Cuestionario: Analyse des fonctions de deux variables — 12 preguntas

1. Quand un ensemble U de ℝ² est-il ouvert ?

A. Lorsque U est borné et fermé dans ℝ²

B. Lorsque tout point de U admet un disque ouvert entièrement contenu dans U

C. Lorsque U contient un seul disque ouvert de rayon arbitraire

D. Lorsque tout point de U appartient à son bord

Answer: (B)

Explicación

Un ouvert de ℝ² est défini par la propriété locale suivante : autour de chaque point, on peut placer un disque ouvert inclus dans l’ensemble. Les autres propositions confondent cette notion avec la bornitude, la fermeture ou la notion de bord.

2. Dans ℝ², comment appelle-t-on la boule ouverte de centre p et de rayon r ?

A. Un voisinage fermé noté V(p,r)

B. Un disque ouvert noté D(p,r)

C. Une sphère ouverte notée S(p,r)

D. Un carré ouvert noté Q(p,r)

Answer: (B)

Explicación

En dimension 2, la boule ouverte porte le nom de disque ouvert et se note D(p,r). La sphère concerne une frontière, pas l’intérieur du voisinage.

3. Quelle est la forme correcte de la continuité d’une fonction f en un point p ?

A. Pour tout ε>0, il existe η>0 tel que ∥u−p∥≤η implique |f(u)−f(p)|≤ε

B. Pour tout ε>0, il existe η>0 tel que f(u)=f(p) dès que ∥u−p∥≤η

C. Pour tout η>0, il existe ε>0 tel que |f(u)−f(p)|≤η implique ∥u−p∥≤ε

D. Pour tout u proche de p, la valeur f(u) doit être inférieure à f(p)

Answer: (A)

Explicación

La continuité en plusieurs variables s’exprime par le schéma ε-η avec contrôle de la distance ∥u−p∥. Les autres propositions inversent les quantificateurs ou imposent des conditions trop fortes.

4. Que représente le graphe Γf d’une fonction f:U→ℝ ?

A. L’ensemble des points (x,y) tels que f(x,y)=0

B. L’ensemble des triplets (x,y,f(x,y)) avec (x,y) dans U

C. L’ensemble des tangentes au graphe de f

D. L’ensemble des couples (f(x,y),x) pour (x,y) dans U

Answer: (B)

Explicación

Le graphe d’une fonction de deux variables dans ℝ est l’ensemble des points de coordonnées (x,y,f(x,y)) dans l’espace. Ce n’est ni l’ensemble des zéros ni un ensemble de tangentes.

5. Que signifie la dérivée partielle ∂₁f(a,b) ?

A. La pente du graphe dans une direction quelconque

B. La dérivée de f par rapport à x et y simultanément

C. La dérivée de x↦f(x,b) en x=a

D. La dérivée de y↦f(a,y) en y=b

Answer: (C)

Explicación

La dérivée partielle ∂₁f(a,b) est la dérivée de la fonction obtenue en fixant y=b et en faisant varier x. La dérivée partielle ∂₂ correspond, elle, à la variable y.

6. Quand une fonction f est-elle de classe C1 sur un ouvert U ?

A. Lorsqu’elle est continue sur U mais sans شرط sur ses dérivées

B. Lorsqu’elle possède un développement limité d’ordre 1 en un point de U

C. Lorsqu’elle admet ses deux dérivées partielles partout sur U et qu’elles sont continues

D. Lorsqu’elle admet seulement une dérivée partielle sur U

Answer: (C)

Explicación

Être de classe C1 signifie avoir les deux dérivées partielles partout sur U et les voir continues. La simple continuité de f ne suffit pas, et un développement limité en un point ne caractérise pas C1.

7. Dans le développement limité d’ordre 1 d’une fonction f en p=(a,b), quelle est la forme correcte du terme principal ?

A. f(a,b)+(x+a)∂f/∂x(a,b)+(y+b)∂f/∂y(a,b)

B. f(a,b)+(x−a)∂f/∂x(a,b)+(y−b)∂f/∂y(a,b)

C. f(a,b)+∂f/∂x(a,b)+∂f/∂y(a,b)

D. f(a,b)+(x−a)²+(y−b)²

Answer: (B)

Explicación

L’approximation affine d’ordre 1 s’écrit avec les variations x−a et y−b multipliées par les dérivées partielles au point p. Les autres propositions oublient la structure linéaire du développement.

8. Que vaut le gradient ∇f(a,b) lorsqu’il est nul ?

A. La fonction f n’est pas dérivable en (a,b)

B. Ses deux composantes sont nulles : ∂f/∂x(a,b)=0 et ∂f/∂y(a,b)=0

C. Le point (a,b) est forcément un maximum local

D. La fonction f est nécessairement constante au voisinage de (a,b)

Answer: (B)

Explicación

Un gradient nul signifie exactement que les deux dérivées partielles sont nulles. Cela n’implique ni constance locale ni existence d’un extremum.

9. Pour une fonction composée φ∘f avec φ de classe C1, quelle est la formule correcte pour ∂(φ∘f)/∂x ?

A. ∂f/∂x(p)+φ'(p)

B. φ'(p)·f(p)

C. φ'(f(p))·∂f/∂x(p)

D. φ(f(p))·∂f/∂x(p)

Answer: (C)

Explicación

La règle de la chaîne donne la dérivée de l’extérieur évaluée en f(p), multipliée par la dérivée partielle de f. Il ne faut pas remplacer φ' par φ ni ajouter des termes sans justification.

10. Quelle est l’expression de la dérivée selon le vecteur v=(h,k) en un point p ?

A. D_v f(p)=h∂f/∂x(p)+k∂f/∂y(p)

B. D_v f(p)=h+k

C. D_v f(p)=∂f/∂x(p)+∂f/∂y(p)

D. D_v f(p)=f(p+h,p+k)

Answer: (A)

Explicación

La dérivée directionnelle selon v est le produit scalaire entre le gradient et le vecteur v, ce qui donne h∂f/∂x(p)+k∂f/∂y(p). Les autres réponses oublient les coefficients directionnels ou confondent avec une simple somme.

11. Dans le cadre d’une fonction de classe C1, quelle condition caractérise un point critique ?

A. La fonction y admet un maximum global

B. Le gradient y est de norme strictement positive

C. La fonction y est continue sur un voisinage

D. Les deux dérivées partielles y sont nulles

Answer: (D)

Explicación

Un point critique d’une fonction C1 est un point où les deux dérivées partielles s’annulent, ce qui équivaut à dire que le gradient est nul. La continuité seule ne suffit pas, et un gradient non nul exclut au contraire le caractère critique.

12. Quelle implication est toujours vraie pour une fonction de classe C1 qui admet un extremum local en un point ?

A. Le point est forcément un point critique

B. Le gradient y est forcément non nul

C. Le point est forcément un maximum global

D. La fonction y change de signe au voisinage du point

Answer: (A)

Explicación

Si une fonction C1 admet un extremum local en un point, alors ce point est nécessairement critique. En revanche, être critique ne garantit pas un extremum local, et rien n’impose un maximum global ni un changement de signe.