Revision sheet: Valeur et risque financier

📋 Plan du Cours

1. Principes du risque et de la rentabilité
2. Diversification et composantes du risque
3. Rentabilité et espérance mathématique
4. Variance et écart-type
5. Covariance et bêta
6. Modèle MEDAF ou CAPM
7. Modèles de Fama et French
8. Modèle APT multifactoriel

📖 1. Principes du risque et de la rentabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Rentabilité-risque : Selon Markowitz, l’investisseur rationnel cherche à maximiser l’espérance de rentabilité et à minimiser le risque.

★ À maîtriser

• À niveau de risque identique, l’investisseur choisit le titre présentant la rentabilité la plus élevée, tandis qu’à niveau de rentabilité identique il choisit celui présentant le risque minimal.

• Plus le risque d’un actif est élevé, plus le taux de rémunération exigé par l’investisseur est élevé.

Compléments

• Un actif sans risque offre une probabilité de 100 % d’obtenir un rendement connu, comme un bon du Trésor ou le Livret A, tandis qu’un actif risqué offre un rendement aléatoire, comme une action ou un produit dérivé.

📖 2. Diversification et composantes du risque

★ À maîtriser

📌 Le risque systématique est lié au marché, rémunéré et non diversifiable, tandis que le risque spécifique est propre à l’entreprise, non rémunéré en portefeuille et diversifiable.

• La diversification consiste à répartir les investissements entre plusieurs actions plutôt qu’à les concentrer sur une seule afin de réduire le risque sans diminuer la rentabilité.

Compléments

• Le risque spécifique dépend notamment de l’image de marque, de la qualité des produits, du capital humain et de la gestion de l’entreprise.

• Le risque total d’un portefeuille ne peut pas être totalement annulé, car les actifs ne fluctuent pas de façon totalement indépendante et leurs covariances subsistent.

💡 Astuce mémo

Spécifique diversifiable, systématique non diversifiable

📖 3. Rentabilité et espérance mathématique

★ À maîtriser

📐 Formule — La rentabilité d’un titre mesure le gain obtenu par rapport à l’investissement initial et combine les flux monétaires perçus, comme les dividendes ou coupons, et la variation du prix : $R_t = \frac{C_N-C_{N-1}+D_N}{C_{N-1}}$.

📐 Formule — La rentabilité espérée d’un titre en avenir incertain est la moyenne pondérée de ses rentabilités possibles par leurs probabilités : $E(R_t)=\sum_i p_iR_{t,i}$.

Compléments

📐 Formule — La rentabilité espérée d’un portefeuille est la moyenne pondérée des rentabilités espérées des titres qui le composent : $E(R_p)=\sum_i w_iE(R_i)$.

📖 4. Variance et écart-type

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance : Mesure la dispersion des rendements d’un actif autour de leur moyenne et quantifie l’incertitude liée à leur variabilité future.

★ À maîtriser

• Une variance élevée signifie que les rendements s’écartent fortement de leur moyenne et indiquent un risque élevé, tandis qu’une variance faible correspond à des rendements proches de leur moyenne et à un risque faible.

📐 Formule — L’écart-type est la racine carrée de la variance : $\sigma(R_t)=\sqrt{VAR(R_t)}$.

Compléments

• Deux actions peuvent avoir la même moyenne de rendement de 5 %, mais l’action B, dont les rendements vont de −10 % à +20 %, possède une variance supérieure à celle de l’action A, dont le rendement est toujours proche de 5 %.

📐 Formule — En avenir incertain, la variance d’une rentabilité est calculée par $VAR(R_t)=\sum_i p_i\left(R_{t,i}-E(R_t)\right)^2$.

💡 Astuce mémo

Dispersion élevée → volatilité et risque élevés

📖 5. Covariance et bêta

🔑 Notions clés & Définitions

• Covariance : Mesure la manière dont la rentabilité d’un titre évolue conjointement avec celle du marché ou d’un autre actif.
• Bêta : Mesure la sensibilité du rendement d’un actif aux variations du rendement du marché et quantifie son risque systématique.

★ À maîtriser

• Une covariance positive signifie que le titre et le marché ont tendance à évoluer dans le même sens, une covariance négative qu’ils évoluent en sens contraire, et une covariance proche de zéro qu’il n’existe pas de lien linéaire clair.

