Scheda di revisione: Dérivation et fonctions composées

📋 Plan du Cours

1. Formules fondamentales de dérivation
2. Tangente et variations
3. Opérations sur les dérivées
4. Composition de fonctions
5. Dérivée d’une fonction composée
6. Cas particuliers de composition
7. Étude complète d’une composée

📖 1. Formules fondamentales de dérivation

📝 Points essentiels

• La dérivée d’une constante a, avec a réel, est $0$.

• La dérivée de la fonction $x\mapsto ax$, avec a réel, est $a$.

• Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, la dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$.

📐 Formule — La dérivée de $\sqrt{x}$ est $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

• La dérivée de $e^{kx}$, avec k réel, est $ke^{kx}$.

📖 2. Tangente et variations

★ À maîtriser

📐 Formule — Une équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📌 Si une fonction dérivable vérifie $f'(x)\leq 0$ sur un intervalle, alors elle est décroissante sur cet intervalle.

📌 Si une fonction dérivable vérifie $f'(x)\geq 0$ sur un intervalle, alors elle est croissante sur cet intervalle.

• Pour étudier les variations d’une fonction, on calcule sa dérivée, on détermine le signe de cette dérivée, puis on construit le tableau de variations.

Compléments

• Pour $f(x)=x^3+\frac{9}{2}x^2-12x+5$, on obtient $f'(x)=3x^2+9x-12$, dont les racines sont -4 et 1, et f est croissante sur $]-\infty;-4]$ et $[1;+\infty[$, mais décroissante sur $[-4;1]$.

💡 Astuce mémo

Signe de la dérivée → sens de variation

📖 3. Opérations sur les dérivées

★ À maîtriser

• La dérivée d’une somme $u+v$ est $u'+v'$.

• La dérivée d’un produit $uv$ est $u'v+uv'$.

• La dérivée de $ku$, avec k réel constant, est $ku'$.

📐 Formule — La dérivée du quotient $\frac{u}{v}$ est $\frac{u'v-uv'}{v^2}$, lorsque le quotient est défini.

Compléments

📐 Formule — La dérivée de $\frac{1}{u}$ est $-\frac{u'}{u^2}$.

📖 4. Composition de fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : De u par v, notée $v\circ u$, est définie par $(v\circ u)(x)=v(u(x))$.

★ À maîtriser

• Pour identifier une composée, on repère une fonction intérieure u, puis une fonction extérieure v qui s’applique au résultat, de sorte que $f=v\circ u$.

• En général, $v\circ u$ et $u\circ v$ ne donnent pas la même fonction.

Compléments

• La fonction $f(x)=\sqrt{x-3}$ s’écrit $f=v\circ u$ avec $u(x)=x-3$ et $v(x)=\sqrt{x}$.

📖 5. Dérivée d’une fonction composée

★ À maîtriser

📐 Formule — La dérivée d’une fonction composée $v\circ u$ est $v'(u(x))\times u'(x)$.

• Pour dériver une composée, on identifie u et v, on calcule u' et v', puis on applique $(v\circ u)'(x)=v'(u(x))u'(x)$.

Compléments

• Pour $f(x)=e^{x^2+1}$, avec $u(x)=x^2+1$, on obtient $f'(x)=2xe^{x^2+1}$.

📖 6. Cas particuliers de composition

★ À maîtriser

• Pour tout entier non nul n, la dérivée de $(u(x))^n$ est $nu'(x)(u(x))^{n-1}$.

• La dérivée de $e^{u(x)}$ est $u'(x)e^{u(x)}$.

Compléments

• Pour $f(x)=\sqrt{3x^2+4x-1}$, on obtient $f'(x)=\frac{6x+4}{2\sqrt{3x^2+4x-1}}$.

• Pour $g(x)=(2x^2+3x-3)^4$, on obtient $g'(x)=4(4x+3)(2x^2+3x-3)^3$.

📖 7. Étude complète d’une composée

★ À maîtriser

• L’étude complète d’une fonction composée consiste à déterminer ses limites, calculer sa dérivée, étudier le signe de cette dérivée, dresser le tableau de variations et tracer la courbe.

• Pour $f(x)=xe^{-x^2/2}$, on a $f'(x)=\left(1-\frac{x^2}{2}\right)e^{-x^2/2}$.

• Pour $f(x)=xe^{-x^2/2}$, la limite en $-\infty$ est $-\infty$ et la limite en $+\infty$ est $0$.

Compléments

• Pour $f(x)=xe^{-x^2/2}$, la dérivée est positive sur $]-\infty;\sqrt{2}]$ et négative sur $[\sqrt{2};+\infty[$.

• Pour $f(x)=xe^{-x^2/2}$, le maximum est atteint en $x=\sqrt{2}$ et vaut $\frac{\sqrt{2}}{e}$.

💡 Astuce mémo

Limites → dérivée → signe → variations → courbe

📊 Tableaux de synthèse

Règles de dérivation

Expression	Dérivée
u+v	u'+v'
ku	ku'
uv	u'v+uv'
1/u	-u'/u²
u/v	(u'v-uv')/v²