Scheda di revisione: Introduction à la mécanique des solides

📋 Plan du Cours

1. Prolégomènes et outils tensoriels
2. Travaux virtuels et gradient
3. Loi de comportement en traction
4. Cinématique des petites perturbations
5. Compatibilité des déformations
6. Équilibre et contraintes de Cauchy
7. Élasticité linéaire isotrope
8. Critères de von Mises et Tresca
9. Méthodes énergétiques de résolution
10. Annexes tensorielles et coordonnées curvilignes

📖 1. Prolégomènes et outils tensoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe d’exclusion : Règle cinématique stipulant que deux points distincts du domaine matériel occupent toujours deux positions distinctes dans l’espace, même s’ils sont voisins.
• Principe de continuité : Règle cinématique assurant que deux points voisins à un instant $t_0$ restent voisins à l’instant $t_0+dt$.
• Lemme fondamental pour les intégrales de volume : Propriété de nullité presque partout indiquant que, si l’intégrale de $F(M)$ sur tout sous-domaine $D\subset\Omega$ est nulle, alors $F(M)$ est nulle pour tout $M\in\Omega$.
• Convention d’Einstein : Convention de sommation qui implique une somme automatique lorsque des indices sont répétés dans une expression tensorielle.
• Principe des puissances virtuelles : Énoncé qui relie, pour tout champ de vitesses virtuelles admissibles, la puissance virtuelle d’accélération à la somme des puissances virtuelles extérieures et intérieures.

📝 Points essentiels

• Quel que soit le sous-domaine $D\in\Omega$, on a \int_\!\int_\!\int_D F(M)\,dV=0\ \forall D\in\Omega\ \Longleftrightarrow\ F(M)=0\ \forall M\in\Omega.
• Le PPV s’écrit $P^*_{acc}(v^*)=P^*_{ext}(v^*)+P^*_{int}(v^*)$ pour tout $v^*$ cinématiquement admissible, et $P^*_{int}=0$ pour un champ rigidifiant.
• La convention d’Einstein permet d’écrire sans symbole somme : un indice répété dans un produit (tenseur/ vecteur) est implicitement sommé.
• Le gradient lagrangien d’un scalaire $T$ est $\nabla T=\partial T/\partial X_i\,e_i$ et celui d’un champ d’ordre 1 est $\nabla(T)=\partial T_i/\partial X_j\, e_i\otimes e_j$.
• La divergence lagrangienne d’un champ d’ordre 1 $T$ s’écrit $\mathrm{div}(T)=\nabla(T):I=\partial T_i/\partial X_i$.
• L’intégration par partie issue de $[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ donne $\int_a^b f(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]_a^b-\int_a^b f'(x)g(x)dx$.

💡 Astuce mémo

Exclusion = deux points distincts restent distincts ; Continuité = deux voisins restent voisins.

📖 2. Travaux virtuels et gradient

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissances virtuelles : Principe reliant les puissances virtuelles d’accélération, d’actions externes et d’actions internes pour tout champ cinématiquement admissible.
• Travaux virtuels : Version en énergie du principe de puissances virtuelles, écrite avec des champs de déplacements virtuels cinématiquement admissibles.
• Champ de vitesse virtuelle : Champ de vitesse choisi librement tant qu’il reste compatible avec les liaisons, sur lequel on projette les puissances virtuelles.
• Opérateur gradient lagrangien : Opérateur différentiel qui associe à un scalaire $T$ un champ de vecteur ou de tenseur donnant ses dérivées spatiales en base lagrangienne.

