Hoja de repaso: Produit scalaire et géométrie vectorielle

📋 Plan du Cours

1. Produit scalaire et angle des vecteurs
2. Produit scalaire en coordonnées orthonormées
3. Produit scalaire et normes via identités
4. Propriétés générales du produit scalaire
5. Projection orthogonale et vecteurs colinéaires
6. Applications géométriques et relations métriques
7. Théorème d’Al-Kashi et loi des sinus
8. Formule de la médiane et vecteur normal
9. Applications du produit scalaire au cercle

📖 1. Produit scalaire et angle des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle de deux vecteurs : L’angle de deux vecteurs est l’angle formé par deux représentants ayant la même origine.
• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est défini comme le produit de leurs normes par le cosinus de l’angle entre eux.
• Produit scalaire via cosinus : Le produit scalaire s’exprime en fonction des normes et du cosinus de l’angle entre les vecteurs.

📝 Points essentiels

• Pour deux vecteurs non nuls, on a $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos(\vec u;\vec v)$.
• L’angle $\,(\vec u;\vec v)\,$ est défini à partir de représentants ayant la même origine.
• Pour des points $A,B,C$, on a $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC})$.
• Si $\vec u\perp\vec v$ alors $\vec u\cdot\vec v=0$ car $\cos(\pi/2)=0$.
• Si $\vec u$ est orthogonal à $\vec v$ alors $\vec u$ est orthogonal à tout vecteur colinéaire à $\vec v$ (même droite).

💡 Astuce mémo

Orthogonal ⇒ produit scalaire nul : $\perp$ correspond à $\cos(\pi/2)=0$.

📖 2. Produit scalaire en coordonnées orthonormées

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormé : Un repère orthonormé du plan est un repère où les vecteurs directeurs ont norme 1 et sont perpendiculaires.
• Coordonnées de vecteurs : Les coordonnées d’un vecteur dans un repère orthonormé permettent de calculer directement son produit scalaire.
• Formule en coordonnées : Dans un repère orthonormé, le produit scalaire se calcule comme somme des produits des coordonnées.

📝 Points essentiels

• Dans un repère orthonormé, si $\vec u(x,y)$ et $\vec v(x',y')$ alors $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$.
• Le repère orthonormé impose $\|\vec i\|=\|\vec j\|=1$ et $\vec i\perp\vec j$.
• Pour calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$, on convertit d’abord $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ en coordonnées.
• Une fois $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ obtenu, on peut en déduire $\cos(\widehat{BAC})$ puis la mesure de l’angle.
• Les résultats d’angle demandés dans les exercices sont en degrés, arrondis à $0{,}1$ près.

💡 Astuce mémo

Coordonnées orthonormées : $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$ (somme des “produits terme à terme”).

📖 3. Produit scalaire et normes via identités

🔑 Notions clés & Définitions

• Identité de norme : Une identité relie le produit scalaire aux normes de $\vec u+\vec v$ et de $\vec u$ et $\vec v$ séparément.
• Carré scalaire : Le carré scalaire $\vec u^2$ désigne $\vec u\cdot\vec u$ et vaut $\|\vec u\|^2$.
• Normes et produit scalaire : Le produit scalaire peut être calculé à partir de combinaisons de carrés de longueurs.

📝 Points essentiels

• On a $\vec u\cdot\vec v=\tfrac12\big(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\big)$.
• Cette formule permet d’exprimer un produit scalaire sans calculer directement le cosinus.
• Dans l’exemple, on utilise $AB=6$, $AC=5$, $BC=8$ pour calculer $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}$.
• Le “carré scalaire” vérifie $\vec u^2=\|\vec u\|^2$ car $\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2$.
• L’identité $\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$ sert aussi à isoler $\vec u\cdot\vec v$.
• L’identité $\|\vec u-\vec v\|^2=\|\vec u\|^2-2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$ permet d’obtenir $\vec u\cdot\vec v$ avec un signe opposé.

💡 Astuce mémo

Isoler $\vec u\cdot\vec v$ : $\|u+v\|^2$ contient $+2u\cdot v$ et $\|u-v\|^2$ contient $-2u\cdot v$.

📖 4. Propriétés générales du produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Orthogonalité et produit scalaire : L’orthogonalité entre deux vecteurs se traduit par un produit scalaire nul.
• Commutativité : La commutativité indique que l’ordre des vecteurs ne change pas la valeur du produit scalaire.
• Distributivité : La distributivité relie le produit scalaire à l’addition des vecteurs.
• Homogénéité : La multiplication d’un vecteur par un réel multiplie le produit scalaire par ce réel.

