Hoja de repaso: Principes fondamentaux de la dynamique des solides

📋 Plan du Cours

1. Principe fondamental de la dynamique
2. Théorème du moment cinétique
3. Dérivée d'un vecteur en changement de référentiel
4. Cinématique du solide indéformable
5. Champ de vitesse et composition des vitesses
6. Centre de masse et quantité de mouvement
7. Moment cinétique et matrice d'inertie
8. Moments principaux et axes principaux d'inertie
9. Énergie cinétique du solide
10. Rotation autour d'un axe fixe
11. Équations d'Euler pour la rotation
12. Frottement solide et lois de Coulomb

📖 1. Principe fondamental de la dynamique

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel galiléen : Référentiel galiléen : référentiel dans lequel les lois de Newton s’écrivent sous leur forme classique pour les mouvements inertiels.
• Quantité de mouvement : Quantité de mouvement : grandeur vectorielle définie par $p=m\u0003v$, dont la dérivée temporelle donne la résultante des forces.
• Moment cinétique : Moment cinétique : grandeur vectorielle $\u0003L_O=\u0003r\wedge\u0003p$ mesurant la rotation de la quantité de mouvement autour du point $O$.
• Moment d’une force : Moment d’une force : grandeur vectorielle $\u0003N_O=\u0003r\wedge\u0003F$ associée à l’effet de rotation d’une force autour du point $O$.
• Dérivée d’un vecteur : Dérivée d’un vecteur : règle de changement de référentiel reliant la dérivée dans $R$ et dans $R'$ via le vecteur rotation instantanée $\u03a9_{R'/R}$.

📝 Points essentiels

• Seconde loi de Newton : dans un référentiel galiléen, $\u0003\dot p=\u0003F$ avec $\u0003p=m\u0003v$ et $\u0003\dot p=m\u0003a$.
• Cinématique de la particule : $\u0003r=\u0003{OA}$, $\u0003v=\u1e57\u0003r$ et $\u0003a=\u1e57\u0003v=\u1e57\u00b2\u0003r$.
• Moment d’une force : $\u0003N_O=\u0003r\wedge\u0003F$ et $\u0003N_O$ est perpendiculaire au plan formé par $\u0003r$ et $\u0003F$.
• Moment cinétique : $\u0003L_O=\u0003r\wedge\u0003p$ et sa dérivée vérifie $\u00b7\u0003L_O=\u0003N_O$.
• Théorème du moment cinétique : la variation temporelle du moment cinétique autour de $O$ est égale au moment résultant des forces autour de $O$.
• Changement de référentiel (dérivée) : pour un vecteur $\u0003u$, $\u00b7\u0003u|R=\u00b7\u0003u|{R'}+\u03a9_{R'/R}\wedge\u0003u$. (Les vecteurs $\u0003u$ sont identiques dans les deux référentiels.)

💡 Astuce mémo

Newton : $\u00b7\u0003p=\u0003F$ ; Rotation : $\u00b7\u0003L_O=\u0003N_O$ ; Changement de référentiel : dérivée $=,$dérivée $+,\u03a9\wedge$.

📖 2. Théorème du moment cinétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ de vitesses d’un solide indéformable : Champ de vitesses d’un solide indéformable : relation entre les vitesses de deux points liés, exprimée avec la vitesse de rotation instantanée.
• Vecteur rotation instantané ω : Vecteur rotation instantané ω : vecteur commun à tous les points du solide, décrivant l’instantané de rotation dans le référentiel R.
• Composition des vitesses de rotation : Composition des vitesses de rotation : relation reliant les vecteurs rotation instantanée de deux référentiels en mouvement relatif.
• Centre de masse C : Centre de masse C : barycentre des positions des particules pondérées par les masses, ou intégrale pondérée pour une distribution continue.
• Quantité de mouvement totale p : Quantité de mouvement totale p : somme vectorielle des quantités de mouvement de toutes les particules du solide.

