Lernzettel: Introduction aux équations différentielles du premier et du second ordre

📋 Plan du Cours

1. Équations du premier ordre linéaires
2. Variation de la constante
3. Principe de superposition
4. Équations autonomes et croissance logistique
5. Équations du second ordre à coefficients constants
6. Équation caractéristique et solutions particulières

📖 1. Équations du premier ordre linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle linéaire du premier ordre : Équation différentielle linéaire du premier ordre : toute équation de la forme $y' + a(x)y = b(x)$ avec $a$ et $b$ continues sur un intervalle $I$.
• Équation homogène associée : Équation homogène associée : l’équation obtenue en remplaçant le second membre par 0, soit $y' + a(x)y = 0$.
• Résoudre une équation différentielle : Résoudre une équation différentielle : trouver toutes les fonctions dérivables et continues sur $I$ qui vérifient l’égalité donnée pour tout x  I.

📝 Points essentiels

• Les solutions d’une équation $y' + a(x)y = b(x)$ s’obtiennent en combinant une solution de l’homogène $y' + a(x)y = 0$ et une solution particulière de l’équation complète.
• Toute solution de $y' + a(x)y = 0$ s’écrit sous la forme $y(x)=K e^{-A(x)}$, où $K$ est une constante réelle et $A$ est une primitive de $a$ sur $I$.
• Pour $y' + x^4y = x^5+1$, une solution particulière est cherchée comme polynôme de degré un sur $\mathbb{R}$.
• Pour $y' + \sin(x)y = \sin(x)$, une solution particulière est cherchée comme une constante sur $\mathbb{R}$.
• Dans ces deux derniers exemples, la démarche consiste d’abord à identifier l’homogène puis à tester une forme de solution particulière adaptée au membre de droite.

📖 2. Variation de la constante

🔑 Notions clés & Définitions

• Variation de la constante : Variation de la constante : méthode où l’on cherche une solution particulière sous la forme $y_p(x)=K(x)\times$ (une solution de l’homogène) pour déterminer $K$.
• Solution homogène factorisée : Solution homogène factorisée : écrire une solution $y_h(x)=K\,e^{-A(x)}$ afin de remplacer $K$ par une fonction $K(x)$ dans la recherche de $y_p$.

📝 Points essentiels

• Si $y_h(x)=K\,\frac1{\sqrt{1+x^2}}$, alors en posant $y_p(x)=K(x)\,\frac1{\sqrt{1+x^2}}$ et en remplaçant dans l’équation, on obtient une équation différentielle pour $K'(x)$.
• Dans l’exemple $y'+\frac{x}{1+x^2}y=x$ sur $\mathbb{R}$, on déduit $K'(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$, puis $K(x)=\frac13(1+x^2)^{3/2}$ et $y_p(x)=\frac13(1+x^2)$.
• La solution générale sur $\mathbb{R}$ pour $y'+\frac{x}{1+x^2}y=x$ devient $y(x)=K\,\frac1{\sqrt{1+x^2}}+\frac13(1+x^2)$.
• Pour $x>0$, l’équation $y'+\frac{1+x}{x}y=\frac1x$ est indiquée comme problème à résoudre par la méthode de la variation de la constante.

💡 Astuce mémo

Homogène en facteur : $y_p=K(x)\,y_h$ donc on résout d’abord $K'(x)$.

📖 3. Principe de superposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de superposition : Principe de superposition : si deux équations linéaires du premier ordre ont le même coefficient $a(x)$, alors la somme de deux solutions correspond aux sommes des seconds membres.

📝 Points essentiels

• Si $f_1$ vérifie $y'+a(x)y=b_1(x)$ et $f_2$ vérifie $y'+a(x)y=b_2(x)$, alors $f_1+f_2$ vérifie $y'+a(x)y=b_1(x)+b_2(x)$.

📖 4. Équations autonomes et croissance logistique

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle du premier ordre autonome : Équation différentielle du premier ordre autonome : équation de la forme $y'=F(y)$ où $F$ est continue sur un intervalle $I$.
• Points critiques : Points critiques : racines de $F(y)$, qui donnent des solutions d’équilibre où la dérivée est nulle.
• Croissance logistique : Croissance logistique : modèle $\frac{dy}{dt}=r\left(1-\frac{y}{K}\right)y$ avec $r>0$ et $K>0$.

📝 Points essentiels

• Une équation autonome $y'=F(y)$ se résout par séparation des variables sous la forme $\int \frac1{F(y)}\,dy=\int dt$.
• Les points critiques sont des solutions où $y'=0$, donc les solutions d’équilibre correspondent aux racines de $F(y)$.
• Pour la croissance logistique $\frac{dy}{dt}=r(1-y/K)y$, les équilibres sont $y=0$ et $y=K$.

📖 5. Équations du second ordre à coefficients constants

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle linéaire d’ordre deux à coefficients constants : Équation différentielle linéaire d’ordre deux à coefficients constants : équation $ay''+by'+cy=F(x)$ avec $a,b,c$ constantes, $a\neq 0$.
• Équation homogène du second ordre : Équation homogène : équation associée où $F(x)$ est remplacée par 0, soit $ay''+by'+cy=0$.
• Équation caractéristique : Équation caractéristique : équation $ar^2+br+c=0$ associée à l’homogène $ay''+by'+cy=0$.