📝 Points essentiels

• Le produit scalaire est commutatif : $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$.
• Si $\vec u=\vec 0$ ou $\vec v=\vec 0$ alors $\vec u\cdot\vec v=0$.
• Réciproquement, si $\vec u\cdot\vec v=0$ alors $\vec u\perp\vec v$ (un vecteur peut être nul).
• On a $\vec u\cdot\vec v=0\Leftrightarrow \vec u\perp\vec v$.
• Le carré scalaire $\vec u^2$ vaut $\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2$.
• Distributivité : $\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w$.

💡 Astuce mémo

Test orthogonalité : $\vec u\cdot\vec v=0$ ⇔ $\vec u\perp\vec v$.

📖 5. Projection orthogonale et vecteurs colinéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection orthogonale : La projection orthogonale d’un point sur une droite est le point d’intersection entre la droite et la perpendiculaire issue du point.
• Vecteurs colinéaires : Des vecteurs colinéaires ont la même direction, donc l’un est un multiple réel de l’autre.
• Produit scalaire et projection : Le produit scalaire d’un vecteur avec un autre s’exprime via la longueur projetée orthogonalement.

📝 Points essentiels

• Si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires et de même sens alors $\|\vec v\|=\|\vec v\|$ (cosinus positif implicite).
• Si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires et de sens opposés alors le produit scalaire change de signe (cosinus négatif).
• Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$.
• Si $H\neq A$ et que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont de sens opposés alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB\times AH$.
• Si $H\neq A$ et que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont de même sens alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AH$.
• Le cas “sens opposés” correspond à une projection signée négative via le produit scalaire.

💡 Astuce mémo

Projection : le produit scalaire “passe” par $AH$ (et le signe dépend du sens de $\overrightarrow{AB}$ vers $\overrightarrow{AH}$).

📖 6. Applications géométriques et relations métriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème d’Al-Kashi : Le théorème d’Al-Kashi relie les longueurs des côtés d’un triangle à un angle via un cosinus.
• Loi des sinus : La loi des sinus relie les sinus des angles d’un triangle aux longueurs des côtés opposés.
• Formule de la médiane : La formule de la médiane relie les distances d’un point aux extrémités d’un segment à la distance au milieu.

📝 Points essentiels

• Dans $\triangle ABC$ avec $AB=c$, $AC=b$, $BC=a$, on a $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat A)$.
• On a aussi $b^2=a^2+c^2-2ac\cos(\widehat B)$ et $c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\widehat C)$.
• La loi des sinus s’écrit $\dfrac{\sin(\widehat A)}{a}=\dfrac{\sin(\widehat B)}{b}=\dfrac{\sin(\widehat C)}{c}=\dfrac{2\mathcal A}{abc}$.
• La formule de la médiane : si $I$ est le milieu de $[AB]$ alors pour tout $M$, $MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}$.
• La formule de la médiane permet de remplacer une somme de carrés par une expression en $MI$ et $AB$.
• Les exercices demandent d’utiliser ces relations pour déterminer une longueur inconnue à partir de données (longueurs et/ou angles).

💡 Astuce mémo

Al-Kashi : “carré du côté” = “somme des carrés” − “double produit cos”. Médiane : $MA^2+MB^2$ se transforme en $MI^2$ + constante.

📖 7. Théorème d’Al-Kashi et loi des sinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus d’un angle : Le cosinus d’un angle apparaît dans les relations métriques reliant côtés et angles du triangle.
• Aire du triangle : L’aire $\mathcal A$ intervient dans la loi des sinus via le terme $\dfrac{2\mathcal A}{abc}$.
• Angle opposé : Dans un triangle, chaque angle est associé au côté opposé utilisé dans les fractions de la loi des sinus.

📝 Points essentiels

• Al-Kashi : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat A)$ avec $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$.
• Al-Kashi : $b^2=a^2+c^2-2ac\cos(\widehat B)$ avec $b=AC$.
• Al-Kashi : $c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\widehat C)$ avec $c=AB$.
• Loi des sinus : $\dfrac{\sin(\widehat A)}{a}=\dfrac{\sin(\widehat B)}{b}=\dfrac{\sin(\widehat C)}{c}$.
• Loi des sinus : la valeur commune vaut aussi $\dfrac{2\mathcal A}{abc}$.
• Dans l’AVF 7, on donne $EF=4$, $FG=15$, $\widehat E=72^\circ$ pour déterminer $EG$ (application directe d’une relation métrique).

💡 Astuce mémo

Même structure : Al-Kashi utilise $\cos$, loi des sinus utilise $\sin$ et l’aire $\mathcal A$.

📖 8. Formule de la médiane et vecteur normal

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur normal : Un vecteur normal à une droite est un vecteur orthogonal à un vecteur directeur de cette droite.
• Vecteur directeur : Un vecteur directeur d’une droite caractérise sa direction et sert à tester l’orthogonalité.
• Milieu d’un segment : Le milieu $I$ d’un segment $[AB]$ est le point équidistant de $A$ et $B$ et intervient dans la formule de la médiane.

