Quiz: Introduction aux suites numériques — 16 perguntas

1. Que doit-on établir dans l’étape d’hérédité d’une preuve par récurrence ?

A. Que la propriété est vraie sans hypothèse préalable

B. Que la propriété est vraie pour seulement deux rangs

C. Que la propriété est vraie au rang initial

D. Que la propriété vraie au rang n implique sa vérité au rang n+1

Answer: (D)

Explicação

L’hérédité consiste à montrer que si la propriété est vraie à l’ordre n, alors elle reste vraie à l’ordre n+1. Avec l’initialisation, cela permet de conclure pour tous les rangs.

2. Quelle est la première étape d’un raisonnement par récurrence ?

A. Vérifier la propriété à un rang de départ

B. Montrer directement la propriété pour tous les entiers

C. Supposer la propriété vraie pour tous les rangs

D. Calculer la limite de la suite associée

Answer: (A)

Explicação

L’initialisation consiste à vérifier la propriété au rang de départ, par exemple n = 0 ou n = 1 selon l’énoncé. On ne peut pas commencer par la conclusion sans cette base.

3. Quelle écriture traduit le fait qu’une suite est minorée ?

A. U_n ge m pour tout n

B. U_n = m pour tout n

C. U_n le k pour tout n

D. m le U_n le k pour tout n

Answer: (A)

Explicação

Une suite minorée possède une borne inférieure m telle que U_n ≥ m pour tout n. La relation U_n ≤ k correspond au contraire à une suite majorée.

4. Que permet de conclure le théorème des gendarmes pour une suite Uₙ encadrée par deux suites convergeant vers la même limite ?

A. Uₙ converge vers cette même limite

B. Uₙ est forcément monotone

C. Uₙ a une limite infinie

D. Uₙ est nécessairement bornée entre deux constantes fixes

Answer: (A)

Explicação

Si Vₙ ≤ Uₙ ≤ Wₙ et que Vₙ et Wₙ convergent vers la même valeur, alors Uₙ converge aussi vers cette valeur. C’est précisément l’idée du théorème des gendarmes.

5. Qu’est-ce qu’une suite numérique ?

A. Une liste de nombres réels indexée par un rang

B. Une collection de nombres forcément finis

C. Une suite de nombres sans indice

D. Une fonction définie seulement sur les entiers relatifs

Answer: (A)

Explicação

Une suite numérique est bien une liste de nombres réels repérés par un indice. L’indice permet de distinguer chaque terme de la suite.

6. Quelle écriture correspond à une suite définie récursivement ?

A. U_n = 2n + 3

B. U_{n+1} = 5U_n

C. U_n = U_0 + nr

D. U_n = n^2 - 1

Answer: (B)

Explicação

Une définition récursive calcule un terme à partir du précédent, ici avec une relation entre U_{n+1} et U_n. Les autres écritures donnent directement U_n en fonction de n.

7. Quelle relation définit une suite arithmétique de raison r ?

A. U_{n+1} = qU_n

B. U_{n+1} = U_n + r

C. U_n = q^nU_0

D. U_n = U_0 / r^n

Answer: (B)

Explicação

Dans une suite arithmétique, on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours la même quantité r. C’est exactement la relation U_{n+1} = U_n + r.

8. Quelle formule donne la somme des termes d’une suite arithmétique de rangs p à n ?

A. (n - p + 1)( U_p - U_n ) / 2

B. (n - p + 1)( U_p + U_n ) / 2

C. (n + p + 1)( U_p + U_n ) / 2

D. (n - p)( U_p + U_n ) / 2

Answer: (B)

Explicação

La somme d’une suite arithmétique sur l’intervalle [p,n] vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne des deux extrêmes. D’où (n - p + 1)(U_p + U_n)/2.

9. Pour une suite positive, quel critère permet d’étudier la croissance ou la décroissance ?

A. Comparer U_{n+1} + U_n à 0

B. Comparer U_{n+1} / U_n à 1

C. Comparer U_{n+1} - U_n à 1

D. Comparer U_n à n

Answer: (B)

Explicação

Pour une suite positive, on peut utiliser le rapport U_{n+1}/U_n et le comparer à 1. C’est le critère indiqué pour ce type de suite.

10. Dans une suite géométrique vérifiant Uₙ₊₁ = qUₙ, que représente q ?

A. La différence ajoutée à chaque terme

B. Le nombre de termes de la suite

C. Le premier terme de la suite

D. Le facteur multiplicatif entre deux termes consécutifs

Answer: (D)

Explicação

La raison q est le facteur constant de multiplication entre deux termes consécutifs. La différence ajoutée à chaque terme caractérise au contraire une suite arithmétique.

11. Quelle formule donne un terme d’une suite géométrique de raison q à partir du premier terme U₀ ?

A. Uₙ = U₀ + nq

B. Uₙ = U₀ + qⁿ

C. Uₙ = U₀ × qⁿ

D. Uₙ = q + nU₀

Answer: (C)

Explicação

Dans une suite géométrique, chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par q, ce qui conduit à la formule explicite Uₙ = U₀×qⁿ. La formule U₀ + nq correspondrait à une suite arithmétique.

12. Que peut-on conclure si, pour tout n, U_{n+1} - U_n > 0 ?

A. La suite est strictement croissante

B. La suite est simplement croissante

C. La suite est bornée

D. La suite est strictement décroissante

Answer: (A)

Explicação

Si la différence entre deux termes consécutifs est toujours positive, chaque terme est strictement plus grand que le précédent. Cela caractérise une suite strictement croissante.

13. Que signifie dire qu’une suite est bornée ?

A. Elle est encadrée par deux constantes

B. Elle admet une limite

C. Tous ses termes sont positifs

D. Elle est à la fois croissante et décroissante

Answer: (A)

Explicação

Une suite bornée est encadrée par deux bornes fixes m et k, donc m ≤ U_n ≤ k pour tout n. Être bornée ne signifie pas forcément avoir une limite.

14. Quelle formule donne le terme U_n d’une suite arithmétique à partir de U_0 ?

A. U_n = U_0 - nr

B. U_n = U_0 + nr

C. U_n = U_0r^n

D. U_n = n + U_0r

Answer: (B)

Explicação

Pour une suite arithmétique, le terme général s’écrit U_n = U_0 + nr. La raison r s’ajoute n fois à partir du premier terme.

15. Quand la suite géométrique de raison q vérifie-t-elle que qⁿ tend vers 0 ?

A. Quand q est égal à 1

B. Quand q est supérieur à 1

C. Quand -1 < q < 1

D. Quand q est inférieur ou égal à -1

Answer: (C)

Explicação

Pour une suite géométrique, qⁿ tend vers 0 lorsque la raison est strictement comprise entre -1 et 1. Si q > 1, la suite diverge vers +∞, et si q ≤ -1, la limite n’existe pas.

16. Combien de termes contient la somme U_p + U_{p+1} + dots + U_n ?

A. n - p + 1

B. n - p

C. p + n

D. p - n + 1

Answer: (A)

Explicação

Entre les indices p et n inclus, il y a n - p + 1 termes. Ce comptage est essentiel dans la formule de la somme d’une suite arithmétique.