Hoja de repaso: Introduction aux fonctions et variations

📋 Plan du Cours

1. Notion de fonction
2. Image et antécédent
3. Représentation graphique
4. Équations et inéquations graphiques
5. Variations d’une fonction
6. Fonctions affines et taux de variation

📖 1. Notion de fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction associe, à chaque valeur $x$ d’un ensemble de départ $I$, une unique valeur réelle notée $f(x)$.
• Ensemble de définition $D_f$ : L’ensemble de définition $D_f$ est l’ensemble des nombres $x$ pour lesquels la fonction $f(x)$ est définie.
• Notation $x \mapsto f(x)$ : La notation $x \mapsto f(x)$ indique l’association de chaque $x$ à son image $f(x)$ par la fonction.
• Image et antécédent : L’image d’un nombre est le résultat $f(x)$, et un antécédent d’une valeur $y$ est un $x$ tel que $f(x)=y$.

📝 Points essentiels

• Une fonction est définie sur $I$ si, pour tout $x\in I$, elle renvoie une unique valeur réelle $f(x)$ et aucune autre valeur n’est associée à ce même $x$.
• On note souvent $I=D_f$ pour désigner l’ensemble des abscisses où la fonction est définie.
• Un nombre a une unique image par une fonction, mais peut avoir plusieurs antécédents ou aucun antécédent.
• Une valeur peut ne pas avoir d’image car la fonction n’est pas définie en ce nombre.
• Pour $f(x)=6x$, on obtient $f(1)=6$ et $f(4)=24$.
• Pour $f(x)=\sqrt{x}+1$, $f(4)=3$ et un antécédent de $5$ est $16$.

💡 Astuce mémo

Une fonction : une entrée $x$ donne une seule sortie $f(x), mais la même sortie peut venir de plusieurs$x$.

📖 2. Image et antécédent

🔑 Notions clés & Définitions

• Image : L’image de $x$ par $f$ est le nombre réel $f(x)$ obtenu après application de la fonction.
• Antécédent : Un antécédent de $y$ par $f$ est une valeur $x$ telle que $f(x)=y$.
• Valeur non définie : Une valeur $x$ pour laquelle l’expression $f(x)$ n’existe pas appartient à l’extérieur de $D_f$.

📝 Points essentiels

• Dire que $f(1)=6$ revient à affirmer que $1$ est un antécédent de $6$ et que $6$ est l’image de $1$.
• Si un nombre $y$ admet plusieurs antécédents, alors il correspond à plusieurs solutions $x$ de l’équation $f(x)=y$.
• Si $f(x)$ n’existe pas en $x$, alors la fonction n’est pas définie en ce nombre et aucun couple $(x,f(x))$ ne peut être formé.

💡 Astuce mémo

Image = résultat, Antécédent = cause possible ($f(x)=y$).

📖 3. Représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative $C_f$ : La courbe représentative $C_f$ d’une fonction $f$ est l’ensemble des points dont l’abscisse est dans $D_f$ et dont l’ordonnée vaut $f(x)$.
• **Point de coordonnées $(x; f(x))** : Tout point appartenant à$C_f$possède la forme$(x; f(x))$avec$x\in D_f$.
• Abscisse et ordonnée : Sur le graphique, l’abscisse correspond à $x$ et l’ordonnée correspond à la valeur image $f(x)$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=5x-x^2$ sur $[1;4,5]$, la valeur en $x=1$ vaut $f(1)=4$ et en $x=4,5$ vaut $f(4,5)=2,25$.
• Les points trouvés par le tableau pour $f(x)=5x-x^2$ incluent par exemple $A(1;4)$, $C(2;6)$, $G(4;4)$.
• Un point $M(x_M;y_M)$ appartient à $C_f$ si et seulement si $y_M=f(x_M)$, autrement dit l’ordonnée est l’image de l’abscisse.

💡 Astuce mémo

Sur le graphique : abscisse = entrée $x$, ordonnée = sortie $f(x)$.

📖 4. Équations et inéquations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution graphique : Résoudre graphiquement consiste à lire sur la courbe représentative les valeurs de $x$ correspondant aux conditions demandées.
• Intersection avec une droite : Pour résoudre $f(x)=c$, on cherche sur la courbe les abscisses des points d’intersection avec la droite $y=c$.
• Comparaison à une droite : Pour résoudre $f(x)>c$ ou $f(x)<c$, on repère les abscisses où la courbe est respectivement strictement au-dessus ou strictement en-dessous de la droite $y=c$.

📝 Points essentiels

• Résoudre $f(x)=4$ revient à chercher les abscisses des points où $C_f$ coupe la droite $y=4$, ce qui donne $S=\{1,4,3\}$.
• Résoudre $f(x)>4$ revient à prendre les abscisses où la courbe est strictement au-dessus de $y=4$, ce qui donne $S=]1,4[$.
• Résoudre $f(x)<0$ revient à prendre les abscisses où la courbe est strictement en-dessous de $y=0$, ce qui donne $S=[-1,0[\cup ]5,6]$.

💡 Astuce mémo

Égalité = intersections ; strict supérieur/inférieur = zone au-dessus/au-dessous (inégalités sans bordure).