📝 Points essentiels

• Pour deux points A et B liés au solide, les vitesses vérifient $\vec v_b=\vec v_a+\vec\omega\wedge\vec{AB}$ dans le référentiel R.
• Le vecteur $\vec\omega$ est identique pour tous les points du solide mais peut varier au cours du mouvement.
• La relation de composition des rotations s’écrit $\vec\omega=\vec\omega' + \vec\Omega$, où $\vec\Omega$ décrit la rotation instantanée de $R'$ par rapport à R.
• La démonstration utilise l’écriture des vitesses dans deux référentiels et impose l’égalité pour tout choix des points A et B du solide.
• Pour un solide discret de N particules, le centre de masse vérifie $\vec{OC}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^N m_i\vec{OA_i}$ avec $M=\sum_{i=1}^N m_i$.
• Pour une distribution continue, $\vec{OC}=\frac{1}{M}\int_V \rho(A),\vec{OA},dV$ avec $M=\int_V \rho(A),dV$.

💡 Astuce mémo

ω relie les vitesses : $\vec v_b-\vec v_a=\vec\omega\wedge\vec{AB}$ (rotation → différence de vitesses).

📖 3. Dérivée d'un vecteur en changement de référentiel

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel lié au solide : Référentiel dont l’orientation et l’origine sont fixées au solide, ce qui rend les vecteurs de position du solide constants dans ce repère.
• Centre de masse : Point C d’un système tel que la quantité de mouvement totale s’écrit comme celle d’une masse totale M concentrée en C.
• Quantité de mouvement totale : Somme vectorielle des quantités de mouvement de toutes les particules du solide, égale à $\sum_i m_i,\vec v_i$.
• Moment cinétique par rapport à un point : Somme des moments cinétiques des particules calculés autour d’une origine O, notée $\vec L_O$.
• Matrice d’inertie : Matrice $[I]_O$ qui relie le vecteur rotation $\vec\omega$ au moment cinétique $\vec L_O$ via une relation tensorielle.

📝 Points essentiels

• La quantité de mouvement totale du solide s’écrit $\vec p=\sum_{i=1}^N \vec p_i=\sum_{i=1}^N m_i,\vec v_i$.
• En introduisant le centre de masse C, on utilise $\vec v_i=\dfrac{d,\vec O A_i}{dt}$ (origine O du référentiel) pour réécrire $\vec p=M,\vec v_c$.
• Le moment cinétique autour de O s’écrit $\vec L_O=\sum_i m_i,\vec{OA_i}\wedge\vec v_i$.
• Avec le champ des vitesses $\vec v_i=\vec v_O+\vec\omega\wedge\vec{OA_i}$, le moment cinétique s’exprime en fonction de $\vec\omega$ et des positions $\vec{OA_i}$.
• La relation générale $\vec L_O=[I]_O,\vec\omega$ montre que $\vec L_O$ et $\vec\omega$ ne sont en général pas parallèles.
• Si le point O est fixe dans l’espace, les coordonnées $(x_i,y_i,z_i)$ de $\vec{OA_i}$ évoluent et les termes $I_{ij}$ ne restent pas constants pendant la rotation.

💡 Astuce mémo

Centre de masse : $\vec p=M\vec v_c$ ; rotation : $\vec L=[I]\vec\omega$ (et $\vec L$ n’est pas forcément dans la même direction que $\vec\omega$).

📖 4. Cinématique du solide indéformable

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment d'inertie Ixx : Le moment d'inertie Ixx mesure la résistance à la rotation autour de l’axe Ox et s’exprime comme une somme des contributions $m_i(y_i^2+z_i^2)$.
• Moment d'inertie Iyy : Le moment d’inertie Iyy mesure la résistance à la rotation autour de l’axe Oy et s’exprime comme une somme des contributions $m_i(x_i^2+z_i^2)$.
• Moment d'inertie Izz : Le moment d’inertie Izz mesure la résistance à la rotation autour de l’axe Oz et s’exprime comme une somme des contributions $m_i(x_i^2+y_i^2)$.
• Produit d'inertie Ixy : Le produit d’inertie Ixy couple les coordonnées x et y et s’écrit comme une somme des contributions $m_i x_i y_i$ (avec $Ixy=Iyx$).
• Moment d'inertie IoΔ : Le moment d’inertie $I_{o\Delta}$ quantifie l’effet de la distance des masses à l’axe $\Delta$ passant par O via $I_{o\Delta}=\sum_i m_i(H_iA_i)^2$.