📝 Points essentiels

• Le principe des puissances virtuelles s’écrit $P^*_{acc}(v^*)=P^*_{ext}(v^*)+P^*_{int}(v^*)$ pour tout $v^*$ cinématiquement admissible.
• La puissance virtuelle interne doit être nulle pour un champ de vitesse rigidifiant, même s’il n’est pas forcément cinématiquement admissible.
• Le principe des travaux virtuels s’écrit $W^*_{acc}(u^*)=W^*_{ext}(u^*)+W^*_{int}(u^*)$ pour tout déplacement virtuel $u^*$ cinématiquement admissible.
• Pour un gradient lagrangien scalaire $T$, on a $abla T= rac{\partial T}{\partial X_i}e_i$ et pour une fonction vectorielle on utilise la dérivée par composantes avec produits tensoriels.
• Dans l’exemple de corps indéformable, en prenant $v^*=\dot a^*+\dot\theta^*\times x$, on obtient $F=m\gamma$ et $M=x\times m\gamma$.
• Dans la théorie du quasi-tracé (travaux virtuels), les configurations initiale et instantanée sont confondues sur la configuration _0, ce qui simplifie le calcul de l’équilibre.

💡 Astuce mémo

Pensez : puissance → équilibre cinétique (PPV), puis déplacement → équilibre énergétique (PTV), et le gradient sert à passer des champs aux dérivées.

📖 3. Loi de comportement en traction

🔑 Notions clés & Définitions

• Potentiel d’état ϕ(ε) : Fonction convexe associée à l’énergie élastique interne qui relie l’énergie par unité de volume à la variable d’état ε.
• Déformation ε : Variable d’état choisie pour décrire l’état de déformation, utilisée ensuite pour relier contraintes et énergie élastique.
• Contrainte de Cauchy σ : Grandeur sthénique duale de la déformation utilisée pour caractériser la réponse mécanique dans la relation constitutive.
• Module de Young E : Constante du matériau obtenue expérimentalement qui fixe la proportionnalité entre contrainte et déformation en régime linéaire.

📝 Points essentiels

• Sans dissipation, la contrainte s’obtient comme dérivée du potentiel d’état par σ(ε)=dϕ(ε)/dε.
• Après linéarisation du potentiel près de ε=0, la loi de traction linéaire devient σ(ε)=Eε lorsque les contraintes résiduelles sont nulles.
• La constante E correspond au coefficient du développement dϕ près de ε=0, et elle ne se détermine que par un essai expérimental.
• En essai de traction 1D supposé homogène, la contrainte σ(X) reste constante sur tout l’éprouvette, donc identique en tout point.

💡 Astuce mémo

Traction linéaire sans résiduels : σ = Eε (contrainte = pente du potentiel).

📖 4. Cinématique des petites perturbations

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypothèse des Petites Perturbations : Hypothèse de linéarisation imposant que le gradient du déplacement reste très petit pour négliger les termes d’ordre supérieur.
• Tenseur linéarisé des déformations : Partie symétrique du gradient du déplacement qui mesure les déformations infinitésimales dans l’approximation linéaire.
• Tenseur de rotation : Partie antisymétrique du gradient du déplacement représentant la rotation infinitésimale associée au mouvement.
• Allongement relatif : Allongement suivant une direction h, obtenu à partir du tenseur de déformation linéarisé sous l’approximation des petites perturbations.

📝 Points essentiels

• Sous l’HPP, on impose ‖∇u(X)‖<<1, ce qui rend ‖ε(X)‖=√(ε:ε)<<1 et ‖ω(X)‖<<1 au premier ordre.
• La décomposition cinématique locale donne u(X+dX)≈u(X)+ε(X)·dX+ω(X)·dX, soit u(N0)≈u(M0)+ε(M0)·dX+ω(M0)×dX.
• Pour h= dX/‖dX‖, l’allongement relatif vérifie δ(M0,h)= (‖dx‖-‖dX‖)/‖dX‖≈h·ε·h=ε:h⊗h=εhh.
• Si h et t sont initialement perpendiculaires, la distorsion angulaire est γ(M0,h,t)≈2h·ε·t=2ε: (h⊗t)=2εht.
• La variation de volume d’un élément infinitésimal s’écrit dv=(1+trace(ε))dV avec trace(ε)=∇u:I.
• En petites perturbations, la somme des déformations est additive sur deux étapes : ε(0→2)=ε(0→1)+ε(1→2), et idem pour les petites rotations : ω(0→2)=ω(0→1)+ω(1→2).

