Lernzettel: Maîtrise des polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme développée du polynôme du second degré
2. Forme canonique et extremum du trinôme
3. Courbe représentative et sommet de la parabole
4. Forme factorisée et discriminant
5. Équation du second degré : cas et solutions
6. Racines, somme et produit des racines
7. Signe d’un polynôme du second degré

📖 1. Forme développée du polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Une fonction polynôme du second degré est une fonction qui peut s’écrire avec un terme en $x^2$, un terme en $x$ et une constante.
• Forme développée : La forme $ax^2+bx+c$ est la forme développée d’un polynôme du second degré.
• Trinôme du second degré : Un trinôme du second degré est une expression de la forme $ax^2+bx+c$ représentant le polynôme.
• Coefficients du polynôme : Les coefficients $a$, $b$ et $c$ sont les nombres réels qui multiplient respectivement $x^2$, $x$ et $1$ dans le polynôme.

📝 Points essentiels

• Un polynôme du second degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a$, $b$, $c$ réels et $a\neq 0$.
• L’expression $ax^2+bx+c$ est appelée forme développée du polynôme $f(x)$ (ou trinôme du second degré).
• Dans $f(x)=ax^2+bx+c$, le coefficient de $x^2$ est $a$, celui de $x$ est $b$ et la constante est $c$.
• Pour identifier $a$, $b$, $c$, on repère les puissances de $x$ : $x^2$ → $a$, $x$ → $b$, sans $x$ → $c$.
• Les pièges classiques sont de confondre le signe de $b$ et de $c$ quand l’expression est écrite avec des soustractions.
• Exemples : pour $f(x)=2x^2-7x-2$, on a $a=2$, $b=-7$, $c=-2$ ; pour $g(x)=5x^2+2x-3$, on a $a=5$, $b=2$, $c=-3$.

💡 Astuce mémo

$ax^2+bx+c$ : $a$ pour $x^2$, $b$ pour $x$, $c$ pour la constante (sans $x$).

📖 2. Forme canonique et extremum du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme du second degré est l’écriture f(x)=a(x-)^2+ qui met en évidence le sommet.
• Trinôme du second degré : Un trinôme du second degré est une fonction polynomiale de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Sommet : Le sommet est le point de coordonnées $(\alpha,f(\alpha))$ où la parabole atteint son extremum.
• Paramètres $\alpha$ et $\beta$ : Dans $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, $\alpha$ repère l’abscisse du sommet et $\beta$ sa valeur correspondante.

📝 Points essentiels

• Toute fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ s’écrit sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
• La forme $a(x-\alpha)^2+\beta$ s’appelle la forme canonique du trinôme.
• Si $a>0$, la parabole est décroissante sur $]-\infty,\alpha]$ puis croissante sur $[\alpha,+\infty[$.
• Si $a<0$, la parabole est croissante sur $]-\infty,\alpha]$ puis décroissante sur $[\alpha,+\infty[$.
• Si $a>0$, $f$ admet un minimum égal à $\beta$ atteint pour $x=\alpha$.
• Si $a<0$, $f$ admet un maximum égal à $\beta$ atteint pour $x=\alpha$.

💡 Astuce mémo

$\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ (axe de symétrie) et $\beta=f(\alpha)$ (valeur au sommet) ; signe de $a$ : $a>0$ minimum, $a<0$ maximum.

📖 3. Courbe représentative et sommet de la parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Une parabole est la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré dans un repère orthonormé.
• Sommet de la parabole : Le sommet est le point le plus haut ou le plus bas de la parabole, correspondant à l’extremum de la fonction.
• Axe de symétrie : L’axe de symétrie est la droite qui partage la parabole en deux parties superposables.
• Forme canonique : La forme canonique d’un polynôme du second degré met en évidence l’abscisse du sommet et facilite l’étude du sens de variation.

📝 Points essentiels

• Pour une équation $y=ax^2+bx+c$, le sommet a pour abscisse $\alpha$ et pour ordonnée $f(\alpha)=\beta$.
• Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut et la fonction décroît puis croît (minimum au sommet).
• Si $a<0$, la parabole est tournée vers le bas et la fonction croît puis décroît (maximum au sommet).
• L’axe de symétrie de $y=ax^2+bx+c$ est la droite $x=-\dfrac{b}{2a}$ (équivalent à $2bx=-ax^2$ sous forme donnée).
• La courbe d’une fonction polynôme du second degré admet un extremum unique atteint au sommet.
• La forme canonique sert à déterminer rapidement le sens de variation et les coordonnées du sommet sans refaire toute l’étude.