📖 5. Variations d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Une fonction est croissante sur $I$ si, pour $a<b$ dans $I$, on a toujours $f(a)\le f(b)$.
• Fonction décroissante : Une fonction est décroissante sur $I$ si, pour $a<b$ dans $I$, on a toujours $f(a)\ge f(b)$.
• Tableau de variations : Un tableau de variations résume sur quels intervalles une fonction est croissante ou décroissante.
• Monotone sur un intervalle : Une fonction est monotone sur un intervalle si elle y est soit croissante soit décroissante.

📝 Points essentiels

• Être croissante sur $I$ signifie que l’ordre des images suit celui des abscisses ($a<b$ implique $f(a)\le f(b)$).
• Être décroissante sur $I$ signifie que l’ordre des images s’inverse ($a<b$ implique $f(a)\ge f(b)$).
• Décrire les variations revient à indiquer les intervalles où la fonction est croissante puis où elle est décroissante à l’aide d’un tableau de variations.
• Pour une fonction affine $f(x)=ax+b$ : si $a>0$ elle est croissante sur $\mathbb{R}$, si $a<0$ elle est décroissante sur $\mathbb{R}$, et si $a=0$ elle est constante sur $\mathbb{R}$.
• Exemple : $f(x)=6x-1$ est croissante sur $\mathbb{R}$ et $g(x)=-2x+2$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

Signe de $a$ : $+$ croissante, $-$ décroissante, $0$ constante (pour une affine).

📖 6. Fonctions affines et taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine a la forme $f(x)=ax+b$ avec un coefficient directeur $a$.
• Taux de variation : Le taux de variation de $f$ entre $u$ et $v$ est $\dfrac{f(v)-f(u)}{v-u}$.
• Interprétation géométrique du taux : Le taux de variation entre $u$ et $v$ correspond à la pente de la droite reliant les points de la courbe d’abscisses $u$ et $v$.

📝 Points essentiels

• Le taux de variation de $f$ entre $u$ et $v$ vaut $\dfrac{f(v)-f(u)}{v-u}$, et il s’interprète comme une pente.
• Si le taux de variation est positif sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante sur cet intervalle.
• Si le taux de variation est négatif sur un intervalle, alors la fonction est strictement décroissante sur cet intervalle.
• Si le taux de variation est nul sur un intervalle, alors la fonction est constante sur cet intervalle.

💡 Astuce mémo

Taux de variation : signe = sens de variation ( + croît, - décroît, 0 constant).

📊 Tableaux de synthèse

Sens de variation d’une affine

Forme	Signe de $a$	Variation sur $\mathbb{R}$
$f(x)=ax+b$	$a>0$	croissante
$f(x)=ax+b$	$a<0$	décroissante
$f(x)=ax+b$	$a=0$	constante

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre image et antécédent : $f(x)$ est une image, tandis qu’un antécédent de $y$ est une valeur $x$ telle que $f(x)=y$.
2. Croire qu’un nombre a toujours un antécédent unique : une même image peut avoir plusieurs antécédents ou aucun.
3. Interpréter une inéquation sans distinction de strict : pour $f(x)>c$, les points où $f(x)=c$ ne doivent pas être inclus.
4. Lire le graphique à l’envers : sur $C_f$, l’ordonnée vaut $f(x)$ et l’abscisse vaut la variable $x$.
5. Oublier que $D_f$ limite où la fonction existe : une valeur hors domaine donne “non défini”.
6. Confondre monotone et croissante/décroissante : monotone signifie uniquement “toujours dans un seul sens” (croissante ou décroissante).
7. Mélanger taux de variation et valeur de la fonction : le taux est une fraction $(f(v)-f(u))/(v-u)$, pas $f(x)$.

✅ Checklist Examen

1. Définir une fonction sur un ensemble $I$ et utiliser la notation $f(x)$ et $x\mapsto f(x)$.
2. Identifier l’ensemble de définition $D_f$ et expliquer ce que signifie “fonction non définie”.
3. Déterminer image et antécédent pour une valeur donnée (y compris le cas où il peut y avoir plusieurs antécédents).
4. Construire la courbe $C_f$ à partir d’un tableau de valeurs en reliant les points $(x;f(x))$.
5. Reconnaître qu’un point $M(x_M;y_M)$ appartient à $C_f$ exactement quand $y_M=f(x_M)$.
6. Résoudre graphiquement $f(x)=c$ en lisant les abscisses des intersections avec la droite $y=c$.
7. Résoudre graphiquement $f(x)>c$ et $f(x)<c$ en utilisant strictement “au-dessus” et “au-dessous” de $y=c$.
8. Décrire les variations d’une fonction avec la définition de croissance et décroissance via $a<b\Rightarrow f(a)\le f(b)$ et $f(a)\ge f(b)$.
9. Rendre une fonction affine monotone en fonction du signe de $a$ sur $\mathbb{R}$ (croissante/décroissante/constante).
10. Calculer un taux de variation $\dfrac{f(v)-f(u)}{v-u}$ entre deux abscisses et relier ce résultat à une pente sur le graphique.
11. Déduire le sens de variation (strict croissant/décroissant/constant) à partir du signe du taux de variation sur un intervalle.