour tous les entiers n à partir d’un rang n0, grâce à une initialisation et une hérédité.
• Proposition P(n) : Énoncé dépendant d’un entier naturel n, pouvant être une égalité, une inégalité ou une propriété à démontrer.
• Initialisation : Étape où l’on vérifie que la proposition P(n) est vraie pour un rang de départ n0 fixé.
• Hérédité : Étape où l’on montre que, pour tout n ≥ n0, la vérité de P(n) entraîne celle de P(n+1).
• Hypothèse de récurrence : Supposition utilisée dans l’hérédité : on suppose P(n) vraie pour un certain n ≥ n0 afin de prouver P(n+1).

📝 Points essentiels

• La récurrence exige deux conditions : P(n0) vraie et, pour tout n ≥ n0, P(n) ⇒ P(n+1).
• Si les deux conditions sont vérifiées, alors P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0.
• En pratique, on choisit souvent n0 = 0 pour obtenir une propriété vraie sur tout N.
• Le principe de récurrence s’applique aux entiers naturels N, pas aux résultats valables pour tous les réels.
• La rédaction attendue comporte 4 étapes : énoncer P(n), initialiser en n0, prouver l’hérédité, conclure pour n ≥ n0.

💡 Astuce mémo

Escalier : première marche (initialisation) puis saut d’une marche à la suivante (hérédité) ⇒ toutes les marches atteintes.

📖 8. Principe de récurrence et principe d’escalier

🔑 Notions clés & Définitions

• Axiome de récurrence : L’axiome de récurrence garantit qu’une propriété vraie à partir d’un rang initial et héréditaire reste vraie pour tous les entiers suivants.
• Hypothèse de récurrence : L’hypothèse de récurrence est l’assertion supposée vraie au rang n pour pouvoir prouver la propriété au rang n+1.
• Hérédité : L’hérédité est l’étape où l’on démontre que la vérité de P(n) entraîne la vérité de P(n+1).
• Initialisation : L’initialisation est la vérification de la propriété P(n0) au rang de départ avant d’appliquer l’axiome de récurrence.
• Principe d’escalier : Le principe d’escalier formalise l’idée que si on “monte” d’un rang à l’autre sans trou, la propriété finit par être vraie pour tous les entiers concernés.

📝 Points essentiels

• Pour conclure par récurrence, on vérifie P(n0) puis on prouve que P(n) ⇒ P(n+1), et l’axiome donne la vérité pour tout n ≥ n0.
• Dans l’étape d’hérédité, on explicite exactement la proposition à montrer : P(n+1), puis on l’obtient en utilisant l’hypothèse P(n).
• Le raisonnement par récurrence sert à démontrer des égalités de suites (souvent via une formule explicite).
• Le raisonnement par récurrence sert aussi à démontrer des inégalités en travaillant avec des majorants ou des minorants.
• La monotonie d’une suite peut se prouver par récurrence quand on ne peut pas utiliser les méthodes habituelles, car cela revient à établir une inégalité entre termes successifs.
• Exemple A : pour u0=0 et un+1=√(1+un^2), on montre par récurrence que un=√n pour tout n∈N en utilisant l’identité un+1=√(1+un^2).

💡 Astuce mémo

Initialisation = “base”, Hérédité = “montée”, Conclusion = “tout le monde suit” (P(n0) puis P(n)→P(n+1)).

📖 9. Rédiger une preuve par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de récurrence : Méthode de preuve qui établit qu’une propriété est vraie pour tous les entiers à partir d’une initialisation puis d’une hérédité.
• Initialisation : Étape où l’on vérifie directement la propriété P(n) pour un premier entier (souvent 0 ou 1) afin d’enclencher la récurrence.
• Hérédité : Étape où l’on suppose P(n) vraie pour un entier n puis on démontre que cela entraîne P(n+1) vraie.
• Hypothèse de récurrence : Supposition formelle utilisée dans l’hérédité : on considère qu’il existe un entier n tel que P(n) soit vraie.
• Conclusion par récurrence : Étape finale où l’on combine initialisation et hérédité pour conclure que P(n) est vraie pour tout entier du domaine.

📝 Points essentiels

• Écrire clairement la propriété sous la forme P(n) puis choisir un premier entier de départ (ex. n=1 ou n=0).
• Initialisation : calculer directement P(1) ou P(0) et vérifier l’égalité ou l’inégalité demandée.
• Hérédité : partir de P(n) et transformer l’expression de P(n+1) en utilisant P(n) (souvent en ajoutant le terme manquant).
• Dans l’exemple des sommes : supposer 1+2+…+n = n(n+1)/2 puis ajouter (n+1) pour obtenir 1+2+…+n+(n+1) = (n+1)(n+2)/2.
• Dans l’exemple de la suite : utiliser les inégalités de P(n) et la monotonie de f pour encadrer f(un+1) et obtenir les bornes de P(n+1).
• Conclure : une fois initialisation et hérédité établies, on affirme que la propriété vaut pour tout entier n ≥ 1 (ou tout n ∈ N selon le départ).

💡 Astuce mémo

Initialisation = vérifier au départ ; Hérédité = P(n) ⇒ P(n+1) ; Conclusion = P(n) pour tous les n.