📝 Points essentiels

• Pour un solide discret, $I_{xx}=\sum_i m_i(y_i^2+z_i^2)$, $I_{yy}=\sum_i m_i(x_i^2+z_i^2)$ et $I_{zz}=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)$.
• Pour une distribution continue de masse de densité $\rho(A)$, les moments s’obtiennent par intégration sur le volume : $I_{xx}=\int_V \rho(A)(y^2+z^2),dV$ et analogues pour $I_{yy}$, $I_{zz}$.
• Les produits d’inertie vérifient la symétrie $I_{xy}=I_{yx}$, $I_{xz}=I_{zx}$ et $I_{yz}=I_{zy}$, avec $I_{xy}=\sum_i m_i x_i y_i$ (et formes analogues).
• Le moment d’inertie par rapport à un axe $\Delta$ passant par O s’écrit $I_{o\Delta}=\sum_i m_i(H_iA_i)^2$ où $H_iA_i$ est la distance du point $A_i$ à l’axe.
• Pour un solide continu, $I_{o\Delta}=\int_V \rho(A)(H_A)^2,dV$ où $H_A$ est la distance de $A$ à l’axe.
• On peut exprimer $I_{o\Delta}$ par produit scalaire : $I_{o\Delta}=\vec e_{\Delta}\cdot([I]o,\vec e{\Delta})$, ce qui relie l’axe à la matrice d’inertie.

💡 Astuce mémo

Ixx/Iyy/Izz : même idée « distance à l’axe »—pour Ox on garde y et z, pour Oy on garde x et z, pour Oz on garde x et y.

📖 5. Champ de vitesse et composition des vitesses

🔑 Notions clés & Définitions

• Axes principaux d’inertie : En mécanique, les axes principaux d’inertie sont des directions où le moment d’inertie se calcule simplement et où le moment cinétique s’aligne avec la rotation.
• Rotation autour d’un axe principal : Une rotation est dite autour d’un axe principal quand le vecteur rotation ω est aligné avec l’un des axes principaux d’inertie.
• Axes principaux d’inertie par symétrie : Les axes principaux peuvent être identifiés grâce aux symétries matérielles du solide, sans calcul complet.
• Solide cylindrique : Un solide est cylindrique (autour d’un point O) quand deux des trois moments principaux d’inertie sont égaux.
• Solide sphérique : Un solide est sphérique (autour d’un point O) quand les trois moments principaux d’inertie sont identiques.

📝 Points essentiels

• Le moment d’inertie dépend de l’orientation de l’axe par rapport au solide, mais pas du choix du système d’axes utilisé pour faire le calcul.
• Si le vecteur rotation ω est aligné avec un axe principal, alors le moment cinétique L0 et ω sont parallèles et L0 = I3 ω (dans le cas illustré ω = ω e3).
• Tout axe passant par O et perpendiculaire à un plan de symétrie matérielle passant par O est un axe principal d’inertie.
• Tout axe de symétrie matérielle passant par O est un axe principal d’inertie.
• Si deux moments principaux sont identiques, toute combinaison linéaire des deux axes correspondants reste un axe principal avec le même moment d’inertie (réciproque incluse).
• Si les trois moments principaux sont identiques, tout axe passant par O est un axe principal et le moment correspondant vaut I0 (exemples : sphère et cube homogène au centre de masse).

💡 Astuce mémo

Par symétrie : plan → axe perpendiculaire ; axe de symétrie → axe principal ; puis dégénérescence : 2 égaux ⇒ cylindrique, 3 égaux ⇒ sphérique.

