Lernzettel: Introduction aux suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et vocabulaire des suites
2. Représentation graphique d'une suite
3. Suites explicites et récurrentes
4. Variations d'une suite

📖 1. Définition et vocabulaire des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une fonction qui associe à chaque entier n un réel noté u(n) (ou un).
• Terme d’indice n : Le terme d’indice n est le nombre u(n), c’est le résultat de la suite pour l’entier n.

📝 Points essentiels

• Une suite est une liste ordonnée de nombres, indexée par les entiers naturels.
• On note u(n) ou un pour désigner le terme de rang (ou d’indice) n d’une suite u.

📖 2. Représentation graphique d'une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points d’une suite : La représentation graphique d’une suite est l’ensemble des points (n ; u(n)) quand n parcourt les entiers naturels.

📝 Points essentiels

• Pour représenter une suite, on place des points de coordonnées (n ; u(n)) avec n∈ℕ.
• On ne relie pas les points : la figure représente un nuage, pas une courbe continue.

📖 3. Suites explicites et récurrentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite définie de manière explicite : Une suite est explicite quand u(n) est donné directement en fonction de n via une formule.
• Suite définie par récurrence : Une suite est définie par récurrence quand on connaît un premier terme et une règle donnant un+1 à partir des termes précédents.

📝 Points essentiels

• Dans une suite explicite, on calcule n’importe quel terme directement grâce à la formule de u(n).
• Dans une suite récurrente, calculer un terme élevé nécessite souvent de remonter aux termes antérieurs successifs.

📖 4. Variations d'une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite est croissante quand chaque terme est supérieur ou égal au terme précédent.
• Suite décroissante : Une suite est décroissante quand chaque terme est inférieur ou égal au terme précédent.
• Suite constante : Une suite est constante quand chaque terme est égal au terme précédent.

📝 Points essentiels

• Une suite est croissante si u(n+1)≥u(n) pour tout n∈ℕ.
• Une suite décroissante si u(n+1)≤u(n) pour tout n∈ℕ, et constante si u(n+1)=u(n) pour tout n∈ℕ.
• Certaines suites ne sont ni croissantes ni décroissantes : par exemple v(n)=(−1)^n alterne.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Relier les points comme pour une courbe : la représentation d’une suite forme un nuage, donc on ne relie pas.
2. Confondre l’indice n (u(n)) et la valeur du terme : u(n) est le terme, n sert uniquement d’index.
3. Penser que toute suite se classe forcément en croissante ou décroissante : des suites alternantes existent.
4. Croire qu’une suite récurrente permet de calculer u(n) directement sans remonter aux termes précédents.

✅ Checklist Examen

1. Définir une suite numérique comme fonction de l’entier n vers un réel u(n) ou un.
2. Identifier et écrire le terme de rang (indice) n d’une suite sous la forme u(n) (ou un).
3. Donner l’ensemble des points (n ; u(n)) correspondant à la représentation graphique d’une suite.
4. Expliquer pourquoi on ne relie pas les points de la représentation graphique d’une suite.
5. Reconnaître une suite explicite quand u(n) est donné directement en fonction de n.
6. Reconnaître une suite définie par récurrence quand elle contient un premier terme et une relation entre u(n+1) et des termes précédents.
7. Calculer les premiers termes d’une suite récurrente à partir de la règle et du premier terme.
8. Déterminer si une suite est croissante à l’aide de l’inégalité u(n+1)≥u(n) pour tout n∈ℕ.
9. Déterminer si une suite est décroissante à l’aide de l’inégalité u(n+1)≤u(n) pour tout n∈ℕ.
10. Déterminer si une suite est constante à l’aide de l’égalité u(n+1)=u(n) pour tout n∈ℕ.
11. Justifier qu’une suite n’est ni croissante ni décroissante en s’appuyant sur un exemple du type v(n)=(−1)^n.