Lernzettel: Coordonnées et calcul algébrique

📋 Plan du Cours

1. Milieu et distances dans le plan
2. Parallélogrammes et propriétés géométriques
3. Développement et factorisation
4. Identités remarquables
5. Rationalisation et racines carrées
6. Valeur absolue et distance
7. Équations et inéquations

📖 1. Milieu et distances dans le plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Milieu d’un segment : Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées $x_I=\frac{x_A+x_B}{2}$ et $y_I=\frac{y_A+y_B}{2}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La longueur du segment AB vérifie $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

Compléments

• Pour A(-1;2) et B(3;4), on obtient \overrightarrow{AB}=(4;2) et $AB=\sqrt{20}$.

💡 Astuce mémo

Coordonnées du milieu, vecteurs, puis longueurs

📖 2. Parallélogrammes et propriétés géométriques

★ À maîtriser

📌 Pour construire ABCD comme un parallélogramme à partir de trois sommets consécutifs A, B et C, on peut imposer l’égalité des vecteurs \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.

📌 Si les diagonales [AD] et [BC] se coupent en leur milieu I, alors ABCD est un parallélogramme.

📌 Un parallélogramme est un losange si ses côtés ont la même longueur, et il est un rectangle si ses diagonales ont la même longueur.

Compléments

• Avec A(-1;2), B(3;4) et C(5;3), la condition \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} donne D(1;-5).

💡 Astuce mémo

Diagonales qui se coupent en leur milieu → parallélogramme

📖 3. Développement et factorisation

★ À maîtriser

• Pour développer une expression, on distribue chaque facteur sur tous les termes de l’autre facteur, puis on regroupe les termes de même degré.

• Pour factoriser une expression, on recherche un facteur commun ou une identité remarquable, puis on écrit l’expression sous forme de produit.

Compléments

• L’expression $(2x-3)^2-(5x+2)(2x-3)$ se factorise en $(2x-3)(3x-5)$.

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme ; factoriser fait l’inverse

📖 4. Identités remarquables

★ À maîtriser

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Compléments

• La différence $(3x-2)^2-(5x+3)^2$ se factorise en $(8x+1)(-2x-5)$.

💡 Astuce mémo

C3 : carré, différence de carrés, carré

📖 5. Rationalisation et racines carrées

★ À maîtriser

• Pour rationaliser un dénominateur contenant une racine carrée, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée.

Compléments

• La rationalisation de $\frac{5}{\sqrt3+1}$ donne $\frac{5\sqrt3-5}{2}$.

• La fraction $\frac{2}{\sqrt3}$ se rationalise en $\frac{2\sqrt3}{3}$.

💡 Astuce mémo

Rationaliser supprime la racine du dénominateur ; développer traite les racines au numérateur

📖 6. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Distance de ce nombre à zéro, toujours positive ou nulle

★ À maîtriser

📌 Pour tout réel a, $\sqrt{a^2}=|a|$, donc $\sqrt{a^2}=a$ si a est positif et $\sqrt{a^2}=-a$ si a est négatif.

📌 Sur une droite graduée, l’équation $|x-a|=d$ signifie que le point d’abscisse x est à la distance d du point d’abscisse a.

Compléments

• On a $|\sqrt3-2|=-\sqrt3+2$ car $\sqrt3-2$ est négatif.

💡 Astuce mémo

Sur une droite graduée, la valeur absolue mesure une distance

📖 7. Équations et inéquations

★ À maîtriser

📌 Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.

📌 L’équation $|x-a|=d$ avec d positif possède les solutions $x=a-d$ et $x=a+d$.

• La résolution de $(5x-3)(3x+4)(x+4)=0$ donne $S=\left\{\frac35;-\frac43;-4\right\}$.

Compléments

• La résolution de $|x-3|=2$ donne $S=\{1;5\}$.

💡 Astuce mémo

Transformer, annuler les facteurs, puis réunir les solutions

📊 Tableaux de synthèse

Identités remarquables

Forme	Développement	Factorisation inverse
Carré d’une somme	(a+b)²=a²+2ab+b²	a²+2ab+b²=(a+b)²
Carré d’une différence	(a-b)²=a²-2ab+b²	a²-2ab+b²=(a-b)²
Différence de carrés	(a-b)(a+b)=a²-b²	a²-b²=(a-b)(a+b)