📖 6. Centre de masse et quantité de mouvement

🔑 Notions clés & Définitions

• Centre de masse C : Le centre de masse est le point du solide qui permet de regrouper l’effet global des masses sur le mouvement d’ensemble.
• Quantité de mouvement : La quantité de mouvement est le vecteur total associé au mouvement du solide, égal à $M,\vec v_c$ pour la translation d’ensemble.
• Moment cinétique au point C : Le moment cinétique au point $C$ mesure la tendance à tourner du solide autour du centre de masse.
• Moment cinétique au point O : Le moment cinétique au point $O$ mesure la tendance à tourner du solide autour d’un point fixe choisi.
• Matrice d’inertie au centre de masse : La matrice d’inertie au point $C$ décrit comment la répartition des masses détermine le moment cinétique pour une rotation donnée.

📝 Points essentiels

• Si le mouvement est sans point fixe, le mouvement du solide se décompose en une translation et une rotation autour de $C$.
• La partie translation est gouvernée par la quantité de mouvement $\vec p = M,\vec v_c$ du centre de masse.
• Le moment cinétique autour de $C$ s’écrit $\vec L_c = [I]_c,\vec\omega$ quand on se place avec les axes principaux.
• Le terme mixte $\sum_i m_i,\overrightarrow{CA_i}\cdot(\overrightarrow{H'_iH_i})$ s’annule car $\overrightarrow{H'_iH_i}\perp\overrightarrow{H_iC}$ et $\sum_i m_i,\overrightarrow{CA_i}=\vec 0$.
• Les résultats obtenus en remplaçant $O$ par $C$ restent valables si on calcule les moments ou la matrice d’inertie par rapport à $C$.
• Le référentiel $R'$ centré en $C$ est en général lié au solide et tournant, donc différent du référentiel du centre de masse $R^*$ qui est en translation.

💡 Astuce mémo

Traduction→$M\vec v_c$ ; rotation→$[I]_c\vec\omega$ : autour de $C$, tout se simplifie.

📖 7. Moment cinétique et matrice d'inertie

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie cinétique de rotation : Énergie cinétique associée à une rotation pure d’un solide, exprimée uniquement via le moment cinétique et la vitesse angulaire.
• Centre de masse C : Point du solide où l’on regroupe la contribution de la translation, permettant d’écrire l’énergie cinétique avec un terme de translation.
• Mouvement sans point fixe : Mouvement d’un solide combinant translation et rotation, où l’énergie cinétique se décompose en deux contributions distinctes.
• Matrice d’inertie générale : Matrice qui relie le moment cinétique au vecteur vitesse angulaire pour un solide, même si le repère n’est pas celui des axes principaux.
• Axes principaux (repère principal) : Repère lié au solide où la matrice d’inertie se simplifie et où le moment cinétique devient colinéaire à la vitesse angulaire.

📝 Points essentiels

• Pour une rotation seule, l’énergie cinétique s’écrit sous la forme $E_c=\tfrac12,\vec L_0\cdot\vec\omega$.
• Pour un mouvement sans point fixe, l’énergie cinétique vaut $E_c=\tfrac12 M v_C^2+\tfrac12 I_C\Delta\omega^2$.
• La vitesse angulaire instantanée s’écrit $\vec\omega=\omega,\vec e_\Delta$ dans le cas considéré.
• Quand le solide combine translation et rotation, $E_c$ est la somme d’un terme de translation et d’un terme de rotation.
• Le moment cinétique s’obtient via $\vec L_0=[I]_0,\vec\omega$ même dans un repère non principal.
• Autour de l’axe $Oz$, avec $\vec\omega=\omega,\vec e_z$, on obtient $\vec L_0=-I_{x_1z}\omega,\vec u_{x_1}-I_{y_1z}\omega,\vec u_{y_1}+I_{zz}\omega,\vec u_z$.

