Quiz: Probabilités et Modèles Binomiaux — 12 questions

1. Quelle formule permet de calculer la probabilité qu’une lame soit à la fois issue du fournisseur A et conforme ?

A. P(T)×P(A|T)

B. P(A)+P(T|A)

C. P(A)×P(T|A)

D. P(A|T)×P(T)

Answer: (C)

Explanation

On utilise la probabilité conjointe : P(A∩T)=P(A)×P(T|A). Ici, cela donne bien 0,60×0,90.

2. Quelle est la valeur de la probabilité qu’une lame soit conforme, en tenant compte des trois fournisseurs ?

A. 0,108

B. 0,892

C. 0,345

D. 0,540

Answer: (B)

Explanation

La probabilité totale de conformité est la somme sur les fournisseurs : 0,60×0,90 + 0,12×0,95 + 0,28×0,85 = 0,892. La valeur 0,108 correspond au contraire, donc à la non-conformité.

3. Quel modèle aléatoire décrit le nombre de lames non conformes dans un échantillon de 75 lames ?

A. Une loi géométrique de paramètre 0,108

B. Une loi binomiale de paramètres 75 et 0,108

C. Une loi uniforme de paramètres 75 et 0,892

D. Une loi normale de moyenne 75 et d’écart-type 0,108

Answer: (B)

Explanation

Le nombre de non conformes est modélisé par une loi binomiale, car il s’agit de 75 essais indépendants de même probabilité de succès p=0,108. La loi géométrique concerne le rang du premier succès, pas un comptage sur un nombre fixé d’essais.

4. Quelle expression permet d’écrire la probabilité d’obtenir exactement 6 lames non conformes parmi 75 ?

A. 75×0,108^6×0,892^69

B. C_{75}^6×0,108^69×0,892^6

C. C_{75}^6×0,108^6×0,892^69

D. C_{75}^6×0,892^6×0,108^69

Answer: (C)

Explanation

Pour une loi binomiale, on multiplie le coefficient binomial par p^k et par (1-p)^{n-k}. Ici, k=6 et p=0,108, d’où C_{75}^6×0,108^6×0,892^69.

5. Quelle est l’espérance de la moyenne M_n des nombres de non conformes par contrôle ?

A. 1,8063/n

B. 75×0,892

C. 0,108

D. 8,1

Answer: (D)

Explanation

Chaque X_i suit une loi binomiale B(75,0,108), donc E(X_i)=75×0,108=8,1. Comme M_n est la moyenne des X_i, son espérance vaut aussi 8,1.

6. Quel plus petit entier n garantit que la probabilité que M_n s’écarte de 8,1 de moins de 2 est au moins 0,95 ?

A. 18

B. 36

C. 50

D. 37

Answer: (D)

Explanation

On utilise la borne P(|M_n−8,1|≥2)≤1,8063/n et on veut qu’elle soit strictement inférieure à 0,05. Cela conduit à n>36,126, donc au plus petit entier n=37.

7. Pour vérifier une affirmation portant sur la fonction f(x)=4e^{-x}+cos(x)+sin(x), quelle méthode est utilisée ?

A. Étudier uniquement la limite de f en +∞

B. Comparer f(x) à une suite géométrique

C. Résoudre f(x)=0 pour tout x

D. Calculer y'+y et vérifier que l’on obtient 2cos(x)

Answer: (D)

Explanation

Il faut remplacer la fonction candidate dans l’équation différentielle et vérifier que y'+y=2cos(x). C’est exactement la méthode indiquée pour trancher cette affirmation.

8. Quelle suite est donnée comme exemple de suite divergente à étudier par croissance ?

A. f(x)=2x

B. v_n=(2^n+sin(n))/(n+1)

C. S_n=∑_{k=0}^n e^{-k}

D. u_n=n^2

Answer: (B)

Explanation

La suite v_n=(2^n+sin(n))/(n+1) est explicitement citée comme suite dont la croissance permet de conclure à la divergence. Les autres propositions ne correspondent pas à cet exemple.

9. Dans le repère du cube, quelles sont les coordonnées des points I, J et K définis comme milieux de segments ?

A. I(1,1,0), J(0,1,1), K(1/2,1/2,1/2)

B. I(1,0,1), J(0,1,1), K(1/2,0,0)

C. I(0,1,1), J(1,0,1), K(0,0,1/2)

D. I(0,1,0), J(1,1,0), K(0,0,1)

Answer: (C)

Explanation

Dans le repère (A; AB⃗, AD⃗, AE⃗), les milieux sont donnés par la moyenne des coordonnées des extrémités, ce qui conduit à I(0,1,1), J(1,0,1) et K(0,0,1/2).

10. Quelle est une équation cartésienne du plan (A I J) ?

A. x+y+z=0

B. x+y−(1/2)z=0

C. 2x+2y−z=1

D. x−y+z=0

Answer: (B)

Explanation

Le vecteur KC est normal au plan (A I J), ce qui conduit à l’équation x+y−(1/2)z=0. Cette équation est celle indiquée pour ce plan.

11. Pour la fonction f(x)=ln(x)/x² définie sur ]0,+∞[, quelle est sa limite lorsque x tend vers 0 par valeurs positives ?

A. +∞

B. 1

C. 0

D. −∞

Answer: (D)

Explanation

Quand x→0⁺, le logarithme tend vers −∞ et la division par x² renforce cette divergence vers −∞. La fonction ne peut donc pas admettre une limite finie en 0⁺.

12. Pour la fonction f(x)=ln(x)/x², quelle est l’expression correcte de sa dérivée sur ]0,+∞[ ?

A. (1−2ln(x))/x²

B. (1−ln(x))/x²

C. (2ln(x)−1)/x²

D. (1−2ln(x))/x³

Answer: (D)

Explanation

La dérivation de ln(x)/x² conduit à f'(x)=(1−2ln(x))/x³. Le signe de 1−2ln(x) permet ensuite d’étudier les variations de la fonction.