Revision sheet: Introduction à l'électromagnétisme et ses applications

📋 Plan du Cours

1. Champs et potentiel électrostatiques
2. Circulation, flux et théorème de Gauss
3. Symétries du champ électrostatique
4. Analogies gravitationnelles et énergie
5. Dipôle électrostatique
6. Mouvement dans un champ magnétique
7. Équations de Maxwell
8. Effet Hall
9. Dipôle magnétique
10. Milieux magnétiques
11. Ferromagnétisme et hystérésis
12. Transformateur

📖 1. Champs et potentiel électrostatiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ électrostatique : Champ vectoriel qui décrit la force exercée par une charge sur une autre charge test placée en un point de l’espace.
• Potentiel électrostatique : Champ scalaire qui permet de calculer le travail entre deux positions et dont le gradient donne le champ électrostatique.
• Principe de superposition : Règle selon laquelle le champ et le potentiel dus à plusieurs charges s’obtiennent en additionnant les contributions de chaque charge.
• Densité volumique de charge : Grandeur ρ(M) qui mesure la quantité de charge par unité de volume au voisinage du point M.

📝 Points essentiels

• Pour une charge ponctuelle $q$ en $O$, la force sur une charge $q'$ placée en $M$ vaut $\vec F=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{qq'}{OM^2}\,\vec u_{OM}$, avec $\varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F\,m^{-1}}$.
• Le champ électrostatique créé en $\vec r$ par $q$ s’écrit $\vec E(\vec r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r^2}\,\vec u_r$ et la force s’obtient par $\vec F=q'\vec E(\vec r)$.
• Le potentiel scalaire associé à $q$ est $V(\vec r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r}$ et on a la relation vectorielle $\vec E=-\nabla V$.
• Pour des charges ponctuelles $q_k$, le potentiel et le champ se somment : $V(\!M)=\sum_k\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q_k}{O_kM}$ et $\vec E(\!M)=\sum_k\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q_k}{O_kM^2}\,\vec u_{O_kM}$.
• Pour une distribution continue, avec une densité $\rho(P)$, on a $V(M)=\int_{P\in E}\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\rho(P)\,dV}{PM}$ et $\vec E(M)=\int_{P\in E}\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\rho(P)\,dV}{PM^2}\,\vec u_{PM}$.
• Les formules pour distribution continue s’adaptent aussi aux charges linéiques et surfaciques en remplaçant $dV$ par l’élément de volume adapté.

💡 Astuce mémo

$\vec E=-\nabla V$ : le champ pointe “vers la baisse” du potentiel.

📖 2. Circulation, flux et théorème de Gauss

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ électrostatique conservatif : Champ électrostatique dont la circulation sur tout contour fermé est nulle, car il dérive d’un potentiel scalaire.
• Circulation électrique : Mesure intégrale de la composante tangentielle de $\vec E$ le long d’un contour, donnée par $\int_C \vec E\cdot \mathrm d\vec l$.
• Flux électrique : Mesure du débit du champ $\vec E$ à travers une surface orientée, donnée par $\int_S \vec E\cdot \mathrm d\vec S$.
• Angle solide : Grandeur géométrique $\Omega$ qui caractérise la “taille apparente” d’une surface vue depuis un point et qui intervient dans le flux.
• Plans de symétrie et d’antisymétrie : Constructions géométriques où le champ électrostatique est soit parallèle (symétrie) soit orthogonal (antisymétrie) au plan correspondant.