📖 10. Applications du raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite définie par récurrence : Suite numérique où chaque terme est calculé à partir du précédent via une relation donnée.
• Principe de récurrence : Méthode de preuve qui établit une propriété pour tous les entiers naturels en prouvant initialisation puis hérédité.
• Propriété P(n) : Énoncé dépendant de n qu’on choisit pour structurer la preuve par récurrence.
• Croissance d’une suite : Propriété d’une suite où chaque terme est inférieur ou égal au suivant, ce qui traduit une progression.
• Majorée et minorée : Une suite est majorée s’il existe un réel qui la dépasse, et minorée s’il existe un réel qui reste en dessous.

📝 Points essentiels

• Exemple : $u_0=1$ et $u_{n+1}=3u_n-1$ pour tout $n\in\mathbb N$.
• Pour montrer que $(u_n)$ est croissante, on prouve une inégalité valable pour tout $n$ via une propriété $P(n)$.
• Dans l’exemple, on choisit $P(n)$ sous la forme $u_{n+1}\ge u_n^4$ (selon le texte) puis on fait initialisation et hérédité.
• Initialisation : vérifier l’inégalité pour $n=0$ en remplaçant $u_0=1$ dans $P(0)$.
• Hérédité : à partir de l’hypothèse $P(n)$, on exprime $u_{n+2}$ et $u_{n+1}$ avec la relation $u_{k+1}=3u_k-1$, puis on factorise la différence.
• Conclusion : une fois initialisation et hérédité établies, le principe de récurrence donne la propriété pour tout $n$, donc la croissance annoncée dans la partie I).

💡 Astuce mémo

P(n) = base + passage : initialisation puis hérédité pour obtenir la propriété pour tous les n.

📊 Tableaux de synthèse

Monotonie : méthodes et critères

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre (un) (la suite) et un (un terme) : écrire un sans parenthèses au lieu de (un) dans une définition ou une propriété.
2. Oublier l’indice en indice : écrire u0, u41, un au lieu de u_0, u_41, u_n.
3. Confondre un+1 et un + 1 : un+1 est le terme suivant, tandis que un + 1 est un calcul sur le terme.
4. Mélanger monotonie “à partir de n0” et monotonie “sans précision” : sans n0, on considère le rang initial.
5. Croire qu’une suite monotone est forcément bornée : le cours ne dit pas l’inverse, il faut majorant/minorant pour conclure bornée.
6. En récurrence, oublier l’hérédité ou la formuler pour P(n) au lieu de P(n+1) : la preuve doit montrer P(n) ⇒ P(n+1).
7. Dans les suites géométriques, traiter q<0 comme monotone : le cours dit que si q<0 alors (un) n’est pas monotone.

✅ Checklist Examen

1. Écrire correctement les notations : terme de rang n = u_n, terme suivant = u_{n+1}, précédent = u_{n-1}, et distinguer (u_n) de u_n.
2. Distinguer définition explicite (u_n=f(n)) et définition par récurrence (u_{n+1}=f(u_n)) et savoir quel calcul est possible dans chaque cas.
3. Pour une suite définie par récurrence, construire les premiers termes en utilisant u_{n+1}=f(u_n} (exemple avec u0=1 et u_{n+1}=(5u_n+1)/(u_n+2)).
4. Montrer qu’une suite est croissante/décroissante/constante à partir d’un rang n0 en utilisant un+1−un ou un+1/u_n selon la méthode du cours.
5. Reproduire l’exemple : pour u_n=n^2+3n, calculer u_{n+1}−u_n et conclure au signe pour n∈N.
6. Reproduire l’exemple : pour v_n=(1/4)^n n^2, calculer v_{n+1}/v_n, encadrer (n+1)^2/n^2 et conclure à la décroissance.
7. Définir majorée, minorée, bornée à partir de n0 et savoir ce qu’est un majorant/minorant.
8. Montrer qu’une suite est minorée via une étude de fonction f(x) (parabole tournée vers le haut) et conclure avec le minimum au sommet (exemple v_n=25n^2−10n+6).
9. Pour une suite arithmétique, utiliser u_{n+1}=u_n+r, donner la formule explicite u_n=u_0+nr et conclure la monotonie selon le signe de r.
10. Calculer une somme arithmétique de termes consécutifs avec (nombre de termes)×(1er+dernier)/2 et appliquer à l’exemple S=∑_{i=0}^{18}u_i.
11. Pour une suite géométrique, utiliser u_{n+1}=u_n×q, donner u_n=u_0 q^n et conclure la monotonie selon q et le signe de u0 (et rappeler le cas q<0).
12. Calculer une somme géométrique avec u0×(1−q^{n+1})/(1−q) (ou (n+1)u0 si q=1) et appliquer à l’exemple S=∑_{i=3}^{10}u_i.
13. Rédiger une preuve par récurrence en 4 étapes : énoncer P(n), initialiser P(n0), prouver l’hérédité P(n)⇒P(n+1), conclure pour tout n≥n0.
14. Appliquer la récurrence à un exemple : montrer u_n=√n pour u0=0 et u_{n+1}=√(1+u_n^2), ou montrer une égalité de somme 1+…+n=n(n+1)/2 pour n≥1, ou encore encadrer une suite par majorant/minorant (exemple u0=3, u_{n+1}=1/