Revision sheet: Analyse des fonctions de deux variables

📋 Plan du Cours

1. Ouverts de R2
2. Continuité des fonctions de deux variables
3. Dérivées partielles et classe C1
4. Développement limité et gradient
5. Dérivation des fonctions composées
6. Extrema et points critiques

📖 1. Ouverts de R2

🔑 Notions clés & Définitions

• Boules ouvertes : Une boule ouverte de centre p et de rayon r est l’ensemble des points x dont la distance à p est strictement inférieure à r.
• Disques ouverts : Dans R2, la boule ouverte B(p,r) s’appelle disque ouvert de centre p et de rayon r et est notée D(p,r).
• Ouvert de R2 : Un ensemble U de R2 est ouvert si tout point p de U admet un disque ouvert D(p,r) entièrement contenu dans U.

📝 Points essentiels

• La norme euclidienne canonique de Rn vaut ∥(x1,…,xn)∥=√(x1^2+…+xn^2).
• Pour n=2, on remplace la boule ouverte par le disque ouvert noté D(p,r).
• U est ouvert si pour tout p∈U il existe r>0 tel que D(p,r)⊂U.

💡 Astuce mémo

Ouvert = chaque point est entouré d’un petit disque contenu entièrement dans l’ensemble.

📖 2. Continuité des fonctions de deux variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction f est continue en p si, quand u s’approche de p, la valeur f(u) s’approche de f(p) de façon contrôlée par ε.
• Continuité : Une fonction est continue sur U si elle est continue en tout point p de U.
• Hypothèse f(p)=0 : Quand f(p)=0, la continuité s’écrit comme un contrôle de f(u) lui-même au voisinage de p.
• Graphe Γf : Le graphe Γf d’une fonction f:U→R est l’ensemble des triplets (x,y,f(x,y)) avec (x,y) dans U.

📝 Points essentiels

• La continuité en p s’écrit: ∀ε>0 ∃η>0 ∀u∈U (∥u−p∥≤η ⇒ |f(u)−f(p)|≤ε).
• Si f(p)=0, la condition devient ∀ε>0 ∃η>0 ∀u∈U (∥u−p∥≤η ⇒ |f(u)|≤ε).
• Pour deux variables, la continuité est stable par opérations sur les fonctions continues, avec preuves analogues.

💡 Astuce mémo

Continuité = même définition ε-η, seule la distance ∥u−p∥ change de géométrie.

📖 3. Dérivées partielles et classe C1

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée partielle ∂1f : La dérivée partielle ∂1f(a,b) est la dérivée en a de l’application x↦f(x,b), quand elle existe.
• Dérivée partielle ∂2f : La dérivée partielle ∂2f(a,b) est la dérivée en b de l’application y↦f(a,y), quand elle existe.
• Classe C1 : Une fonction f est de classe C1 si elle admet ∂f/∂x et ∂f/∂y partout et si ces deux dérivées partielles sont continues.
• Notation C1(U,R) : C1(U,R), ou C1(U) par abréviation, désigne l’ensemble des fonctions de classe C1 définies sur U.

📝 Points essentiels

• ∂1f(a,b) = φ'1(a) avec φ1(x)=f(x,b) et ∂2f(a,b) = φ'2(b) avec φ2(y)=f(a,y).
• En notation, ∂f/∂x(a,b)=∂1f(a,b) et ∂f/∂y(a,b)=∂2f(a,b).
• Si ∂f/∂x et ∂f/∂y existent partout, cela n’implique pas la continuité de f en tout point de U.

💡 Astuce mémo

∂1 = on dérive en x en gardant y fixé; ∂2 = on dérive en y en gardant x fixé.

📖 4. Développement limité et gradient

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité à l’ordre 1 : Le développement à l’ordre 1 exprime f(x,y) près de (a,b) comme une valeur en p plus une approximation affine plus un reste négligeable.
• Gradient ∇f : Le gradient de f de classe C1 est le champ qui associe à (a,b) le vecteur (∂f/∂x(a,b), ∂f/∂y(a,b)).
• Terme d’erreur ε(x,y) : Le reste ε(x,y) dans le développement vérifie que ε(x,y) tend vers 0 quand (x,y) tend vers le point p.

📝 Points essentiels

• Si f∈C1(U,R) et p=(a,b), alors f(x,y)=f(a,b)+(x−a)∂f/∂x(a,b)+(y−b)∂f/∂y(a,b)+ε(x,y)∥(x,y)−(a,b)∥ avec ε(x,y)→0 quand (x,y)→p.
• La formule géométrique donne le plan affine z=f(a,b)+∂f/∂x(a,b)(x−a)+∂f/∂y(a,b)(y−b), tangent au graphe au point (a,b).
• ∇f(a,b)=(0,0) équivaut à ∂f/∂x(a,b)=0 et ∂f/∂y(a,b)=0.

💡 Astuce mémo

Ordre 1 = “valeur + pente x + pente y + reste” (reste petit devant la distance).

