Quiz: Ensembles et divisibilité dans Z — 14 questions

1. Quelle condition caractérise le fait que b soit un diviseur de l’entier relatif a, avec b dans les entiers naturels non nuls ?

A. Il existe un entier relatif k tel que b = a + k

B. Il existe un entier naturel k tel que b = k × a

C. Il existe un entier relatif k tel qu'a = k × b

D. Il existe un entier naturel k tel qu'a = b + k

Answer: (C)

Explanation

b est un diviseur de a lorsqu’il existe un entier relatif k vérifiant a = k × b. Le quotient k peut donc être négatif, nul ou positif.

2. Dans l’égalité −42 = 7 × (−6), quelle affirmation est correcte ?

A. −42 est un diviseur de 7 et 7 est un multiple de −42

B. 7 est un multiple de −42 et −42 est un diviseur de 7

C. 7 est un diviseur de −42 et −42 est un multiple de 7

D. −6 est un diviseur de 7 et 7 est un multiple de −6

Answer: (C)

Explanation

Le facteur 7 est le diviseur, tandis que le nombre obtenu −42 est le multiple de 7. L’entier −6 fournit le quotient dans l’égalité.

3. Si deux entiers sont des multiples de 6, que peut-on conclure à propos de leur somme ?

A. Leur somme n’est jamais divisible par 6

B. Leur somme est nécessairement un diviseur de 6

C. Leur somme est encore un multiple de 6

D. Leur somme est nécessairement impaire

Answer: (C)

Explanation

La somme de deux multiples d’un même nombre naturel est encore un multiple de ce nombre. Ainsi, la somme de deux multiples de 6 est un multiple de 6.

4. Quel critère permet de déterminer si un entier est divisible par 2 ?

A. Ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 2

B. Son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8

C. La différence entre ses chiffres est un multiple de 2

D. La somme de ses chiffres est divisible par 2

Answer: (B)

Explanation

La divisibilité par 2 se lit directement grâce au chiffre des unités, qui doit être pair. La somme des chiffres intervient notamment pour les critères de divisibilité par 3 et par 9.

5. Un entier a pour chiffres 4, 7 et 2. Quelle méthode permet de tester sa divisibilité par 3 ou par 9 ?

A. Examiner le nombre formé par les deux derniers chiffres 72

B. Calculer la différence entre les chiffres de rang impair et pair

C. Examiner uniquement le chiffre des unités 2

D. Calculer la somme 4 + 7 + 2 et tester sa divisibilité par 3 ou par 9

Answer: (D)

Explanation

Pour 3 ou 9, on additionne les chiffres de l’entier. Ici, la somme vaut 13, qui n’est divisible ni par 3 ni par 9.

6. Pour savoir si 1 324 est divisible par 4, quel nombre faut-il examiner ?

A. 10, car il correspond au nombre de dizaines

B. 4, car il correspond au chiffre des unités

C. 132, car il forme les trois premiers chiffres

D. 24, car il est formé par les deux derniers chiffres

Answer: (D)

Explanation

Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. Comme 24 est divisible par 4, 1 324 l’est également.

7. Pour tester la divisibilité d’un entier par 11, que faut-il calculer ?

A. Le nombre formé par les deux derniers chiffres et vérifier s’il est divisible par 11

B. La différence entre les sommes des chiffres de rang impair et de rang pair, en partant de la droite

C. La somme de tous les chiffres et vérifier si elle est divisible par 11

D. Le chiffre des unités et vérifier s’il est égal à 0 ou à 1

Answer: (B)

Explanation

Le critère de divisibilité par 11 repose sur la différence entre la somme des chiffres de rang impair et celle des chiffres de rang pair, en comptant depuis la droite. Cette différence doit être un multiple de 11.

8. Quelle écriture caractérise un entier pair ?

A. n = k², avec k entier relatif

B. n = k + 2, avec k entier naturel

C. n = 2k + 1, avec k entier relatif

D. n = 2k, avec k entier relatif

Answer: (D)

Explanation

Un entier est pair lorsqu’il peut s’écrire comme le produit de 2 par un entier relatif. La forme 2k + 1 caractérise au contraire un entier impair.

9. Quelle écriture caractérise un entier impair ?

A. n = 2k, avec k entier relatif

B. n = 3k, avec k entier relatif

C. n = k − 1, avec k entier naturel

D. n = 2k + 1, avec k entier relatif

Answer: (D)

Explanation

Un entier impair s’écrit 2k + 1 avec k entier relatif. Cette forme exprime qu’il est situé à une unité d’un multiple de 2.

10. Quelle affirmation décrit correctement la parité du carré d’un entier ?

A. Le carré d’un entier pair est pair et celui d’un entier impair est impair

B. Le carré conserve toujours la parité opposée à celle de l’entier

C. Le carré de tout entier est pair

D. Le carré de tout entier est impair

Answer: (A)

Explanation

Élever un entier au carré conserve sa parité : le carré d’un pair est pair, tandis que le carré d’un impair est impair.

11. Quel ensemble contient les nombres 0, 1, 2, 3 et tous les entiers positifs, sans contenir les entiers négatifs ?

A. L’ensemble des nombres rationnels Q

B. L’ensemble des entiers relatifs Z

C. L’ensemble des entiers naturels N

D. L’ensemble des nombres décimaux D

Answer: (C)

Explanation

L’ensemble N est défini par {0, 1, 2, 3, …}. Les entiers négatifs appartiennent à Z, mais pas à N.

12. Laquelle des écritures suivantes caractérise un nombre décimal ?

A. Une écriture de la forme a/10ⁿ, avec a entier et n naturel

B. Une écriture de la forme a/b, avec a et b entiers et b non nul

C. Une écriture dont le dénominateur est toujours un nombre premier

D. Une écriture nécessairement dépourvue de partie décimale

Answer: (A)

Explanation

Un nombre décimal peut s’écrire a/10ⁿ, où a appartient à Z et n appartient à N. Tout nombre rationnel possède une écriture a/b, mais son dénominateur n’est pas nécessairement une puissance de 10.

13. Laquelle de ces écritures définit un nombre rationnel ?

A. a/b, avec a et b naturels et b égal à zéro

B. a/10ⁿ, avec a réel et n entier négatif

C. a/b, avec a et b entiers et b différent de zéro

D. a√b, avec a et b entiers quelconques

Answer: (C)

Explanation

Un nombre rationnel s’écrit sous la forme a/b, avec a et b entiers et b ≠ 0. Le dénominateur ne peut pas être nul.

14. Quelle relation décrit correctement l’emboîtement des principaux ensembles de nombres ?

A. N ⊂ D ⊂ Z ⊂ R ⊂ Q

B. R ⊂ Q ⊂ D ⊂ Z ⊂ N

C. Z ⊂ N ⊂ Q ⊂ D ⊂ R

D. N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

Answer: (D)

Explanation

Les ensembles sont emboîtés dans l’ordre N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R. Ainsi, tout naturel est entier, tout entier est décimal, tout décimal est rationnel et tout rationnel est réel.