💡 Astuce mémo

Rotation seule : $E_c=\tfrac12,\vec L\cdot\vec\omega$ ; sans point fixe : $E_c=\tfrac12 M v_C^2+\tfrac12 I_C\Delta\omega^2$ ; matrice d’inertie : $\vec L=[I]\vec\omega$ (non-colinéarité si repère non principal).

📖 8. Moments principaux et axes principaux d'inertie

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel R′ : Référentiel tournant centré en O, lié au solide, dont les axes correspondent aux axes principaux d’inertie.
• Axes principaux d’inertie : Directions du solide dans lesquelles le tenseur d’inertie est diagonal, ce qui simplifie les expressions des moments cinétiques et des équations d’Euler.
• Moments principaux I1 I2 I3 : Valeurs propres du moment d’inertie associées aux axes principaux, constantes dans le référentiel lié au solide R′.
• Moment cinétique dans R′ : Expression du moment cinétique écrite dans le référentiel non galiléen R′, où ses composantes valent I1ω1, I2ω2, I3ω3.
• Couple appliqué dans R′ : Vecteur du couple des forces extérieures noté #»N, dont les composantes N1, N2, N3 apparaissent dans les équations d’Euler.

📝 Points essentiels

• Le moment cinétique s’écrit dans la base des axes principaux comme #»Lo/R′=(I1ω1, I2ω2, I3ω3) et les I1, I2, I3 ne dépendent pas du temps car R′ est lié au solide.
• La dérivée dans le référentiel galiléen R vérifie ˙#»Lo/R=˙#»Lo/R′+ #»ω∧#»Lo, ce qui introduit le terme de couplage entre composantes de ω.
• En calculant ˙#»Lo/R dans R′ on obtient les équations d’Euler : I1 ˙ω1+(I3−I2)ω2ω3=N1, I1 ˙ω2+(I1−I3)ω3ω1=N2, I1 ˙ω3+(I2−I1)ω1ω2=N3.
• À chaque instant, les trois équations couplées donnent l’évolution du vecteur rotation #»ω en fonction du couple #»No appliqué au solide.
• Si l’axe Oz est un axe principal alors Ix1z=Iy1z=0 et #»Lo=Izz #»uz, donc #»Lo et #»ω sont colinéaires et l’énergie cinétique devient Ec=1/2 Izz ω^2.
• Si l’axe Oz est un axe principal et la rotation est à vitesse constante, alors le couple nécessaire vérifie #»N=0 (pas de couple pour maintenir la rotation).

💡 Astuce mémo

Axes principaux = inertie diagonale : dans R′, #»Lo=(I1ω1, I2ω2, I3ω3) et les termes (I3−I2), (I1−I3), (I2−I1) pilotent le couplage dans les équations d’Euler.

📖 9. Énergie cinétique du solide

🔑 Notions clés & Définitions

• Équations d’Euler : Équations qui relient la dérivée des composantes de la vitesse angulaire aux composantes du couple appliqué, dans une base liée aux axes principaux.
• Axes principaux du solide : Directions orthogonales où le tenseur d’inertie est diagonal, ce qui simplifie l’écriture des équations d’Euler.
• Moment cinétique Lc : Vecteur associé à la rotation d’un solide autour de son centre de masse, dont la conservation dépend du couple extérieur total.
• Rotation stationnaire : Rotation où la vitesse angulaire reste constante dans le temps, ce qui correspond à des dérivées nulles des composantes sur les axes principaux.
• Mouvement de Poinsot : Cas particulier de la rotation d’un solide quand le couple extérieur total est nul, menant à la conservation de L et de l’énergie cinétique de rotation.

