Introduction aux séries numériques et critères de convergence

1. 📌 L'essentiel

• Une série est la somme infinie de termes : ∑ n≥0 un.
• La convergence d'une série dépend de limite de ses sommes partielles.
• La série géométrique converge si |r<1, somme = a / (1 - r).
• La série harmonique ∑ 1/n diverge, malgré lim 1/n = 0.
• Critère de d’Alembert : lim (un+1 / un) = ℓ, converge si ℓ<1.
• Critère de Cauchy : lim n→∞ u_{1/n} n = ℓ, divergence si ℓ>1.
• Séries à termes positifs : convergence si la somme est bornée.
• Séries alternées : convergence si |un| décroissante vers 0.
• Convergence absolue : ∑ |un| converge, implique la convergence.
• Séries de référence : ∑ 1/n^a converge si a > 1.

2. 🧩 Structures & Composants clés

• Série — somme infinie de termes, notée ∑ un.
• Somme partielle — Un = ∑ k=0 n uk.
• Critère de convergence — tests pour déterminer si une série converge.
• Série géométrique — ∑ ar^n, converge si |r|<1.
• Série alternée — termes de signe changeant, convergence sous condition de décroissance vers 0.
• Reste Rn — partie de la série à partir de n+1, utile pour approximation.
• Série de référence — séries classiques pour comparer la convergence.