💡 Astuce mémo

Sous HPP : ε donne les effets (δ≈εhh, γ≈2εht, dv≈(1+trε)dV) et ω ne change pas les longuesurs au premier ordre (il tourne).

📖 5. Compatibilité des déformations

🔑 Notions clés & Définitions

• Équations de compatibilité : Les équations de compatibilité sont les contraintes que doit vérifier le tenseur des déformations linéarisé pour provenir d’un champ de déplacement continu.
• Intégrabilité de ω : L’intégrabilité de ω impose que les dérivées secondes de ω coïncident, ce qui conditionne l’existence d’un champ de déplacement associé à ε.
• Rotation infinitésimale : La rotation infinitésimale ω correspond à la partie anti-symétrique du gradient du déplacement et s’obtient à partir de ε via une relation différentielle.
• Intégration dω : L’intégration dω consiste à reconstruire ω à partir de la différentielle liée à ε, puis à obtenir le gradient et enfin le déplacement.

📝 Points essentiels

• Le tenseur de déformation linéarisé ε est intégrable en un champ de déplacement si et seulement si on a l’annulation : $\mathrm{rot}_g(\mathrm{rot}_d(\varepsilon))=0$.
• Il existe 6 équations de compatibilité indépendantes en 3D, dont les formes dépendent des composantes de $\varepsilon_{ij}$ (relations de type $(\partial^2 \varepsilon_{..})/(\partial X_k\partial X_l)$ dans l’ordre donné).
• On reconstruit d’abord la rotation $\omega_{ij}$ à partir de $d\omega_{ij}=(\partial\varepsilon_{ik}/\partial X_j-\partial\varepsilon_{kj}/\partial X_i)dX_k$ pour ensuite reconstruire $\partial u_i/\partial X_j=\varepsilon_{ij}+\omega_{ij}$.
• À la fin, le champ de déplacement $u$ est déterminé à une translation et une rotation de corps rigide près.

💡 Astuce mémo

Compatibilité = existence de u : si $\mathrm{rot}_g(\mathrm{rot}_d\,)=0$, alors ε vient d’un déplacement (à rigidité près).

📖 6. Équilibre et contraintes de Cauchy

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypothèse de Cauchy : Hypothèse reliant les actions surfaciques de contact à un tenseur de contraintes défini localement au point et à la normale sortante.
• Vecteur contrainte : Action surfacique en un point associé à une normale n, obtenue par contraction du tenseur des contraintes avec la normale.
• Tenseur des contraintes de Cauchy : Tenseur qui caractérise, en chaque point, l’état d’actions surfaciques transmis par la normale via l’application linéaire menant à T.
• Contrainte moyenne : Partie isotrope de la contrainte définie à partir du trace du tenseur des contraintes : σm = (1/3)(σ11+σ22+σ33).
• Déviateur du tenseur des contraintes : Partie sans composante sphérique obtenue en retirant à σ la contrainte sphérique moyenne : σ(DEV)=σ−σ(SPH).

📝 Points essentiels

• Sur tout sous-domaine D, l’équilibre des efforts impose div(σ)+fd=0.
• La symétrie du tenseur des contraintes impose σ=σt et donne l’équilibre en moments.
• L’équilibre de surface définit le vecteur contrainte par la relation T=σ·n.
• Sur le bord soumis à Neumann, la condition s’écrit Td=σ·n.
• La résultante d’effort sur ∂Ωσ vérifie ∫∫∂Ωσ σ(M)·n dS = ∫∫∂Ωσ Td dS = Fd.
• Le tenseur des contraintes se décompose en sphérique et déviatorique avec σ(SPH)=σm I et σ(DEV)=σ−σ(SPH).

💡 Astuce mémo

Équilibre : div(σ)+f=0 ; Moments : σ=σt ; Frontière : Td=σ·n ; Décomposition : σ=σ(SPH)+σ(DEV).