📝 Points essentiels

• La formule de la médiane : $MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}$ où $I$ est le milieu de $[AB]$.
• Un vecteur normal $\vec n$ à une droite $d$ est orthogonal à un vecteur directeur de $d$.
• Si $\vec n$ est normal à $d$, alors $\vec n$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $d$.
• Pour $ax+by+c=0$, un vecteur normal est $\vec n\binom{a}{b}$.
• Réciproquement, si une droite admet $\vec n\binom{a}{b}$ pour vecteur normal, alors son équation cartésienne est $ax+by+c=0$ (avec $c$ à déterminer).
• Les AVF 9 et 10 entraînent à trouver un vecteur normal puis une équation de droite à partir d’un vecteur normal.

💡 Astuce mémo

Normal = orthogonal au directeur : pour $ax+by+c=0$, le normal est $(a,b)$.

📖 9. Applications du produit scalaire au cercle

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation de cercle : L’équation d’un cercle de centre $\Omega(x_\Omega,y_\Omega)$ et de rayon $r$ s’écrit avec la somme des carrés des écarts aux coordonnées du centre.
• Cercle de diamètre : Le cercle de diamètre $[AB]$ est l’ensemble des points $M$ tels que l’angle $AMB$ est droit.
• Orthogonalité de vecteurs : Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul, ce qui caractérise un angle droit.

📝 Points essentiels

• Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $r$ vérifie $(x-x_\Omega)^2+(y-y_\Omega)^2=r^2$.
• Le cercle de diamètre $[AB]$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
• Le lien géométrique : $\overrightarrow{MA}\perp\overrightarrow{MB}$ équivaut à $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
• Si $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$, alors le triangle $ABM$ est rectangle en $M$ (ou $M=A$ ou $M=B$).
• La démonstration utilise l’équivalence entre appartenance au cercle et égalité de distances au centre pour le premier cas.
• Pour le diamètre, la caractérisation passe par l’orthogonalité des vecteurs issus de $M$.

💡 Astuce mémo

Cercle de diamètre : angle droit ⇔ produit scalaire nul : $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.

📊 Tableaux de synthèse

Orthogonalité : deux façons de la tester

Situation	Condition	Interprétation
Produit scalaire	$\vec u\cdot\vec v=0$	$\vec u\perp\vec v$
Cercle de diamètre	$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$	$ABM$ rectangle en $M$ (ou $M=A,B$)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’angle $\widehat{BAC}$ (angle entre $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$) avec l’angle entre des vecteurs de même origine mal identifiés.
2. Utiliser la formule en coordonnées sans vérifier que le repère est orthonormé (sinon $xx'+yy'$ n’est pas valable).
3. Oublier que $\vec u\cdot\vec v=0$ implique l’orthogonalité, mais un vecteur peut être nul (donc “perpendiculaire” n’exclut pas le cas nul).
4. Se tromper de signe dans la relation avec la projection orthogonale : le signe dépend du sens de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$.
5. Mélanger Al-Kashi et loi des sinus : Al-Kashi utilise $\cos$ et des carrés de longueurs, la loi des sinus utilise $\sin$ et l’aire $\mathcal A$.
6. Pour le cercle de diamètre, écrire une équation de cercle “au centre” sans utiliser la condition $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ demandée par le cours.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir $\vec u\cdot\vec v$ via normes et cosinus, et l’écrire avec des points $A,B,C$ : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC})$.
2. Savoir calculer un produit scalaire en coordonnées dans un repère orthonormé : $xx'+yy'$ et en déduire un angle via le cosinus.
3. Savoir utiliser l’identité $\vec u\cdot\vec v=\tfrac12(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2)$ pour obtenir un produit scalaire à partir de longueurs.
4. Maîtriser les propriétés : commutativité, cas nul, équivalence orthogonalité ↔ produit scalaire nul, distributivité et homogénéité.
5. Savoir relier produit scalaire et projection orthogonale : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$ et déterminer le signe selon les sens.
6. Savoir appliquer Al-Kashi dans les trois formes $a^2,b^2,c^2$ et la loi des sinus avec la valeur commune $\dfrac{2\mathcal A}{abc}$.
7. Savoir utiliser la formule de la médiane : $MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}$.
8. Savoir trouver un vecteur normal à une droite à partir de son équation $ax+by+c=0$ et écrire l’équation d’une droite à partir d’un vecteur normal $(a,b)$.
9. Savoir écrire l’équation d’un cercle de centre et rayon, et caractériser le cercle de diamètre $[AB]$ par $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.