💡 Astuce mémo

$a>0$ : parabole “U” (minimum) ; $a<0$ : parabole “∩” (maximum).

📖 4. Forme factorisée et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Une fonction polynôme du second degré s’écrit sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Discriminant : Le discriminant est le réel $\Delta=b^2-4ac$ associé au polynôme $f(x)=ax^2+bx+c$.
• Racines $x_1$ et $x_2$ : Les racines d’un polynôme du second degré s’expriment par $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ quand $\Delta\ge 0$.
• Forme factorisée : La forme factorisée d’un polynôme du second degré est de la forme $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ quand il admet deux racines réelles.

📝 Points essentiels

• Si $f(x)=ax^2+bx+c$, alors $\Delta=b^2-4ac$ et il détermine le nombre de racines réelles.
• Si $\Delta>0$, alors $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta=0$, alors $f(x)=a(x-x_0)^2$ avec une racine double $x_0=\frac{-b}{2a}$.
• Si $\Delta<0$, alors le polynôme n’est pas factorisable sur les réels (pas de racines réelles).
• Pour étudier le signe d’un polynôme factorisé, on utilise ses facteurs et leurs zéros (les racines) pour construire les intervalles.
• Pour résoudre une inéquation du type $f(x)\le 0$ ou $f(x)>0$, on combine le signe des facteurs et les points où $f(x)=0$ (selon les racines).

💡 Astuce mémo

$\Delta=b^2-4ac$ : signe de $\Delta$ → nombre de racines réelles ($+$ deux, $0$ une double, $-$ aucune).

📖 5. Équation du second degré : cas et solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Une équation du second degré à une inconnue est une équation qui se met sous la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a,b,c$ réels et $a\neq 0$.
• Discriminant : Le discriminant d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$ qui détermine le nombre de solutions réelles.
• Solution double : Une solution double est la solution unique obtenue quand $\Delta=0$ pour l’équation $ax^2+bx+c=0$.
• Cas particulier c=0 : Le cas $c=0$ correspond à une équation $ax^2+bx=0$ qui se factorise en $x(ax+b)=0$.
• Cas particulier b=0 : Le cas $b=0$ correspond à une équation $ax^2+c=0$ qui se résout en isolant $x^2$ puis en prenant les racines.

📝 Points essentiels

• Forme standard : une équation du second degré s’écrit $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$ et $a,b,c$ réels.
• Cas $c=0$ : on obtient $ax^2+bx=0\Rightarrow x(ax+b)=0$, donc $x=0$ ou $x=-\frac{b}{a}$.
• Exemple $2x^2-5x=0$ : les solutions sont $x=0$ et $x=\frac{5}{2}$ (soit $0$ et $5/2$).
• Cas $b=0$ : on obtient $ax^2+c=0\Rightarrow x^2=-\frac{c}{a}$, donc deux solutions opposées si $-\frac{c}{a}>0$.
• Exemple $2x^2-10=0$ : on a $x^2=5$, donc $x=\pm\sqrt{5}$ (ensemble $\{-\sqrt5,\sqrt5\}$).
• Discriminant : $\Delta=b^2-4ac$ et le signe de $\Delta$ fixe le nombre de solutions réelles de $ax^2+bx+c=0$.

💡 Astuce mémo

$\Delta=b^2-4ac$ : si $\Delta>0$ deux $x$, si $\Delta=0$ un $x$ (double), si $\Delta<0$ aucun $x$ réel.

📖 6. Racines, somme et produit des racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme : Une racine est une valeur qui annule le polynôme, donc qui rend l’équation f(x)=0 vraie.
• Polynôme du second degré : Un polynôme du second degré s’écrit sous la forme f(x)=ax^2+bx+c avec a≠0.
• Somme des racines : La somme des deux racines d’un polynôme du second degré est une quantité liée aux coefficients b et a.
• Produit des racines : Le produit des deux racines d’un polynôme du second degré est une quantité liée aux coefficients c et a.