📖 7. Élasticité linéaire isotrope

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition sphérique et déviatorique : Tout tenseur se sépare en une partie sphérique proportionnelle à l’identité et une partie déviatorique de trace nulle, notées (SPH) et (DEV).
• Paramètres de Lamé : Les constantes λ et μ gouvernent la relation contrainte–déformation d’un matériau isotrope, avec σ = λ tr(ε)I + 2με.
• Potentiel de Hooke : Le potentiel élastique ϕ(ε) d’un solide isotrope s’exprime avec les invariants de la déformation et engendre la contrainte par dérivation.
• Module de compressibilité hydrostatique K : Le module K mesure la réponse hydrostatique et relie λ et μ via K = λ + 2μ/3, utile pour séparer sphérique et déviatorique.

📝 Points essentiels

• Pour un matériau linéaire isotrope : σ = λ tr(ε)I + 2με, soit σij = λ εkkδij + 2μεij, et l’inverse est ε = -(ν/E) tr(σ)I + ((1+ν)/E)σ.
• En écriture en composantes : εij = - (ν/E) σkk δij + ((1+ν)/E) σij, avec tr(σ)=σkk.
• Avec la décomposition, on a σ(SP H) = (3λ+2μ)ε(SP H) = 3Kε(SP H) et σ(DEV ) = 2με(DEV ).
• Les relations usuelles entre paramètres sont : E = μ(3λ+2μ)/(λ+μ), ν = λ/[2(λ+μ)], K = λ + 2μ/3, et μ = E/[2(1+ν)].
• Le potentiel de Hooke vaut ϕ(ε)=1/2(λ tr(ε)^2 + 2μ tr(ε·ε)) et donne σ = dϕ/dε = λ tr(ε)I + 2με.
• Les densités d’énergie se séparent : ϕ(ε)=ϕ(VOL)(ε)+ϕ(FOR)(ε) avec le produit sphérique–déviatorique nul, et ϕc(σ)=1/2 σ:C^{-1}:σ = 1/2(-ν/E tr(σ)^2 + (1+ν)/E tr(σ·σ)).

💡 Astuce mémo

SPH + DEV : sphérique = trace, déviatorique = sans trace, et ils ne “se mélangent” dans les énergies (produit contracté nul).

📖 8. Critères de von Mises et Tresca

📖 9. Méthodes énergétiques de résolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie potentielle : L’énergie potentielle est une fonctionnelle qui mesure la différence entre l’énergie élastique stockée et le travail des chargements externes.
• Énergie complémentaire : L’énergie complémentaire est une fonctionnelle construite à partir de l’énergie portée par les contraintes et du travail associé aux réactions sur les déplacements imposés.
• Énergie élastique de déformation : L’énergie élastique de déformation est l’intégrale volumique de la densité quadratique en déformations (via la loi de comportement) sur le domaine Ω.
• Énergie élastique de contrainte : L’énergie élastique de contrainte est l’intégrale volumique de la densité quadratique en contraintes (via l’inverse de la loi de comportement) sur le domaine Ω.

📝 Points essentiels

• La solution us s’obtient comme l’argument minimisant l’énergie potentielle Ep(u)=Eint(u)−Wext(u) dans l’espace admissible KCA, et δEp(u)=0 pour tout δu∈KCA0 mène à la solution unique us.
• On a Eint(u)=∫∫∫Ω 1/2 ∇(S)u : C : ∇(S)u dV et Wext(u)=∫∫∫Ω f d·u dV + ∫∫∂Ω σ T d·u dS dans l’énoncé de la méthode potentielle.
• La solution σs s’obtient comme l’argument minimisant l’énergie complémentaire Ec(σ)=E′int(σ)−W′ext(σ) dans l’espace statiquement admissible KSA, et δEc(σ)=0 pour tout δσ∈KSA0 mène à la solution unique σs.
• On a E′int(σ)=∫∫∫Ω 1/2 σ : C−1 : σ dV et W′ext(σ)=∫∫∂Ωu (σ·n)·u dS, où u est le déplacement imposé sur ∂Ωu.
• Les deux méthodes (potentielle en u et complémentaire en σ) reposent sur un principe variationnel de type stationnarité (δEp=0 ou δEc=0) qui force l’admissibilité (cinématique ou statique) et conduit à l’unicité dans le cadre présenté.