📝 Points essentiels

• Pour un contour allant de $A$ à $B$, la circulation vérifie $\oint_C \vec E\cdot \mathrm d\vec l = V(A)-V(B)$, car $\vec E=-\nabla V$.
• Sur un contour fermé, la circulation du champ électrostatique est nulle, donc le champ est à circulation conservative.
• Pour une charge ponctuelle $q$, le flux à travers une surface orientée vaut $\u0000\phi=\int_S\vec E\cdot \mathrm d\vec S=\dfrac{q\Omega}{4\pi\varepsilon_0}$.
• L’angle solide d’une surface orientée depuis une charge s’écrit $\u0000\Omega=\int_S \dfrac{\mathrm d\vec S\cdot \vec u_r}{r^2}$.
• Pour une surface fermée orientée vers l’extérieur, le flux total vaut $\u0000\phi=\dfrac{Q}{\varepsilon_0}$ où $Q$ est la charge enfermée.
• Si la distribution admet un plan de symétrie, $\vec E$ est colinéaire au plan sur ce plan et, si elle admet un plan d’antisymétrie, $\vec E$ y est orthogonal.

💡 Astuce mémo

Conservatif : circulation fermée = 0 ; Gauss : flux fermé = charge enfermée divisée par $\varepsilon_0$.

📖 3. Symétries du champ électrostatique

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan de symétrie : Un plan de symétrie d’une distribution de charges est un plan qui laisse la distribution inchangée par réflexion.
• Plan d’antisymétrie : Un plan d’antisymétrie d’une distribution de charges échange l’effet des charges par changement de signe lors de la réflexion.
• Colinéarité du champ : La colinéarité du champ sur un plan signifie que le champ électrique y a la même direction que le plan.
• Orthogonalité du champ : L’orthogonalité du champ sur un plan signifie que le champ électrique y est dirigé perpendiculairement au plan.

📝 Points essentiels

• Si la distribution de charges admet un plan de symétrie, le champ électrique est en tout point de ce plan colinéaire à ce plan.
• Si la distribution de charges admet un plan d’antisymétrie, le champ électrique est en tout point de ce plan orthogonal à ce plan.
• Les résultats se démontrent en exprimant le champ à partir de la densité volumique ρ et en regroupant les contributions d’éléments de volume symétriques deux à deux.

💡 Astuce mémo

Symétrie → “même direction” (E // plan) ; Antisymétrie → “direction opposée” (E ⟂ plan).

📖 4. Analogies gravitationnelles et énergie

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie propre : L’énergie propre est l’énergie potentielle d’interaction des deux charges du dipôle, calculée en considérant leur séparation fixe a.
• Moment sur un dipôle : Le moment exercé sur un dipôle placé dans un champ extérieur uniforme vaut le produit vectoriel du moment dipolaire par le champ.
• Énergie potentielle du dipôle : L’énergie potentielle d’un dipôle dans un champ uniforme s’écrit comme le produit scalaire opposé entre le moment dipolaire et le champ.

📝 Points essentiels

• Dans un champ extérieur uniforme, la force résultante exercée sur le dipôle est nulle, mais un moment entraîne la rotation du dipôle.
• Le moment appliqué au dipôle vérifie $\vec m=\vec p\wedge \vec E$ dans le champ extérieur uniforme.
• L’énergie propre du dipôle vaut $E_p=-\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0\,a}$ pour deux charges $\pm q$ séparées par $a$.
• L’énergie potentielle du dipôle plongé dans $\vec E$ s’écrit $E_P=-\vec p\cdot\vec E$.

💡 Astuce mémo

Champ uniforme : pas de poussée ($\vec F=\vec 0$) mais un couple ($\vec m=\vec p\wedge\vec E$), donc l’énergie dépend de $-\vec p\cdot\vec E$.

📖 5. Dipôle électrostatique

📖 6. Mouvement dans un champ magnétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Gyropulsation : La gyropulsation est la fréquence angulaire associée au mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme, donnée par \vec\omega=(q/m)\vec B.
• Trajectoire hélicoïdale : Une trajectoire hélicoïdale est le chemin suivi quand la vitesse initiale n’est ni entièrement parallèle ni entièrement orthogonale au champ magnétique uniforme.