📖 5. Dérivation des fonctions composées

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition φ∘f : La composition φ∘f associe à u la valeur φ(f(u)) et hérite de la régularité de f et de φ.
• Règle de la chaîne (paramétrisation) : Pour une courbe t↦(γ1(t),γ2(t)), la dérivée de f(γ1(t),γ2(t)) combine les dérivées partielles avec γ1’ et γ2’.
• Règle de la chaîne (changement de variables) : Pour Φ(u,v)=(φ(u,v),ψ(u,v)), les dérivées partielles de f∘Φ se calculent par somme “dérivée externe × dérivée interne”.
• Dérivée selon un vecteur D_v f(p) : La dérivée de f en p selon v=(h,k) est la dérivée en 0 de t↦f(p+tv), notée D_v f(p).

📝 Points essentiels

• Si f∈C1(U,R), I intervalle et φ∈C1(I,R), alors φ∘f est de classe C1 et ∂(φ∘f)/∂x(p)=φ'(f(p))∂f/∂x(p) (idem pour y).
• Si γ1,γ2∈C1(I,R), alors (f∘γ)'(a)=∂f/∂x(γ(a))γ1'(a)+∂f/∂y(γ(a))γ2'(a).
• Pour v=(h,k), D_v f(p)=h∂f/∂x(p)+k∂f/∂y(p)=(∇f(p) | v).
• Si Φ(u,v)=(φ(u,v),ψ(u,v)) et f∈C1, alors ∂1(f∘Φ)(p)=∂1f(Φ(p))∂1φ(p)+∂2f(Φ(p))∂1ψ(p) et ∂2(f∘Φ)(p)=∂1f(Φ(p))∂2φ(p)+∂2f(Φ(p))∂2ψ(p).

💡 Astuce mémo

Chaîne = “on multiplie la dérivée de l’extérieur par la dérivée de l’intérieur”, puis on somme les contributions x et y.

📖 6. Extrema et points critiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum en p : f a un maximum en p si toutes les valeurs de f sur X sont inférieures ou égales à f(p).
• Maximum local : f a un maximum local en p s’il existe un rayon η tel que f(z)≤f(p) pour tous z dans X∩D(p,η).
• Extremum : Un extremum en p signifie que f admet soit un maximum en p, soit un minimum en p.
• Point critique : Pour f de classe C1, p est un point critique si les deux dérivées partielles y sont nulles.

📝 Points essentiels

• f admet un maximum local en p s’il existe η>0 tel que ∀z∈X∩D(p,η), f(z)≤f(p).
• p est critique si ∂f/∂x(p)=0 et ∂f/∂y(p)=0, donc si ∇f(p)=(0,0).
• Si f∈C1 et admet un extremum local en p, alors p est un point critique de f.
• La réciproque est fausse: un point critique ne garantit pas l’existence d’un extremum local.

💡 Astuce mémo

Extremum local ⇒ gradient nul, mais gradient nul ⇒/≠ forcément extremum local.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre disque ouvert D(p,r) et boule ouverte: en R2, on utilise le disque et la notation change.
2. Penser que l’existence des dérivées partielles en tout point implique la continuité: ce n’est pas vrai.
3. Appliquer la réciproque “point critique ⇒ extremum local”: elle est explicitement fausse.
4. Oublier que ∂1 correspond à la variable x et ∂2 à la variable y, donc se tromper dans les formules de la chaîne.
5. Écrire un ε-η sans contrôle via la norme ∥u−p∥, alors que la définition de continuité dépend de cette distance.
6. Croire que le gradient est une valeur scalaire: c’est un vecteur (∂f/∂x, ∂f/∂y).

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner la définition d’un disque ouvert D(p,r) et reconnaître qu’un ouvert U vérifie l’existence d’un disque contenu pour chaque point p.
2. Écrire correctement la définition ε-η de la continuité en p pour une fonction de deux variables.
3. Utiliser le graphe Γf pour comprendre la représentation d’une fonction f:U→R en dimension 3.
4. Calculer ∂1f et ∂2f via les applications partielles x↦f(x,b) et y↦f(a,y).
5. Enoncer la définition de C1: dérivées partielles partout et continuité de ∂f/∂x et ∂f/∂y.
6. Écrire le développement limité à l’ordre 1 en p avec la forme “reste × norme de (x,y)−p” et la limite ε→0.
7. Passer d’une dérivée du composé φ∘f à la formule ∂(φ∘f)/∂x = φ'(f)∂f/∂x et pareil pour y.
8. Appliquer la règle de la chaîne avec une courbe γ: calculer (f∘γ)'(a) en combinant γ1'(a), γ2'(a) et les dérivées partielles de f.
9. Appliquer la règle de la chaîne avec Φ(u,v)=(φ,ψ): exprimer ∂1(f∘Φ) et ∂2(f∘Φ) comme sommes de produits.
10. Définir la dérivée selon un vecteur D_v f(p) et la relier au produit scalaire (∇f(p)|v).
11. Définir maximum local/maximum global et distinguer extremum et extremum local.
12. Repérer les points critiques d’une fonction C1 en imposant ∂f/∂x(p)=0 et ∂f/∂y(p)=0, puis rappeler que extremum local ⇒ point critique.