📐 Formule — Le bêta d’un titre est le rapport entre sa covariance avec le marché et la variance du marché : $\beta_t=\frac{COV(R_t,R_m)}{VAR(R_m)}$.

• Un bêta égal à 0 indique une indépendance vis-à-vis du marché, égal à 1 un suivi du marché, supérieur à 1 une amplification de ses fluctuations et inférieur à 1 une réaction plus faible.

Compléments

• Le calcul du bêta devient peu fiable avec une série d’observations trop courte, car quelques événements ponctuels peuvent fortement influencer l’estimation.

📖 6. Modèle MEDAF ou CAPM

🔑 Notions clés & Définitions

• MEDAF : Explique la rentabilité attendue d’un actif en fonction de son risque systématique sur un marché à l’équilibre.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le MEDAF détermine la rentabilité attendue d’un actif par la somme du taux sans risque et d’une prime de risque de marché pondérée par le bêta : $E(R_t)=R_s+\beta_t\left[E(R_m)-R_s\right]$.

• Dans le MEDAF, le seul risque rémunéré est le risque systématique mesuré par le bêta, car le risque spécifique est supposé diversifiable.

Compléments

• Le MEDAF sert notamment à estimer le coût des capitaux propres et le taux d’actualisation des flux de trésorerie dans les décisions d’investissement.

• Avec un taux sans risque de 3 %, un rendement annuel du marché de 13,9 % et un bêta de 1,4, le coût des capitaux propres calculé par le MEDAF est de 18,26 %.

• Le MEDAF repose sur des hypothèses simplificatrices, utilise des observations passées pour prévoir les rendements, ignore le risque spécifique et ne tient pas compte de l’effet taille.

📖 7. Modèles de Fama et French

🔑 Notions clés & Définitions

• Modèle de Fama-French : Étend le MEDAF en expliquant les rendements par le facteur marché et par les facteurs taille et valeur.
• Facteur taille : Mesure la différence entre la rentabilité des petites capitalisations et celle des grandes capitalisations.
• Facteur valeur : Mesure la différence entre la rentabilité des titres présentant un ratio valeur comptable sur valeur de marché élevé et celle des titres présentant un ratio faible.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans le modèle de Fama-French à trois facteurs, la rentabilité attendue combine le taux sans risque, la prime de marché, la prime de taille SMB et la prime de valeur HML : $E(R_t)=R_s+\beta_t(R_m-R_s)+\beta_x(R_{small}-R_{big})+\beta_y(R_{high}-R_{low})$.

Compléments

• En 1997, Carhart a ajouté le momentum comme quatrième facteur, puis Fama et French ont proposé en 2014 un modèle à cinq facteurs ajoutant la rentabilité et l’investissement sans intégrer directement le momentum.

• Les facteurs de Fama-French sont identifiés a posteriori, leurs primes varient selon les périodes et les marchés, et leur ajout complexifie l’interprétation du modèle.

📖 8. Modèle APT multifactoriel

🔑 Notions clés & Définitions

• Modèle APT : L’APT, proposé par Stephen Ross en 1976, explique la rentabilité d’un actif par son exposition à plusieurs sources de risque systématique et repose sur l’absence d’opportunités d’arbitrage.

★ À maîtriser

• Selon l’APT, l’absence d’arbitrage signifie qu’il est impossible de construire un portefeuille sans risque offrant un rendement positif à l’équilibre.

📐 Formule — Dans l’APT, la rentabilité attendue est la somme du taux sans risque et des primes de risque de plusieurs facteurs, chacune pondérée par la sensibilité du titre à ce facteur : $E(R_t)=R_s+\sum_{j=1}^{n}\beta_j\lambda_j$.

• L’APT ne définit pas a priori les facteurs à utiliser : ils sont choisis empiriquement selon le marché et la période étudiés.

Compléments

• Les facteurs de l’APT peuvent inclure le marché, l’inflation, les taux d’intérêt, la croissance du PIB, le rendement des obligations d’État, la prime de risque de crédit et des variables sectorielles ou macroéconomiques.

• Les principales limites de l’APT sont le choix subjectif des facteurs, l’estimation statistiquement lourde et instable, l’absence de consensus sur leur nombre et une interprétation moins intuitive que celle du MEDAF.

📊 Tableaux de synthèse

Composantes du risque

Risque	Origine	Diversifiable	Rémunéré
Systématique	Marché et conjoncture	Non	Oui
Spécifique	Entreprise	Oui	Non en portefeuille