💡 Astuce mémo

u → Ep = Eint − Wext (min) ; σ → Ec = E’int − W’ex (min), et δEp=0 ou δEc=0 donne la solution unique.

📖 10. Annexes tensorielles et coordonnées curvilignes

🔑 Notions clés & Définitions

• Tenseur identité : Le tenseur identité d’ordre 2, noté $I$, est celui qui laisse tout tenseur d’ordre 2 inchangé par contraction, avec $I= e_i\otimes e_i$.
• Trace d’un tenseur d’ordre 2 : La trace d’un tenseur d’ordre 2 $a$, notée $\mathrm{tr}(a)$, s’obtient par double contraction $\mathrm{tr}(a)=a:I$ et vaut la somme des composantes diagonales $a_{kk}$.
• Décomposition sphérique déviatorique : La décomposition sphérique/déviatorique d’un tenseur d’ordre 2 $a$ sépare $a$ en une partie proportionnelle à $I$ et une partie sans trace, avec $a_{SPH}=\tfrac13\mathrm{tr}(a)I$.
• Notation de Voigt : La notation de Voigt réorganise les composantes des tenseurs symétriques d’ordre 2 en vecteur et celles des tenseurs d’ordre 4 en matrice pour écrire les lois de comportement sous forme matricielle.
• Tri-cercle de Mohr : Le tri-cercle de Mohr décrit, dans le plan de Mohr, les conditions sur $(\Phi_n,\Phi_t)$ associées aux normales $n$ et aux projections $\Phi(n)=a\cdot n$ d’un tenseur symétrique d’ordre 2.

📝 Points essentiels

• Le produit tensoriel une fois contracté entre deux tenseurs d’ordre 2 $a\otimes b$ et $c\otimes d$ vérifie $(a\otimes b)\cdot(c\otimes d)=(b\cdot c)(a\otimes d)$ et n’est ni commutatif ni associatif en général.
• Le tenseur identité d’ordre 2 s’écrit $I= e_i\otimes e_i$ et satisfait $\forall a,\ a=a\cdot I=I\cdot a$.
• Le produit doublement contracté entre deux tenseurs d’ordre 2 $a\!:\!b$ est défini par $(a\otimes b):(c\otimes d)=(a\cdot c)(b\cdot d)$ et le rapport à une autre convention implique une double contraction avec une transposée.
• La décomposition sphérique/déviatorique est $a=a_{SPH}+a_{DEV}$ avec $a_{SPH}=\tfrac13\mathrm{tr}(a)I$ et $a_{DEV}=a-a_{SPH}$, et $a_{DEV}:a_{SPH}=0$.
• Le polynôme caractéristique vérifie $\det(a-\lambda I)=-\lambda^3+I_1\lambda^2-I_2\lambda+I_3=0$ avec $I_1=\mathrm{tr}(a)$, $I_2=\tfrac12\big((\mathrm{tr}a)^2-\mathrm{tr}(a^2)\big)$ et $I_3=\det(a)$.
• Le tri-cercle de Mohr (avec $\lambda_1\ge\lambda_2\ge\lambda_3$) est encadré par trois inéquations en $(\Phi_n,\Phi_t)$ données par $C1$, $C2$ et $C3$ où $C1$ et $C2$ sont de type $\ge$ et $C3$ de type $\le$ dans les expressions 6.40–6.42.

📅 Repères chronologiques

Date	Événement
1725	Genèse du principe des puissances virtuelles (Bernoulli)
1743	Généralisation du principe des puissances virtuelles (d’Alembert et Lagrange)
1687	Publication des « Principia » (Newton) sur la quantité de mouvement et le moment cinétique
1777	Lavoisier montre la conservation de la masse
1918	Noether démontre la conservation de l’énergie
1968	Proposition des familles de tenseurs de déformation par Robert Hill (m≠0 et m=0)
1868	Article de Beltrami sur la consistance de la géométrie non euclidienne
1801	Naissance de George Biddell Airy

