Lernzettel: Les suites numériques : définitions et variations

📋 Plan du Cours

1. Définition d’une suite numérique
2. Écrire une suite par récurrence ou explicite
3. Suites arithmétiques
4. Variation d’une suite arithmétique
5. Suites géométriques
6. Variation d’une suite géométrique

📖 1. Définition d’une suite numérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une liste infinie et numérotée de nombres réels.
• Terme d’une suite : Le terme d’indice $n$ d’une suite s’écrit $u_n$, et le terme suivant s’écrit $u_{n+1}$.

📝 Points essentiels

• Les termes consécutifs d’une suite sont $u_n$ et $u_{n+1}$.
• On note l’ensemble des entiers naturels par la lettre $\mathbb{N}$.

📖 2. Écrire une suite par récurrence ou explicite

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition par récurrence : Une suite est définie par récurrence quand on donne $u_0$ et une relation reliant $u_{n+1}$ à $u_n$ pour tout $n$.
• Définition explicite : Une suite est définie de façon explicite quand on donne directement $u_n$ en fonction de $n$.

📝 Points essentiels

• Pour la suite $u_0=0$ et $u_{n+1}=u_n+3$, on obtient une progression en ajoutant toujours $3$ à chaque terme.
• Pour la suite des carrés parfaits, on a $u_n=n^2$ pour tout entier naturel $n$.
• Une relation explicite permet de calculer directement n’importe quel terme $u_n$ sans passer par les précédents.

📖 3. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique de raison $r$ si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=u_n+r$.
• Raison d’une suite arithmétique : La raison $r$ d’une suite arithmétique est le nombre réel ajouté à chaque pas pour passer de $u_n$ à $u_{n+1}$.

📝 Points essentiels

• La représentation graphique d’une suite arithmétique est une droite de coefficient directeur $r$ et d’ordonnée à l’origine $u_0$.
• Si $r=0$, la suite arithmétique vérifie $u_{n+1}=u_n$ à chaque étape.

📖 4. Variation d’une suite arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Croissance d’une suite arithmétique : Le sens de variation d’une suite arithmétique dépend du signe de sa raison $r$.

📝 Points essentiels

• Si $r>0$, la suite arithmétique est strictement croissante.
• Si $r<0$, la suite arithmétique est strictement décroissante.
• Si $r=0$, la suite arithmétique est constante.

💡 Astuce mémo

Signe de $r$ = sens : + croît, − décroît, 0 constant.

📖 5. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite est géométrique de raison $q$ si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=q\,u_n$.
• Raison d’une suite géométrique : La raison $q$ d’une suite géométrique est le facteur par lequel on multiplie chaque terme pour obtenir le suivant.
• Contrainte de travail : Dans le cours, on considère les suites géométriques avec une raison strictement positive.

📝 Points essentiels

• Si la raison est strictement positive, la représentation graphique n’est pas une droite mais une courbe exponentielle.
• Le cours donne des raisons $2$, $0{,}5$ et $-0{,}5$ dans les exemples avant la restriction « raisons strictement positives ».
• Pour une suite géométrique, $u_{n+1}$ s’obtient par multiplication de $u_n$ par $q$.

📖 6. Variation d’une suite géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Sens de variation d’une suite géométrique : Le sens de variation d’une suite géométrique dépend de la valeur de la raison $q$ quand $q$ et $u_0$ sont strictement positifs.

📝 Points essentiels

• Si $q>1$, la suite géométrique est strictement croissante.
• Si $0<q<1$, la suite géométrique est strictement décroissante.
• Si $q=1$, la suite géométrique est constante.

💡 Astuce mémo

Entre 0 et 1 : ça diminue ; au-dessus de 1 : ça augmente.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la relation des suites arithmétiques $u_{n+1}=u_n+r$ avec celle des suites géométriques $u_{n+1}=q\,u_n$.
2. Oublier que pour les suites arithmétiques, le signe de $r$ fixe le sens : $r>0$ croît et $r<0$ décroît.
3. Penser que la représentation graphique d’une suite géométrique est une droite alors qu’elle devient une courbe exponentielle quand $q>0$.
4. Se tromper de conditions : la variation des suites géométriques est donnée quand $q$ et $u_0$ sont strictement positifs.
5. Croire que $u_{n+1}$ est « le terme précédent » : c’est bien le suivant, donc lié à $u_n$ par la règle de la suite.

✅ Checklist Examen

1. Définir une suite numérique et écrire correctement la notation $u_n$, $u_{n+1}$ et $u_{n-1}$.
2. Distinguer une définition par récurrence (donner $u_0$ et une relation $u_{n+1}$ à $u_n$) d’une définition explicite (donner $u_n$ en fonction de $n$).
3. Écrire la formule d’une suite arithmétique avec raison $r$ : $u_{n+1}=u_n+r$.
4. Relier la représentation graphique d’une suite arithmétique à une droite de coefficient directeur $r$ et d’ordonnée à l’origine $u_0$.
5. Déterminer le sens de variation d’une suite arithmétique à partir du signe de $r$ (strictement croissante, strictement décroissante, constante).
6. Écrire la formule d’une suite géométrique avec raison $q$ : $u_{n+1}=q\,u_n$.
7. Donner la nature attendue de la courbe pour une suite géométrique quand $q$ est strictement positif (courbe exponentielle).
8. Déterminer le sens de variation d’une suite géométrique avec $q$ et $u_0$ strictement positifs selon $q>1$, $0<q<1$ ou $q=1$.