📝 Points essentiels

• Le calcul est mené dans un repère R′ lié aux axes principaux, où le produit tenseur d’inertie–vitesse angulaire donne le moment cinétique.
• Dans R′, les équations d’Euler couplées s’écrivent : $I_1\dot\omega_1+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3=N_1$, $I_1\dot\omega_2+(I_1-I_3)\omega_3\omega_1=N_2$, $I_1\dot\omega_3+(I_2-I_1)\omega_1\omega_2=N_3$.
• À chaque instant, les trois équations d’Euler donnent la variation du vecteur rotation $\vec\omega$ en fonction du couple extérieur $\vec N$ appliqué au solide.
• Si le solide est cylindrique avec $I_1=I_2=I_0\neq I_3$, le repère R′ peut être choisi non entièrement lié au solide : $\vec u_1$ et $\vec u_2$ peuvent rester fixes dans R tandis que $\vec u_3$ est lié à S.
• Si le solide est sphérique, on peut conserver R car tous les axes passant par C sont des axes principaux (inerties égales).
• Cas $\vec N=0$ : si le solide tourne autour de son centre de masse C et que le couple extérieur total est nul ($\vec N_c=0$), alors $\dot{\vec L}{c/R}=\dot{\vec L}{c/R'}+\vec\omega\wedge\vec L_c=0$.

💡 Astuce mémo

Poinsot = $\vec N=0$ ⇒ $\vec L$ garde la direction + énergie de rotation conservée ; axes principaux ⇒ équations d’Euler se découplent selon les symétries.

📖 10. Rotation autour d'un axe fixe

🔑 Notions clés & Définitions

• Gyroscope : Solide en rotation rapide dont l’orientation évolue sous l’action de couples extérieurs, notamment le poids.
• Liaison sphérique : Liaison en O qui autorise le gyroscope à tourner librement autour de O avec trois degrés de liberté.
• Angles d’Euler : Paramètres d’orientation du solide : ψ (précession), θ (nutation) et ϕ (rotation propre).
• Approximation gyroscopique : Hypothèse où la rotation propre domine : le gyroscope tourne très vite autour de l’axe 3, avec |ϕ̇| ≫ |ψ̇|, |θ̇|.
• Gyroscope déséquilibré : Configuration où le centre de masse G n’est pas en O (d = OG), ce qui crée un couple du poids.

📝 Points essentiels

• Le gyroscope a trois degrés de liberté d’orientation décrits par les angles d’Euler ψ, θ et ϕ.
• Dans le repère galiléen R(Oxyz), la vitesse angulaire s’écrit Ω = ψ̇ e_z + θ̇ e_w + ϕ̇ e_3.
• Approximation gyroscopique : si |ϕ̇| ≫ |ψ̇|, |θ̇| alors L_O ≃ I_3 ω e_3 et la dérivée de L_O/R′ est nulle.
• Gyroscope déséquilibré : le contrepoids est réglé pour que G soit à distance d de O, et le poids fournit un couple mgd e_3 ∧ e_z.
• En bloquant θ à une valeur θ_x, on observe une précession lente autour de l’axe Oz : Ω = ω_p e_z + ω e_3.
• La vitesse de précession vérifie ω_p = −mgd/(I_3 ω) et elle est inversement proportionnelle à ω, sans dépendre de θ dans ce modèle.

💡 Astuce mémo

Précession = couple du poids / moment d’inertie : ω_p ∝ mgd et ω_p ∝ 1/ω (signe −).

📖 11. Équations d'Euler pour la rotation

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel galiléen : Un référentiel galiléen est un repère où les lois de la dynamique s’écrivent sous leur forme habituelle sans forces fictives.
• Moment cinétique : Le moment cinétique d’un système par rapport à un point mesure la tendance du système à conserver son mouvement de rotation.
• Moment cinétique en rotation : Le moment cinétique dépend du référentiel choisi, car la dérivée temporelle change quand le repère n’est pas galiléen.
• Précession de Larmor : La précession de Larmor est le mouvement de rotation d’un dipôle magnétique autour du champ magnétique imposé.
• Choc : Un choc est un événement où la vitesse des points du solide varie brutalement pendant un temps très court ∆τ.