📝 Points essentiels

• Si x est une racine de f, alors f(x)=0 et réciproquement une solution de f(x)=0 est une racine.
• Pour f(x)=ax^2+bx+c avec deux racines 1x et 2x (distinctes ou non), on a $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.
• Pour le même cas, on a $x_1x_2=\frac{c}{a}$.
• Les formules somme/produit restent valables même si les racines sont confondues (racine double).
• Le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ détermine le nombre de racines : $\Delta>0$ deux racines, $\Delta=0$ une racine double, $\Delta<0$ aucune racine réelle.
• Méthode d’identification : en factorisant $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, on retrouve directement les relations entre coefficients et racines.

💡 Astuce mémo

Somme = opposé de b sur a ; Produit = c sur a (S=−b/a, P=c/a).

📖 7. Signe d’un polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant d’un polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ est le nombre 94=b^2-4ac qui détermine le nombre de racines réelles.
• Racines du polynôme : Les racines sont les valeurs de $x$ qui annulent le polynôme, c’est-à-dire celles pour lesquelles $f(x)=0$.
• Racine double : Une racine double est une racine unique où le polynôme s’annule et où le discriminant vaut $0$.
• Absence de racine : Quand le discriminant est négatif, le polynôme ne possède aucune racine réelle et ne s’annule pas sur $R$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$, on calcule 94=b^2-4ac pour décider du signe et du nombre de racines réelles.
• Si 94>0, le polynôme admet deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$ et peut changer de signe entre elles.
• Si 94=0, le polynôme admet une racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$ et le signe ne change pas au point d’annulation.
• Si 94<0, le polynôme n’admet pas de racine réelle et garde un signe constant sur $R$.
• Pour résoudre une inéquation du second degré, on factorise ou on utilise les racines obtenues via 94 pour construire l’ensemble des $x$ satisfaisant le signe demandé.
• Exemple $2x^2-5x+1<0$ : 94=25-8=17>0 donc deux racines réelles et l’inéquation se résout par intervalle entre les racines (selon le signe de $a$).

💡 Astuce mémo

94=b^2-4ac : $+$ deux racines, $0$ racine double, $-$ aucune racine.

📊 Tableaux de synthèse

Lien entre discriminant et solutions

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre les coefficients : dans ax²+bx+c, le coefficient de x² est a, celui de x est b, et la constante est c.
2. Se tromper de signe en identifiant α : α=−b/(2a) (et non b/(2a)), surtout quand b est précédé d’une soustraction.
3. Utiliser le mauvais sens de variation : si a>0 alors minimum en x=α, si a<0 alors maximum en x=α.
4. Croire que la forme canonique donne directement les racines : elle met en évidence l’extremum, pas les solutions de f(x)=0.
5. Confondre discriminant et valeur au sommet : Δ=b²−4ac décide le nombre de solutions, tandis que β=f(α) est l’ordonnée du sommet.
6. En factorisation, oublier que x1 et x2 sont donnés par (−b−√Δ)/(2a) et (−b+√Δ)/(2a), donc l’ordre et les signes comptent.
7. Pour le signe d’un polynôme, oublier que si Δ=0 la racine est double : le signe ne change pas au point d’annulation.

✅ Checklist Examen

1. Reconnaître la forme développée d’un polynôme du second degré et identifier correctement a, b, c.
2. Transformer ax²+bx+c en forme canonique a(x−α)²+β avec α=−b/(2a) et β=f(α).
3. Déterminer le sens de variation et l’extremum à partir du signe de a et de la forme canonique.
4. Pour y=ax²+bx+c, donner l’abscisse du sommet α et l’ordonnée β=f(α).
5. Écrire l’axe de symétrie de y=ax²+bx+c sous la forme x=−b/(2a).
6. Passer de la forme développée à la forme factorisée en calculant Δ=b²−4ac et en utilisant les cas Δ>0, Δ=0, Δ<0.
7. Résoudre une équation ax²+bx+c=0 dans le cas général en donnant x1 et x2 selon Δ.
8. Traiter les cas particuliers c=0 (factorisation x(ax+b)=0) et b=0 (isoler x² puis prendre les racines).
9. Utiliser la notion de racine : vérifier qu’une valeur annule le polynôme et relier racines et équation f(x)=0.
10. Appliquer somme et produit des racines : x1+x2=−b/a et x1x2=c/a, y compris en cas de racine double.
11. Résoudre une inéquation du second degré en construisant le tableau de signe à partir des racines et du signe de a.
12. Résoudre une inéquation du second degré en distinguant Δ>0 (deux racines), Δ=0 (racine double, signe inchangé) et Δ<0 (pas de racine réelle).