📝 Points essentiels

• La force de Lorentz s’écrit $\vec F_L=q(\vec E+\vec v\wedge \vec B)$, et la puissance associée vaut $P_L=q\,\vec v\cdot \vec E$.
• La force magnétique seule ne développe pas de puissance, donc l’énergie mécanique $E=\frac12 mv^2+qV$ se conserve.
• Dans un champ magnétique uniforme permanent, la gyropulsation vérifie $\omega=qB/m$ (pour $\vec B$ uniforme de norme $B$).
• Si la vitesse initiale est colinéaire à $\vec B$, alors $\vec v$ reste constante et la trajectoire est rectiligne suivant $\vec B$.
• Si la vitesse initiale est orthogonale à $\vec B$ (avec $\vec B$ porté par $z$), alors $v_z$ reste constant et $v_x,v_y$ oscillent avec la pulsation $\omega$ selon $\ddot v_x=-\omega^2 v_x$ et $\ddot v_y=-\omega^2 v_y$.
• Avec une vitesse initiale quelconque, le mouvement se décompose en une partie parallèle (linéaire) et une partie orthogonale (oscillante), ce qui donne une trajectoire hélicoïdale.

💡 Astuce mémo

Gyro=propre au magnétique : $\omega=\frac{qB}{m}$ (charge et champ fixent la “vitesse de rotation”, la masse ralentit).

📖 7. Équations de Maxwell

🔑 Notions clés & Définitions

• Équations de Maxwell : En électromagnétisme, ce sont les équations locales qui relient les champs $\vec E$ et $\vec B$ aux densités de charge $\rho$ et de courant $\vec j$.
• Jauge de Lorentz : La jauge de Lorentz est une condition imposée sur les potentiels $V$ et $\vec A$ qui fixe leur choix et permet d’obtenir des équations d’onde.
• Potentiels retardés : Les potentiels retardés expriment $V$ et $\vec A$ à partir de $\rho$ et $\vec j$ évaluées au temps décalé par la propagation à la vitesse $c$.
• Régime quasi-permanent : Le régime quasi-permanent est un cas où les longueurs caractéristques du système sont petites devant la longueur d’onde, ce qui simplifie les équations électromagnétiques.
• Vecteur de Poynting : Le vecteur de Poynting $\vec\Pi$ décrit localement un flux de puissance transportée par le champ électromagnétique.

📝 Points essentiels

• La conservation locale de la charge s’écrit $\nabla\cdot\vec j+\partial\rho/\partial t=0$ et la densité de courant vaut $\vec j=\sum_i\rho_i\vec v_i$.
• Dans le vide, les équations locales s’écrivent $\nabla\cdot\vec E=\rho/\varepsilon_0$, $\nabla\times\vec E=-\partial\vec B/\partial t$, $\nabla\cdot\vec B=0$ et $\nabla\times\vec B=\mu_0\vec j+\varepsilon_0\mu_0\,\partial\vec E/\partial t$.
• Avec $\vec B=\nabla\times\vec A$ et $\vec E=-\nabla V-\partial\vec A/\partial t$, la jauge de Lorentz impose $\nabla\cdot\vec A+\varepsilon_0\mu_0\,\partial V/\partial t=0$ et conduit à $\Delta V-\partial^2V/\partial t^2=-\rho/\varepsilon_0$ et $\Delta\vec A-\partial^2\vec A/\partial t^2=-\mu_0\vec j$.
• Les potentiels retardés vérifient $V(\vec M,t)=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\int_E\frac{\rho(\vec P,t-|\vec{PM}|/c)}{|\vec{PM}|}\,dV_P$ et $\vec A(\vec M,t)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_E\frac{\vec j(\vec P,t-|\vec{PM}|/c)}{|\vec{PM}|}\,dV_P$, où $c=1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$.
• En quasi-permanent dans un métal de conductivité $\gamma$, on utilise $\vec j=\gamma\vec E$ et on obtient un effacement de la charge sur le temps caractéristique $\tau=\varepsilon_0/\gamma$, puis on néglige le courant de déplacement pour garder $\nabla\cdot\vec j=0$, $\nabla\cdot\vec E=\rho/\varepsilon_0$, $\nabla\times\vec…
• Avec $\vec\Pi=\vec E\wedge\vec B/\mu_0$, l’équation locale de Poynting donne $\nabla\cdot\vec\Pi+\partial u_{em}/\partial t=-\vec j\cdot\vec E$ avec $u_{em}=\frac{B^2}{2\mu_0}+\frac{\varepsilon_0E^2}{2}$.