📝 Points essentiels

• Dans un référentiel galiléen R, le théorème du moment cinétique s’écrit sous la forme $\dot{\vec L}{O/R}=\vec 0$ pour un point $O$ choisi, donc $\vec L{O/R}$ est constant.
• Si $\vec L_{O/R}=\vec I_0,\vec\omega$ (cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe), alors $\vec L_{O/R}$ constant implique que l’axe du gyroscope garde une direction fixe dans R.
• Si le référentiel n’est pas galiléen (ex. rotation très lente), on écrit plutôt $\dot{\vec L}_{O/R_c}=\vec 0$ avec $R_c$ centré sur le centre de masse, ce qui change l’interprétation de la direction observée.
• Dans le référentiel terrestre, l’axe du gyroscope peut donc tourner très lentement au bout de plusieurs heures, pointant vers une étoile fixe dans le ciel.
• Pour un dipôle magnétique, le couple exercé dans un champ uniforme $\vec B_0$ vaut $\vec N_c=\vec\mu\wedge\vec B_0=-\gamma,\vec B_0\wedge\vec L_c$.
• Dans le référentiel terrestre $R$, le TMC appliqué au dipôle s’écrit $\dot{\vec L_c}_{/R}=-\gamma,\vec B_0\wedge\vec L_c$, ce qui entraîne une précession autour de $\vec B_0$.

💡 Astuce mémo

Galilée = moment cinétique “figé” (zéro dérivée) ; non-galilée = on “re-centre” ($R_c$) et l’axe dérive lentement ; champ $\vec B_0$ = couple en $\wedge$ donc précession de Larmor.

📖 12. Frottement solide et lois de Coulomb

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse de glissement : La vitesse de glissement est la différence des vitesses des deux solides au point de contact, projetée dans le plan tangent commun.
• Plan tangent commun : Le plan tangent commun est le plan $P$ au contact, commun aux deux solides, dans lequel s’exercent les composantes normale et tangentielle des actions.
• Réaction normale : La réaction normale est la composante de la force de contact perpendiculaire au plan tangent commun, notée $\vec R_n$.
• Réaction tangentielle de frottement : La réaction tangentielle est la composante de contact dans le plan tangent, notée $\vec R_t$, opposée au glissement.
• Coefficient de frottement statique : Le coefficient de frottement statique $\mu_s$ fixe la limite maximale du frottement quand il n’y a pas de glissement.

📝 Points essentiels

• La vitesse de glissement $\vec v_g$ appartient au plan tangent commun : $\vec v_g=\vec v_{I1}/R-\vec v_{I2}/R$ et elle est tangentielle à chaque solide au contact.
• Si $\vec v_g=0$, il n’y a pas de glissement : il peut y avoir roulement avec ou sans glissement selon la situation cinématique.
• Cas du disque vertical roulant sur un plan horizontal : $\vec v_g=\dot x_c,\vec e_x+R\dot\theta,\vec e_x$ et donc $\vec v_g=0\Rightarrow \dot x_c=-R\dot\theta$.
• Sans glissement, la relation $\dot x_c=-R\dot\theta$ donne $x_c(t)=-R(\theta(t)-\theta_0)+x_c(0)$ et un tour correspond à une avance de $2\pi R$.
• Cas extrême de patinage sur place : $\dot x_c=0$ donc $\vec v_g=R\dot\theta,\vec e_x$, et la vitesse de glissement dépend de la rotation.
• Décomposition de la force de contact : $\vec R=\vec R_n+\vec R_t$, avec $\vec R_n$ normale et $\vec R_t$ tangentielle (frottement).

💡 Astuce mémo

Glissement = différence de vitesses au contact : sans glissement $\vec v_g=0$ donc $\dot x_c=-R\dot\theta$ ; patinage sur place $\dot x_c=0$ donc $\vec v_g=R\dot\theta$.

