Quiz: Introduction aux fondamentaux de la dérivation et de la continuité — 6 questions

1. Quelle expression donne le nombre dérivé de f en a lorsque f est dérivable en a ?

A. La valeur de \(f(a+h)-f(a)\) quand \(h\to 0\)

B. La pente moyenne de la corde entre deux points quelconques

C. La limite de \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) quand \(h\to 0\)

D. La limite de \(f(a+h)+f(a)\) quand \(h\to 0\)

Answer: (C)

Explanation

Le nombre dérivé est défini comme la limite du taux d’accroissement quand la variation de \(x\) tend vers 0. Les autres propositions confondent cette limite avec une simple différence ou avec une pente moyenne.

2. Pour dériver une fonction composée, quelle idée décrit correctement la méthode à utiliser ?

A. Calculer d’abord la valeur numérique de la composée puis dériver

B. Dériver la fonction externe puis multiplier par la dérivée de la fonction interne

C. Additionner les dérivées de la fonction externe et de la fonction interne

D. Dériver seulement la fonction interne, car elle contient la variable

Answer: (B)

Explanation

La dérivation d’une composée repose sur la dérivée de la fonction externe évaluée en la fonction interne, puis sur la dérivée de l’interne. C’est précisément l’idée résumée par la règle de la chaîne.

3. Que représente la dérivée seconde d’une fonction f ?

A. La limite du taux d’accroissement de f sans dériver

B. La dérivée de la fonction dérivée f'

C. La primitive de la fonction dérivée f'

D. La pente de la tangente en un point choisi

Answer: (B)

Explanation

La dérivée seconde est définie comme la dérivée de la dérivée première, donc \(f''\) dérive \(f'\). La tangente et le taux d’accroissement concernent surtout la dérivée première.

4. Quelle propriété est vraie pour une fonction dérivable en un point a ?

A. Elle admet forcément un maximum en a

B. Elle est forcément strictement croissante en a

C. Elle ne peut pas être définie en a

D. Elle est continue en a

Answer: (D)

Explanation

Une fonction dérivable en un point est nécessairement continue en ce point. En revanche, la dérivabilité n’impose ni maximum, ni croissance, ni absence de définition.

5. Dans le cadre du théorème des valeurs intermédiaires, que peut-on conclure si f est continue sur [a,b] et k est entre f(a) et f(b) ?

A. Il existe au moins un c dans [a,b] tel que f(c)=k

B. La fonction ne peut prendre la valeur k qu’en dehors de [a,b]

C. Il existe un unique c dans [a,b] tel que f(c)=k

D. On connaît directement la valeur exacte de c

Answer: (A)

Explanation

Le théorème garantit l’existence d’au moins une solution lorsque k est compris entre les valeurs aux bornes. Il ne donne ni l’unicité, ni la valeur exacte de la solution.

6. Que permet d’affirmer la continuité de f en l lorsque u_n tend vers l ?

A. Que f(u_n) tend vers f(l)

B. Que u_n tend forcément vers f(l)

C. Que la suite (u_n) ne peut pas converger

D. Que f(u_n) est constante à partir d’un certain rang

Answer: (A)

Explanation

Si \(u_n\to l\) et si f est continue en l, alors on peut passer à la limite dans l’image de la suite : \(f(u_n)\to f(l)\). La continuité joue donc le rôle de passage à la limite.