📖 8. Effet Hall

📖 9. Dipôle magnétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment magnétique : Le moment magnétique décrit l’effet d’un courant sur sa propre orientation spatiale, et il s’exprime à partir du courant multiplié par le vecteur surface orientée du circuit.
• Dipôle magnétique : Un dipôle magnétique est une distribution de courants dont le moment magnétique est non nul et dont la taille est petite devant la distance d’étude du champ.
• Spire équivalente : Tout dipôle magnétique peut être représenté par une petite spire circulaire parcourue par un courant, ayant le même moment magnétique.
• Énergie potentielle d’interaction : L’énergie potentielle caractérise l’interaction d’un dipôle magnétique avec un champ externe uniforme à travers le produit scalaire de M et B.

📝 Points essentiels

• Moment magnétique d’un circuit filiforme orienté C : M=i\u007fS avec $\u007fS=\int_S \u007fn(P)\,dS$.
• Moment magnétique général d’une distribution de courants D : $\u007fM=\u003c2\u007f1\u003e\u222b_D \u007fr\u2227\u007fj\,dV$ ; avec une surface $\u007fS=\u003c2\u007f1\u003e\u222b_C \u007fr\u2227\u007dr$.
• Modélisation : un dipôle magnétique est équivalent à une spire circulaire de faible dimension parcourue par un courant donnant le même moment $\u007fM$.
• Potentiel vecteur créé : $\u007fA=\u03bc_0/(4\u03c0)\,(\u007fM\u2227\u007fur)/r^2$.
• Champ magnétique du dipôle : $\u007fB=\u03bc_0/(4\u03c0)\,(2M\cos\u03b8\,\u007fur/r^3+M\sin\u03b8\,\u007fu\u03b8/r^3)$.
• Énergie potentielle dans un champ uniforme : $E_P=-\u007fM\u2227\u007fB$ et le couple vaut $\u007f0=\u007fm\u2227\u007fB$ avec $\u007fm=\u007fM$.

💡 Astuce mémo

Analog ie électrostatique : $\u007fA$ et $\u007fB$ sont obtenus par une “réplacement dipôle électrique ↔ moment magnétique” avec une dépendance en $1/r^2$ pour $\u007fA$ et $1/r^3$ pour $\u007fB$.

📖 10. Milieux magnétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Aimantation M : Grandeur vectorielle décrivant le moment magnétique moyen par unité de volume d’un matériau soumis à un champ magnétique.
• Excitation magnétique H : Vecteur introduit pour regrouper l’effet des milieux sur le champ, vérifié par la relation B = \mu{}0(M + H).
• Milieu diamagnétique : Milieu où l’aimantation est induite par H et reste de signe opposé, avec une susceptibilité χ négative d’ordre 10−5.
• Milieu paramagnétique : Milieu contenant des moments permanents désordonnés qui s’orientent sous H, avec une susceptibilité χ positive d’ordre 10−3.
• Milieu linéaire : Milieu où l’aimantation est proportionnelle à H, ce qui conduit à B = \mu{}0(1 + χ)H = \mu{}H = \mu{}0\mu{}r H.

📝 Points essentiels

• La modélisation du milieu introduit B = \mu{}0(M + H), et le couplage modifie la loi de Maxwell reliant le champ magnétique à ses sources.
• Dans l’ARQP, l’équation rot H = j remplace l’expression complète contenant le terme de dérivée temporelle de E.
• Les conditions de passage restent div B = 0, ce qui impose la continuité des composantes normales de B à la traversée d’une interface.
• La condition sur les composantes tangentielles provient de rot H ≈ js et s’écrit HT1 − HT2 = js ∧ n1→2.
• Pour un milieu diamagnétique, on a M = χH avec χ < 0 et χ typiquement de l’ordre de −10−5.
• Pour un milieu paramagnétique, on a M = χH avec χ > 0 et χ typiquement de l’ordre de 10−3, tandis que les ferromagnétiques peuvent s’aimanter fortement sans excitation.

