Fondements des espaces préhilbertiens

📋 Plan du Cours

1. Espaces préhilbertiens
2. Formes bilinéaires
3. Produit scalaire
4. Norme euclidienne
5. Orthogonalité
6. Projections orthogonales
7. Endomorphismes orthogonaux
8. Matrices orthogonales
9. Rotations en dimension 2
10. Rotations en dimension 3
11. Réduction des endomorphismes symétriques

📖 1. Espaces préhilbertiens

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme bilinéaire : Sur un espace vectoriel réel $E$, une application $\varphi : E \times E \to \mathbb{R}$ est une forme bilinéaire si elle est linéaire par rapport à chaque composante (voir section 2).
• Forme bilinéaire symétrique : Une forme bilinéaire $\varphi$ est symétrique si, pour tout $(x, y) \in E^2$, $\varphi(y, x) = \varphi(x, y)$.
• Forme bilinéaire définie positive : Une forme bilinéaire symétrique $\varphi$ est définie positive si, pour tout $x \in E \setminus \{0\}$, $\varphi(x, x) > 0$.
• Espace préhilbertien réel : Selon la définition donnée, c’est un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire $(.|.)$, qui est une forme bilinéaire symétrique définie positive (voir définition 2).
• Espace euclidien : Un espace préhilbertien réel de dimension finie, muni d’un produit scalaire $\varphi$.

📝 Points essentiels