Lernzettel: Ensembles et divisibilité dans Z

📋 Plan du Cours

1. Divisibilité dans les entiers relatifs
2. Critères de divisibilité
3. Parité des entiers
4. Ensembles de nombres

📖 1. Divisibilité dans les entiers relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur : Soient a ∈ Z et b ∈ N* ; b est un diviseur de a s’il existe un entier relatif k tel que $a = k \times b$.

★ À maîtriser

• Si b est un diviseur de a, alors a est un multiple de b et a est divisible par b.

• La somme de deux multiples d’un même nombre naturel a est encore un multiple de a.

Compléments

• 7 est un diviseur de −42 car $−42 = 7 \times (−6)$, où −6 est l’entier k.

• 1 est un diviseur de tout entier relatif, car pour tout b ∈ Z, $b = b \times 1$.

• 0 est un multiple de tout entier naturel a, car $0 = a \times 0$.

💡 Astuce mémo

Diviseur → multiple → divisible

📖 2. Critères de divisibilité

★ À maîtriser

📌 Un entier A est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

📌 Un entier A est divisible par 3 ou par 9 si, respectivement, la somme de ses chiffres est divisible par 3 ou par 9.

📌 Un entier A est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

📌 Un entier A est divisible par 11 si la différence entre la somme de ses chiffres de rang impair et celle de ses chiffres de rang pair, en partant de la droite, est un multiple de 11.

Compléments

📌 Si A possède au plus quatre chiffres et s’écrit uv, avec u et v nombres à deux chiffres, alors A est divisible par 7 si $2u+v$ est divisible par 7.

📖 3. Parité des entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre pair : Un entier n est pair s’il peut s’écrire $n = 2k$ avec k ∈ Z.
• Nombre impair : Un entier n est impair s’il peut s’écrire $n = 2k+1$ avec k ∈ Z.

📝 Points essentiels

• Le carré d’un nombre pair est pair et le carré d’un nombre impair est impair.

💡 Astuce mémo

Pair : 2k ; impair : 2k + 1

📖 4. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres naturels : L’ensemble N des nombres entiers naturels est $N = \{0{,}1{,}2{,}3{,}4,\ldots\}$.
• Nombres décimaux : Un nombre décimal peut s’écrire $\frac{a}{10^n}$ avec a ∈ Z et n ∈ N.
• Nombres rationnels : Un nombre rationnel peut s’écrire $\frac{a}{b}$ avec a,b ∈ Z et b ≠ 0.
• Nombres réels : Les abscisses des points d’une droite graduée et comprennent les nombres rationnels ainsi que les nombres irrationnels.
• Inclusion d’ensembles : A ⊂ B signifie que tous les éléments de A appartiennent aussi à B.

★ À maîtriser

• Les ensembles de nombres sont emboîtés selon $N \subset Z \subset D \subset Q \subset R$.

Compléments

• Des exemples de nombres irrationnels sont √2, π, −π/6 et √3/2.