📖 11. Ferromagnétisme et hystérésis

🔑 Notions clés & Définitions

• Aimantation : L’aimantation est le vecteur qui représente le moment magnétique moyen par unité de volume dans un matériau soumis à un champ.
• Excitation magnétique : L’excitation magnétique désigne le vecteur H qui intervient dans la relation entre le champ B, l’aimantation M et H.
• Cycle d’hystérésis : Un cycle d’hystérésis décrit la trajectoire de H et de l’aimantation M quand on fait varier l’excitation entre deux valeurs opposées.
• Champ coercitif : Le champ coercitif Hc est la valeur (positive) de H pour laquelle l’aimantation redevient nulle au cours du cycle.
• Aimantation rémanente : L’aimantation rémanente Mr est la valeur (positive) de l’aimantation M lorsque le champ H est nul.

📝 Points essentiels

• Le cycle d’hystérésis consiste à faire varier l’excitation H entre Hmax et −Hmax en observant M et B dans le matériau.
• Le champ coercitif Hc est défini pour M = 0 et il vérifie B = \mu{}0 Hc ≃ 0 à l’instant correspondant.
• L’aimantation rémanente Mr est définie pour H = 0 comme une valeur positive de M.
• Un ferromagnétique dur possède un champ coercitif élevé, typiquement Hc > 10^3 A·m−1.
• Un ferromagnétique doux possède un champ coercitif faible, typiquement Hc < 10^2 A·m−1.
• En appliquant à un ferromagnétique des cycles d’hystérésis d’amplitude décroissante, on le désexcite et on lui fait perdre son aimantation.

💡 Astuce mémo

Hc remet M à 0, Mr laisse M quand H = 0 (Hc = “effacer”, Mr = “garder”).

📖 12. Transformateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformateur : Dispositif à deux enroulements autour d’un noyau ferromagnétique qui transfère l’énergie électrique par couplage de flux magnétique variable.
• Bornes homologues : Repères de sens des courants dans deux enroulements qui assurent une orientation cohérente des surfaces traversées par le flux.
• Transformateur parfait : Modèle où la perméabilité du noyau est supposée infinie, ce qui impose une relation stricte entre courants primaire et secondaire.
• Isolation galvanique : Séparation électrique des masses grâce à un transformateur où les deux bobinages ne sont pas directement reliés.

📝 Points essentiels

• Le transformateur comporte un noyau torique et deux enroulements, primaire à la source et secondaire à la charge, avec sens de courant définissant l’orientation des spires.
• Sous hypothèses de faible champ (fer linéaire), de lignes de champ circulaires de même axe et de résistance nulle, on obtient $u_1=L_1\frac{di_1}{dt}+M\frac{di_2}{dt}$ et $u_2=M\frac{di_1}{dt}+L_2\frac{di_2}{dt}$.
• Le rapport de transformation des tensions vaut $m=\frac{u_2}{u_1}=\frac{n_2}{n_1}$, avec $m>1$ élévateur et $m<1$ abaisseur.
• Pour un transformateur parfait ($\mu\to\infty$), le flux reste fini et $n_1 i_1+n_2 i_2=0$, donc $\frac{i_2}{i_1}=-\frac{1}{m}$ et le rendement vaut 1.
• Vu de l’entrée, une charge d’impédance $Z$ est équivalente à une impédance $\,\frac{Z}{m^2}\,$ à travers le transformateur parfait.
• Une composante continue peut apparaître en sortie ouverte ($u_1=L_1\frac{di_1}{dt}$) et faire diverger le courant, d’où l’importance du problème de la composante continue.

💡 Astuce mémo

m = n2/n1 : même idée qu’un “ratio de spires” qui fixe directement l’échelle des tensions.