📝 Points essentiels

• La résolution de $ay''+by'+cy=F(x)$ s’obtient en additionnant une solution de l’homogène $ay''+by'+cy=0$ et une solution particulière de l’équation complète.
• Pour l’homogène, $y=e^{rx}$ est solution si et seulement si $ar^2+br+c=0$, ce qui justifie l’équation caractéristique.
• Dans l’étude du signe du discriminant $\Delta$ de $ar^2+br+c=0$, le nombre de formes possibles de solutions dépend directement de $\Delta$.

📖 6. Équation caractéristique et solutions particulières

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant de l’équation caractéristique : Discriminant $\Delta$ : valeur associée à $ar^2+br+c=0$ qui détermine le type de racines et donc la forme de la solution de l’homogène.
• Solution particulière : Solution particulière : fonction $y_p$ qui vérifie l’équation complète $ay''+by'+cy=F(x)$ sans se limiter à l’homogène.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta>0$, l’équation caractéristique admet deux réelles distinctes $r_1,r_2$ et la solution générale de l’homogène est $y(x)=\lambda_1e^{r_1x}+\lambda_2e^{r_2x}$.
• Si $\Delta=0$, on a une racine réelle double $r_0$ et la solution générale s’écrit $y(x)=(\lambda_1x+\lambda_2)e^{r_0x}$.
• Si $\Delta<0$, on obtient $r_1=\alpha+i\beta$ et $r_2=\alpha-i\beta$, et la solution générale de l’homogène est $y(x)=e^{\alpha x}(\lambda_1\cos(\beta x)+\lambda_2\sin(\beta x))$.
• Le tableau de solutions particulières précise des cas de forme selon $F(x)$, notamment pour $F(x)=k$ (avec $yp(x)=A$ si $c\neq 0$, et $yp(x)=xQ(x)$ si $c=0$).
• Le tableau donne aussi les formes quand $F(x)=\alpha e^{kx}$, notamment $yp(x)=Ae^{kx}$ si $k$ n’est pas une racine de l’équation caractéristique, et $yp(x)=Ax e^{kx}$ ou $Ax^2 e^{kx}$ si $k$ est respectivement racine simple ou double.

💡 Astuce mémo

Type de racines : $\Delta>0$ (deux exponentielles) / $\Delta=0$ (exponentielle fois polynôme en $x$) / $\Delta<0$ (exponentielle fois trigonométriques).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’équation linéaire $y'+a(x)y=b(x)$ avec l’homogène $y'+a(x)y=0$, ce qui change la forme de $A(x)$ et le rôle du second membre.
2. Oublier que la solution homogène s’écrit toujours $Ke^{-A(x)}$ avec $A$ primitive de $a$, et non avec une autre primitive arbitraire.
3. Croire que la superposition s’applique avec des $a(x)$ différents, alors qu’elle exige le même coefficient $a(x)$ pour les deux équations.
4. En équations autonomes, prendre un point critique pour un extremum de $F$ alors que c’est une valeur de $y$ où $F(y)=0$ donc $y'=0$.
5. Pour le second ordre, confondre le discriminant $\Delta$ avec le discriminant de la forme du second membre, alors qu’il s’applique à $ar^2+br+c=0$.
6. Se tromper sur la multiplicité d’une racine (racine simple vs double) dans les formes de $yp(x)$ quand $F(x)$ contient $e^{kx}$ ou $\exp(kx)$ multipliée par trigonométriques.
7. Chercher $yp$ avec une forme non prévue par le tableau (par exemple oublier le facteur en $x$ quand $k$ est une racine de l’équation caractéristique).

✅ Checklist Examen

1. Donner la forme générale d’une équation différentielle linéaire du premier ordre $y'+a(x)y=b(x$) et préciser le rôle de $a$ et $b$ continues sur $I$.
2. Écrire l’équation homogène associée à $y'+a(x)y=b(x$) et caractériser les solutions de l’homogène sous la forme $Ke^{-A(x)}$.
3. Expliquer la méthode “homogène + solution particulière” pour obtenir toutes les solutions de l’équation complète du premier ordre.
4. Résoudre un exemple du premier ordre en choisissant la forme du $yp$ (polynôme de degré un ou constante) comme indiqué par le membre de droite.
5. Mettre en œuvre la variation de la constante sous la forme $y_p(x)=K(x)\,y_h(x)$ et déterminer $K'(x)$ en remplaçant dans l’équation.
6. Utiliser la superposition : vérifier que les deux équations ont le même $a(x)$, puis ajouter les seconds membres et les solutions.
7. Résoudre une équation autonome $y'=F(y)$ en séparant les variables sous la forme d’intégrales indiquée au cours.
8. Identifier les points critiques comme racines de $F(y$) et en déduire les solutions d’équilibre.
9. Pour la croissance logistique, donner les deux équilibres $y=0$ et $y=K$ à partir de l’expression $r(1-y/K)y$.
10. Pour le second ordre à coefficients constants, écrire la forme $ay''+by'+cy=F(x)$, l’homogène, et la résolution comme homogène + $yp$.
11. Écrire l’équation caractéristique $ar^2+br+c=0$ et donner la condition $y=e^{rx}$ solution de l’homogène équivalente à $ar^2+br+c=0$.
12. Classer les solutions de l’homogène selon le signe de $\Delta$ ($\Delta>0$, $\Delta=0$, $\Delta<0$) avec la forme correspondante de $y(x)$.
13. Choisir la forme de $yp$ à partir du tableau lorsque $F(x)$ est constante, polynomiale, exponentielle ou sinusoïdale (et ajouter les facteurs en $x$ quand la fréquence ou le $k$ est racine).