Lernzettel: Orthogonalisation de Schmidt en R3

📋 Plan du Cours

1. Orthonormalisation de Schmidt dans R3
2. Calcul d’une base orthonormée

📖 1. Orthonormalisation de Schmidt dans R3

🔑 Notions clés & Définitions

• Base orthonormée : Une famille de vecteurs de R3 est orthonormée si chaque vecteur a une norme égale à 1 et si deux vecteurs distincts sont orthogonaux.
• Orthonormalisation de Schmidt : Procédure construisant, à partir de vecteurs donnés, une suite de vecteurs orthogonaux puis normalisés pour obtenir une base orthonormée.
• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs sert à tester l’orthogonalité, car il vaut 0 lorsque les vecteurs sont orthogonaux.
• Norme euclidienne : La norme d’un vecteur réel se calcule à partir de la somme des carrés de ses coordonnées, puis on prend la racine carrée.

📝 Points essentiels

• Dans R3 euclidien canonique, la base canonique est orthonormée et permet de calculer normes et produits scalaires directement sur les coordonnées.
• La construction impose à chaque nouvelle étape l’orthogonalité via la condition (u_i | u_i') = 0 avant la normalisation.
• Le premier vecteur orthonormé s’obtient en divisant e1 par sa norme, ici u1 = e1/||e1||.
• Le passage à u2 puis u3 se fait en construisant d’abord u2' puis u3' orthogonaux à tous les vecteurs précédents, puis en normalisant.

📖 2. Calcul d’une base orthonormée

🔑 Notions clés & Définitions

• u1 : Vecteur orthonormé obtenu à partir de e1 en le normalisant par sa norme euclidienne.
• u2 : Deuxième vecteur orthonormé obtenu en normalisant un vecteur u2' rendu orthogonal à u1.
• u3 : Troisième vecteur orthonormé obtenu en prenant un u3' orthogonal à u2 puis en le normalisant.

📝 Points essentiels

• On part de (e1,e2,e3) = ((-1,1,1),(1,-1,1),(1,1,-1)) et ||e1|| = √3, donc u1 = (-1/√3, 1/√3, 1/√3).
• On cherche u2' sous la forme λu1 + e2 avec la condition (u1 | u2') = 0, ce qui donne λ = 1/√3 et u2' = (2/3,-2/3,4/3).
• La norme vaut ||u2'|| = √(24/3) = 2√6/3, donc u2 = (-1/√6, 1/√6, 2/√6).
• Pour u3', on impose (u3'|u2)=0 puis (u3'|u1)=0 avec u3' = αu1 + βu2 + e3, ce qui donne α = 1/√3 et β = √2/3.
• On obtient u3' = (-1,1,0), ||u3'|| = √2, donc u3 = (1/√2)(-1,1,0).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre u2' et u2 : u2' est seulement orthogonal à u1, tandis que u2 est normalisé avec une norme égale à 1.
2. Perdre un signe lors du calcul de (u1|u2') ou (u3'|u2), ce qui fausse directement λ, α ou β.
3. Normaliser trop tôt : pour u2 puis u3, il faut d’abord construire u2' puis u3' avec l’orthogonalité avant de diviser par la norme.
4. Sauter des termes lors du développement d’un produit scalaire, surtout avec des fractions multiples de 1/√6 et 1/√3.
5. Oublier de calculer correctement ||u2'|| et ||u3'|| à partir des carrés des coordonnées, ce qui modifie les facteurs finaux 1/√6 et 1/√2.

✅ Checklist Examen

1. Savoir calculer la norme euclidienne d’un vecteur de R3 à partir de ses coordonnées réelles.
2. Être capable de tester l’orthogonalité entre deux vecteurs via leur produit scalaire (valeur 0).
3. Déterminer u1 à partir de e1 en utilisant u1 = e1/||e1|| pour les données de l’exercice.
4. Construire u2' sous la forme λu1 + e2 et imposer (u1|u2')=0 pour trouver λ.
5. Normaliser u2' pour obtenir u2 et vérifier le résultat avec les coordonnées attendues.
6. Construire u3' sous la forme αu1 + βu2 + e3 et imposer (u3'|u2)=0.
7. Imposer ensuite (u3'|u1)=0 pour résoudre β après avoir trouvé α.
8. Normaliser u3' pour obtenir u3 et donner le triplet final (u1,u2,u3) orthonormé.
9. Pouvoir reproduire les valeurs numériques clés α = 1/√3 et β = √2/3 à partir des conditions d’orthogonalité.