Lernzettel: Fonctions du second degré et paraboles

📋 Plan du Cours

1. Définition des fonctions du second degré
2. Parabole et sens de variation
3. Axe de symétrie et sommet
4. Associer fonction et courbe
5. Déterminer l’expression à partir du graphique

📖 1. Définition des fonctions du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction définie sur ℝ par une expression de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Trinôme : Un trinôme est le nom donné à une fonction polynôme du second degré.
• Degré 1 fonction affine : Une fonction affine est une fonction polynôme de degré 1, de la forme $k(x)=(\text{constante})x+\text{constante}$.

📝 Points essentiels

• Une fonction du second degré s’écrit toujours sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ et $b,c$ réels.
• Une fonction polynôme de degré 2 correspond à l’appellation « trinôme ».
• Le polynôme $k(x)=(x-4)(5-2x)$ est une fonction polynôme de degré 2 car elle se développe en $ax^2+bx+c$ avec coefficient de $x^2$ non nul.
• Le polynôme $m(x)=5x-3$ est de degré 1 car l’expression ne contient pas de terme en $x^2$.
• Le polynôme $n(x)=5x^4-7x^3+3x-8$ est de degré 4 à cause du terme $5x^4$.

💡 Astuce mémo

Pense à « 2 » : la puissance la plus élevée est $x^2$ et donc le coefficient $a$ ne doit pas être nul.

📖 2. Parabole et sens de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré s’appelle une parabole.

📝 Points essentiels

• Si $a>0$ dans $f(x)=ax^2+b$, la parabole est d’abord décroissante puis croissante.
• Si $a<0$ dans $f(x)=ax^2+b$, la parabole est d’abord croissante puis décroissante.
• Le « sens » de variation dépend uniquement du signe de $a$ dans l’écriture $f(x)=ax^2+b$.

💡 Astuce mémo

Signe de $a$ : $+$ fait sourire (↓ puis ↑), $-$ fait bouder (↑ puis ↓).

📖 3. Axe de symétrie et sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Axe de symétrie : L’axe de symétrie d’une parabole d’équation $y=ax^2+b$ est l’axe des ordonnées.
• Sommet : Le sommet d’une parabole d’équation $y=ax^2+b$ est le point $(0\,;\,b)$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=-x^2+2$, le sommet est $S(0\,;\,2)$ et la parabole est tournée vers le bas.
• Pour toute parabole $y=ax^2+b$, l’axe de symétrie est toujours l’axe des ordonnées (vertical).
• Pour toute parabole $y=ax^2+b$, le sommet est toujours $(0\,;\,b)$, donc il se lit directement sur le terme constant $b$.

💡 Astuce mémo

Sommet = « la lecture du $b$ » : on remplace $x$ par $0$, donc $y=b$.

📖 4. Associer fonction et courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme $x\mapsto ax^2+b$ : Une fonction associée à une parabole de sommet $(0\,;\,b)$ s’écrit sous la forme $x\mapsto ax^2+b$ avec $a\neq 0$.

📝 Points essentiels

• Si une parabole a pour sommet $(0\,;\,0)$, alors $b=0$ et l’expression devient $f(x)=ax^2$.
• Si une parabole a pour sommet $(0\,;\,3)$, alors $b=3$ et l’expression devient $f(x)=ax^2+3$.
• Le signe de $a$ se déduit de l’ouverture : branches vers le haut signifie $a>0$, branches vers le bas signifie $a<0$.
• La parabole rouge (sommet à l’origine) représente $g(x)=-3x^2$ donc $a=-3$ est compatible avec une ouverture vers le bas.
• La parabole noire (sommet $(0\,;\,3)$ et ouverture vers le haut) représente $h(x)=x^2+3$ donc $a=1>0$.
• La parabole verte (sommet $(0\,;\,3)$ et ouverture vers le bas) représente $f(x)=-x^2+3$ donc $a=-1<0$.

💡 Astuce mémo

Associer en 2 étapes : 1) sommet pour trouver $b$, 2) ouverture pour trouver le signe de $a$.

📖 5. Déterminer l’expression à partir du graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur en 1 : Pour une parabole $f(x)=ax^2+b$ on peut utiliser la lecture de la valeur $f(1)$ pour former une équation avec $a$ et $b$.

📝 Points essentiels

• Si la courbe est une parabole d’axe des ordonnées, alors l’expression est de la forme $f(x)=ax^2+b$.
• Le sommet ayant pour coordonnées $(0\,;\,3)$ impose $f(x)=ax^2+3$.
• À partir du graphe, si $f(1)=1$ alors on obtient $a\cdot 1^2+3=1$ donc $a=-2$.
• Ainsi la fonction correspondant à la courbe est $f(x)=-2x^2+3$.

💡 Astuce mémo

Deux lectures suffisent : sommet (pour $b$) puis un point comme $x=1$ (pour $a$).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le nom : une fonction polynôme du second degré est un trinôme, mais une fonction affine est de degré 1 et non 2.
2. Oublier la contrainte $a\neq 0$ dans la forme $ax^2+bx+c$, ce qui ferait basculer le degré.
3. Se tromper de sens de variation : $a>0$ donne décroissante puis croissante, tandis que $a<0$ donne l’inverse.
4. Intervertir axe et sommet : l’axe des ordonnées est fixe pour $y=ax^2+b$, alors que le sommet dépend de $b$.
5. Lire mal la coordonnée $b$ du sommet : le sommet est $(0\,;\,b)$, donc $b$ est la valeur de la fonction quand $x=0$.
6. Assigner le mauvais signe à $a$ : ouverture vers le haut implique $a>0$, ouverture vers le bas implique $a<0$.
7. Chercher une forme trop générale : dans ce chapitre, on utilise $ax^2+b$ (pas de terme $bx$) quand l’axe des ordonnées est donné.

✅ Checklist Examen

1. Écrire la définition d’une fonction polynôme de degré 2 sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
2. Dire que la représentation graphique d’une fonction du second degré est une parabole.
3. Donner le sens de variation de $f(x)=ax^2+b$ quand $a>0$.
4. Donner le sens de variation de $f(x)=ax^2+b$ quand $a<0$.
5. Indiquer l’axe de symétrie de $y=ax^2+b$ : l’axe des ordonnées.
6. Lire le sommet d’une parabole $y=ax^2+b$ comme le point $(0\,;\,b)$.
7. Associer une parabole au bon $b$ à partir de son sommet.
8. Associer une parabole au bon signe de $a$ selon l’ouverture vers le haut ou vers le bas.
9. Associer une courbe dont le sommet est $(0\,;\,0)$ à une fonction de la forme $ax^2$ (avec $b=0$).
10. À partir d’un graphe, écrire la forme $f(x)=ax^2+b$ puis déterminer $b$ avec le sommet.
11. Utiliser un point lu sur le graphe, par exemple $f(1)=1$, pour résoudre $a$ dans $ax^2+b$.
12. Conclure avec l’expression finale $f(x)$ correspondant à la courbe étudiée (cas donné : $f(x)=-2x^2+3$).