f(x)=ax^2+bx+c, avec a≠0 et a,b,c réels
Explicação
Une fonction du second degré s’écrit f(x)=ax²+bx+c, où a est non nul et où a, b et c sont réels. La présence du terme en x² caractérise ce degré.
Une parabole
Explicação
La représentation graphique d’une fonction du second degré est une parabole. Elle se distingue notamment d’une droite par la présence du terme en x².
La parabole est tournée vers le bas et la fonction possède un maximum
Explicação
Lorsqu'a<0, la parabole est tournée vers le bas et la fonction atteint un maximum. Le cas a>0 correspond au contraire à une parabole tournée vers le haut avec un minimum.
α=−b/(2a) et β=f(α)=−Δ/(4a)
Explicação
La forme canonique est f(x)=a(x−α)²+β, avec α=−b/(2a) et β=f(α)=−Δ/(4a). Ces paramètres déterminent notamment la position du sommet.
Au point S(α;β)
Explicação
Le sommet est le point S(α;β). La droite d’équation x=α est l’axe de symétrie, et non le sommet lui-même.
Elle décroît jusqu’à x=α puis croît
Explicação
Si a>0, la parabole est tournée vers le haut : la fonction décroît jusqu’à l’abscisse α du sommet, puis elle croît. Le sommet correspond alors à un minimum.
Δ=b²−4ac
Explicação
Le discriminant se calcule avec la formule Δ=b²−4ac. Sa valeur permet ensuite de déterminer le nombre de solutions réelles de l’équation.
Elle possède deux solutions réelles distinctes
Explicação
Lorsque Δ>0, l’équation possède deux solutions réelles distinctes, données par les deux formules contenant −b−√Δ et −b+√Δ. Une racine double correspond au cas Δ=0.
L’équation possède une racine réelle double x₀=−b/(2a)
Explicação
Si Δ=0, l’équation possède une racine réelle double x₀=−b/(2a). L’absence de solution réelle intervient lorsque Δ<0.
a(x−x₀)²
Explicação
Lorsque Δ=0, l’unique racine réelle est une racine double x₀, donc ax²+bx+c=a(x−x₀)². La factorisation avec deux racines distinctes correspond à Δ>0.
Il est négatif
Explicação
Lorsque Δ>0, le polynôme a le signe opposé à celui de a entre les deux racines. Comme a>0, il est donc négatif sur ]x₁;x₂[.
Il garde le signe de a, sauf en la racine où il vaut zéro
Explicação
Si Δ=0, le polynôme s’annule en la racine double x₀, mais il ne change pas de signe : il conserve le signe de a ailleurs.
Il est négatif partout
Explicação
Lorsque Δ<0, le polynôme garde toujours le signe de a. Puisqu'a<0, il est négatif partout et ne possède pas de racine réelle.
Calculer le discriminant, déterminer les racines, construire le tableau de signes, puis lire les solutions
Explicação
La résolution suit une démarche structurée : calcul du discriminant, détermination des racines, construction du tableau de signes, puis lecture de l’ensemble solution.
Le sommet a pour abscisse xₛ=−b/(2a) et l’axe est la droite x=−b/(2a)
Explicação
L’abscisse du sommet vaut xₛ=−b/(2a), tandis que l’axe de symétrie est la droite verticale d’équation x=−b/(2a).
Transformer l’équation en f(x)−k=0
Explicação
On ramène f(x)=k sous la forme f(x)−k=0, puis on applique la méthode du discriminant à ce nouveau polynôme du second degré.
Il s’agit d’un minimum si a>0 et d’un maximum si a<0
Explicação
L’extremum est atteint en xₛ=−b/(2a). Si a>0, la parabole est tournée vers le haut et l’extremum est un minimum ; si a<0, c’est un maximum.
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Quelle est la forme générale d'une fonction du second degré ?
f(x)=ax^2+bx+c avec a non nul.
Quelle est la forme de la courbe représentant une fonction du second degré ?
Une parabole.
Que se passe-t-il si a est positif dans une fonction du second degré ?
La parabole est tournée vers le haut et la fonction a un minimum.
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