📊 Tableaux de synthèse

PPV vs PTV

Principe	Champ testé	Écriture donnée
PPV	v* cinématiquement admissible	Pacc(v) = Pext(v) + Pint(v) pour tout v* admissible
PPV (objectivité)	vitesse rigidifiante	P*int doit être nulle pour un champ rigidifiant
PTV	u* cinématiquement admissible	Wacc(u) = Wext(u) + Wint(u) pour tout u* admissible
PTV (objectivité)	déplacement rigidifiant	W*int doit être nulle pour un champ rigidifiant

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Inverser les conventions Dirichlet/Neumann : Neumann impose Td=σ·n tandis que Dirichlet impose u=ud sur ∂Ωu.
2. Confondre gradient lagrangien et gradient classique : ici ∇(T)=∂T/∂Xj ⊗ ej (base lagrangienne), puis divergence div(T)=∇(T):I.
3. Oublier que la compatibilité impose rotg(rot d(ε))=0 : un mauvais ordre des rotations (gauche/droite) fait rater les 6 équations indépendantes.
4. Prendre ε comme le gradient complet : ε=1/2(∇u+∇tu), alors que ω=1/2(∇u−∇tu) ne contribue pas au travail interne car σ est symétrique.
5. Se tromper de signe dans le travail interne : Wint = −∫∫∫ σ:∇(S)u* dV (le signe “−” est dans le cours).
6. Croire que σ est antisymétrique : ici la symétrie impose σ=σt (équilibre en moments) et supprime la contribution antisymétrique.
7. Mélanger sphérique et déviatorique dans l’énergie : le cours indique que les énergies se séparent (produit doublement contracté sphérique–déviatorique nul).

✅ Checklist Examen

1. Énoncer PPV puis PTV et préciser ce que signifie « champ rigidifiant » pour l’annulation de Pint ou Wint.
2. Savoir écrire les opérateurs lagrangiens : ∇T, ∇(T), div(T)=∇(T):I et l’intégration par parties citée au début.
3. Définir ε (tenseur linéarisé) et ω (rotation infinitésimale) à partir de ∇u et ∇tu, puis donner les expressions pour δ=ε:hh et γ≈2εht sous HPP.
4. Écrire la condition de compatibilité : rotg(rotd(ε))=0, et rappeler le schéma de reconstruction via ω_{ij} (intégrer dωij puis ∂ui/∂Xj=εij+ωij).
5. Donner les équations d’équilibre sur D et sur Ω : div(σ)+fd=0, σ=σt, et la condition de surface Td=σ·n sur Neumann.
6. Savoir décomposer σ en partie sphérique et déviatorique : σ(SPH)=σm I et σ(DEV)=σ−σ(SPH), puis donner la relation des énergies sphérique/déviatorique dans Hooke.
7. Écrire la loi linéaire isotrope : σ=λ tr(ε)I+2με et ses relations usuelles (E, ν, K, μ, λ) ainsi que le potentiel de Hooke ϕ(ε).
8. Calculer la contrainte équivalente de von Mises : σeq=√(3/2)(σDEV:σDEV), et donner la forme de σeq en composantes du cours.
9. Énoncer les critères en contrainte de von Mises/Tresca sous la forme donnée : Max(|σi−σj|)=σyield et l’encadrement via σeq (dans le cours).
10. Appliquer une méthode énergétique : définir Ep(u)=Eint(u)−Wext(u) et Ec(σ)=E’int(σ)−W’ext(σ) avec les stationnarités δEp=0 ou δEc=0 dans les espaces KCA/KSA.
11. Relier la résolution en forme forte aux conditions fortes : équilibre div(σ)+fd=0, Neumann σ·n=Td, et la fermeture σ=∂ϕ(εel)/∂εel puis σ=C:εel si isotrope linéaire.
12. Savoir les résultats tensoriels indispensables d’annexe : I=ei⊗ei, tr(a)=a:I et la décomposition sphérique/déviatorique a=aSPH+aDEV, et rappeler le tri-cercle de Mohr (inégalités C1–C3) si demandé.