📊 Tableaux de synthèse

Règles de dérivation selon le référentiel

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre moment d’une force No= r∧F (perpendiculaire au plan r,F) et moment cinétique Lo= r∧p : ce n’est pas la même grandeur ni la même dynamique.
2. Oublier que la dérivée d’un vecteur dépend du référentiel : ˙Lo/R′ ≠ ˙Lo/R, et le terme de couplage ω∧Lo apparaît quand R′ n’est pas galiléen.
3. Croire que Lo et ω sont toujours parallèles : ils ne le sont en général pas, sauf quand ω est aligné avec un axe principal (rotation autour d’un axe principal).
4. Prendre le moment d’inertie par rapport à un axe sans tenir compte de l’orientation : IoΔ dépend de la direction de l’axe par rapport au solide, même si le calcul peut être simplifié avec les axes principaux.
5. Se tromper sur le centre de masse : p = M vc (translation d’ensemble) mais le moment cinétique autour de C est gouverné par Lc = [I]c ω, pas par p.
6. Mélanger les repères : R′ lié au solide (axes principaux) est en rotation et n’est pas galiléen, tandis que le référentiel du centre de masse est en translation (différent de R′).
7. Pour le frottement solide, confondre roulement sans glissement (vg=0 donc contrainte cinématique) et patinage sur place (xċ=0 donc vg=Rθ̇ e_x).

✅ Checklist Examen

1. Écrire la seconde loi de Newton sous la forme ˙p=F dans un référentiel galiléen et rappeler p=m v, avec v=˙r et a=¨r.
2. Définir No=r∧F et Lo=r∧p, puis montrer que ˙Lo=No (d’où la relation d’évolution du moment cinétique).
3. Utiliser la formule de dérivée d’un vecteur en changement de référentiel : ˙u/R = ˙u/R′ + ΩR′/R ∧ u, et traiter le cas Ω=0 (translation).
4. Appliquer la composition des vitesses : v_a/R = v_o′/R + v_a/R′ + Ω ∧ O′A, en identifiant correctement les vitesses de translation et de rotation instantanée.
5. Pour un solide indéformable, écrire le champ des vitesses : v_b = v_a + ω ∧ AB, et préciser que ω est identique pour tous les points mais peut varier avec le temps.
6. Définir le centre de masse : OC=(1/M)∑ mi OAi (ou intégrale continue) et utiliser la propriété ∑ mi CAi=0.
7. Établir p=M vc à partir de p=∑ mi vi et vi=d(OAi)/dt, puis relier la dynamique de la translation au centre de masse.
8. Construire la matrice d’inertie [I]o et écrire Lo=[I]o ω, en rappelant les expressions de Ixx, Iyy, Izz et des produits d’inertie Ixy=Iyx, etc.
9. Déterminer les axes principaux par diagonalisation : [I]o/R′=diag(I1,I2,I3), puis écrire IΔ=α^2 I1+β^2 I2+γ^2 I3 et Lo/R′=(α I1 u1+β I2 u2+γ I3 u3) ω.
10. Utiliser la condition de rotation autour d’un axe principal : si ω est aligné avec un axe principal alors Lo et ω sont colinéaires et Lo=I3 ω (cas illustré).
11. Écrire l’énergie cinétique : pour un point fixe Ec=1/2 IΔ ω^2 et aussi Ec=1/2 Lo·ω, puis pour un mouvement sans point fixe Ec=1/2 M v_c^2 + 1/2 I_cΔ ω^2.
12. En dynamique du solide, appliquer le théorème du moment cinétique dans R : ˙L/R = N_ext, puis en rotation autour d’un point fixe utiliser les équations d’Euler I1 ω̇1+(I3−I2)ω2ω3=N1, etc.
13. Pour le gyroscope, utiliser l’approximation gyroscopique (I1=I2=I0≠I3 et |ϕ̇|≫|ψ̇|,|θ̇|) pour obtenir Lo≃I3 ω e3 et traiter le cas déséquilibré avec ω_p=−mgd/(I3 ω).
14. Pour les chocs, écrire les variations : Δp = F_choc Δτ et ΔL = N_choc Δτ, en précisant l’hypothèse de position inchangée pendant Δτ et force de percussion seule.