📊 Tableaux de synthèse

Symétrie vs antisymétrie (champ électrostatique)

Type de plan	Position du champ	Résultat sur le champ
Plan de symétrie	sur le plan considéré	champ colinéaire au plan
Plan d’antisymétrie	sur le plan considéré	champ orthogonal au plan

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre champ et potentiel : V est scalaire, E est vectoriel et la relation E = −gradV change la direction du vecteur.
2. Mélanger les signes dans la circulation : sur un contour allant de A à B, ∮C E·dl = V(A) − V(B), pas l’inverse.
3. Oublier que pour Gauss la surface doit être fermée et orientée vers l’extérieur pour obtenir φ = Q/ε0.
4. Inverser la géométrie de flux/angle solide : Ω intervient via φ = qΩ/(4πε0), où Ω est l’angle sous lequel la surface est vue depuis la charge.
5. Se tromper de propriété de potentiel : E est à circulation conservative (∮E·dl = 0 sur un contour fermé), mais B ne l’est pas (pas de potentiel scalaire).
6. Croire que le champ magnétique peut fournir une puissance : la puissance de Lorentz vaut q v·E, la partie magnétique seule ne travaille pas.
7. Confondre symétrie/antisymétrie en appliquant “// plan” au mauvais cas : symétrie → E colinéaire, antisymétrie → E orthogonal (idem pour B mais avec symétrie/antisymétrie inversées selon le cours).

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire pour une charge ponctuelle q : E(r)= (1/(4πε0))·q/r^2 ·ur et F=q′E.
2. Savoir relier potentiel et champ : V(r)= (1/(4πε0))·q/r et E = −grad V.
3. Utiliser le principe de superposition pour V et E d’un ensemble de charges ponctuelles, puis adapter au continu via des intégrales avec ρ(P)dV.
4. Appliquer la circulation : pour un contour de A à B, ∫C E·dl = V(A) − V(B), et conclure que sur un contour fermé la circulation vaut 0.
5. Appliquer le flux pour une charge ponctuelle : φ=∫S E·dS = qΩ/(4πε0), avec Ω = ∫S (dS·ur)/r^2.
6. Savoir énoncer et utiliser le théorème de Gauss : pour une surface fermée vers l’extérieur, ∫S E·dS = Q/ε0.
7. Déterminer la direction du champ par symétrie : plan de symétrie → E colinéaire au plan ; plan d’antisymétrie → E orthogonal au plan (et justifier par regroupement des contributions).
8. Savoir l’analogie gravitationnelle (constantes et correspondances) et l’aspect énergétique : δW=−q dV et E=qV ; pour un dipôle dans un champ uniforme : EP=−p·E.
9. Savoir les formules du dipôle électrostatique à grande distance : V(r)= (1/(4πε0))·(p·ur)/r^2 et E(r)= (1/(4πε0))·(2p cosθ /r^3)ur + (1/(4πε0))·(p sinθ /r^3)uθ ; puis énergie propre Ep=−q^2/(4πε0 a) et moment m = p ∧ E.
10. Maîtriser Maxwell dans le vide : divE=ρ/ε0, rotE=−∂B/∂t, divB=0, rotB=\mu{}0 j + ε0\mu{}0 ∂E/∂t ; et les formes en potentiels (jauge de Lorentz, équations d’onde, potentiels retardés).
11. Savoir le mouvement en champ magnétique uniforme permanent : ω=qB/m, cas v//B (traj. rectiligne), cas v⊥B (oscillations avec d2vx/dt2=−ω^2 vx, d2vy/dt2=−ω^2 vy) et trajectoire hélicoïdale sinon.
12. Utiliser l’induction et le transformateur : pour une induction, e=−dφ/dt et loi de Lenz ; pour le transformateur parfait : m=u2/u1=n2/n1, n1 i1 + n2 i2=0, i2/i1=−1/m et transfert d’impédance Z→Z/m^2 ; citer l’effet de la composante continue en sortie ouverte (u1=L1 di1/dt).