Introduction à la factorisation et racines des polynômes

📋 Plan du Cours

1. Définition et fonction polynôme
2. Opérations sur les polynômes
3. Vocabulaire et degré
4. Division euclidienne
5. Racines et multiplicités
6. Formule de Taylor
7. Théorème d’Alembert-Gauss
8. Factorisation dans C et R

📖 1. Définition et fonction polynôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme K[X] : Un polynôme à coefficients dans K s’écrit comme une somme finie $a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0$ avec $n\in\mathbb{N}$ et $a_i\in K$.
• Coefficients ai : Les coefficients d’un polynôme $P$ sont les nombres $a_0,a_1,\dots,a_n$ qui multiplient respectivement $X^0,X^1,\dots,X^n$.
• Polynôme nul : Le polynôme nul est le polynôme dont tous les coefficients $a_i$ sont nuls, noté $0$.
• Degré deg P : Le degré de $P$ est le plus grand entier $i$ tel que le coefficient $a_i$ ne soit pas nul, noté $\mathrm{deg}\,P$.
• Fonction polynôme P : À chaque polynôme $P\in K[X]$ on associe la fonction $P:K\to K$ qui envoie $x$ sur $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$.

📝 Points essentiels

• Si tous les $a_i$ sont nuls, alors $P$ est le polynôme nul noté $0$.
• Par convention, le degré du polynôme nul vérifie $\mathrm{deg}(0)=-\infty$.
• Un polynôme constant s’écrit $P=a_0$ et s’il est non nul, alors $\mathrm{deg}\,P=0$.
• L’évaluation $P(x)$ s’obtient en remplaçant $X$ par $x$ dans l’expression du polynôme.

💡 Astuce mémo

P envoie une image: polynôme (forme) ↔ fonction (valeurs) via $X\mapsto x$.